Der komplexe Kettenbruch bei Hurwitz und Tanaka

Julius–Maximilians–Universität Würzburg
Fakultät für Mathematik und Informatik
Institut für Mathematik
Bachelorarbeit
Der komplexe Kettenbruch bei
Hurwitz und Tanaka
Vorgelegt von:
Maria Hock
Betreuer:
Prof. Dr. Jörn Steuding
Nicola Oswald
Abgabe bis:
15.10.2012
Inhaltsverzeichnis
1 Einführendes zu Kettenbrüchen
1.1 Reelle Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vom reellen zum komplexen Kettenbruch . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Der
2.1
2.2
2.3
1
2
4
komplexe Kettenbruch bei Hurwitz
5
Algorithmus und Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Betrachtung der möglichen Folgenglieder von (an )n∈N . . . . . . . . . 9
Approximationsgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Der komplexe Kettenbruch bei Tanaka
22
3.1 Algorithmus und Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Einfache Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Vergleich der Eigenschaften
27
5 Erklärung
31
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Die Menge B . . . . . . . . . . . . .
Die Menge B1 . . . . . . . . . . . . .
Mögliche zj für aj = 1 + i . . . . . .
Die möglichen aj+1 . . . . . . . . . .
Mögliche zj für aj = 2 . . . . . . . .
Die möglichen aj+1 . . . . . . . . . .
Mögliche zj für aj = 2 + i . . . . . .
Die möglichen aj+1 . . . . . . . . . .
Die fundametale T-Zelle vom Rang 1
Die beiden Gitter Z [i] und I . . . . .
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6
10
11
11
12
12
13
13
26
28
1
Einführendes zu Kettenbrüchen
Kettenbrüche beschäftigen Mathematiker schon sehr lange. Das erste Mal tauchen
sie wohl zu Anfang des 13. Jahrhunderts in den Schriften von Fibonacci auf. Der
Ursprung der Kettenbruchtheorie wird allerdings dem Italiener Rafael Bombelli
(16.Jahrhundert) zugeschrieben, der versuchte, anhand von Kettenbrüchen Quadratwurzeln zu berechnen.
Im Laufe der Zeit entwickelten verschiedene Mathematiker die Theorie weiter,
wobei unter anderem Lagrange und Euler wichtige Beiträge, wie etwa das Gesetz
der besten Näherung oder den Satz von Lagrange über quadratische Irrationalzahlen, lieferten. Der Wunsch sehr komplizierte Brüche durch einfachere Brüche
anzunähern ergab sich meist aus vorhandenen praktischen Problemen. Um die
Bewegung des Saturn in unserem Sonnensystem zu betrachten, approximierte der
durch den
Physiker Huygens (1629-1695) das unhandliche Verhältnis von 77708431
2640858
206
viel einfacheren Näherungsbruch 7 . Ein weiteres Beispiel ist die Einführung des
heute noch gültigen gregorianischen Kalenders im Jahre 1582. Zuvor benutzte man
den julianischen Kalender bei dem alle vier Jahre ein Schalttag eingefügt wurde.
Tage, weshalb sich mit der Zeit der Kalender
Ein Jahr hat aber circa 365 + 104629
432000
verschob. Durch Entwickeln des Bruches 104629
bis zum fünften Näherungsbruch
432000
ergab sich eine neue Regel, bei der gewisse Schaltjahre ausgelassen werden[5].
Heute sind in vielen Teilbereichen der Mathematik Anwendungen von Kettenbrüchen bekannt. Man benutzt sie in der Zahlentheorie, um Transzendenzbeweise
zu führen, in der Numerik, um mit ihrer Hilfe Funktionen zu approximieren, aber
auch in Analysis und Stochastik.
Erst seit dem 19.Jahrhundert beschäftigten sich einige Mathematiker auch mit
der Darstellung komplexer Zahlen als Kettenbrüche. Im Vergleich zum reellen
Kettenbruch gibt es hierzu allerdings sehr wenig Literatur und das Themengebiet
taucht in der Standardliteratur nicht auf. Dies liegt möglicherweise daran, dass für
komplexe Kettenbrüche noch keine wichtigen Anwendungen bekannt sind.
In dieser Arbeit werden die komplexen Kettenbruchalgorithmen von Adolf
Hurwitz [3] und Shigeru Tanaka [7] vorgestellt. Im Falle von Hurwitz’s Kettenbruchalgorithmus beziehen sich die Betrachtungen meist auf die Ausarbeitung von
Doug Hensley [2]. Der Schwerpunkt liegt vor allem auf den jeweiligen Approximationseigenschaften der Näherungsbrüche.
Nachdem die wichtigsten Erkenntnisse vorgestellt wurden, wollen wir die beiden
Kettenbruchentwicklungen schließlich bezüglich ihres Approximationsverhaltens
miteinander vergleichen.
1
1.1
Reelle Kettenbrüche
Bevor wir uns mit komplexen Kettenbrüchen beschäftigen, soll hier zunächst der reelle Kettenbruch eingeführt und einige wichtige Eigenschaften betrachtet werden. Wir
werden uns später mit Parallelen zwischen reellen und komplexen Kettenbrüchen
beschäftigen.
Definition. Die einfache,
z ∈ R ist von der Form
reguläre
Kettenbruchentwicklung
1
z = a0 +
a2 +
Zahl
=: [a0 , a1 , a2 , . . .] ,
1
a1 +
einer
1
..
1
.+
an−1 +
1
an . . .
mit ai ∈ N, wobei a0 auch null und negative Werte annehmen darf.
Die a0 , a1 , . . . werden als die Teilnenner des Kettenbruches bezeichnet. Der
geläufigste Algorithmus zur Bestimmung einer Kettenbruchentwicklung einer reellen
Zahl z verwendet die Iteration
1
und an := bzn c .
z0 := z, zn := bzn c +
zn+1
Bricht die Kettenbruchentwicklung nach n Iterationsschritten ab, also
z = [a0 , a1 , . . . , an ], so spricht man von einem endlichen Kettenbruch, ansonsten
von einem unendlichen Kettenbruch.
Für rationale Zahlen z =
Euklidischen Algorithmus
a
b
entspricht diese Iteration gerade der Anwendung des
a = a0 b + r1
b = a1 r1 + r2
..
.
rn−2 = an−1 rn−1 + rn
rn−1 = an rn + 0,
womit
z=
1
1
1
a
= a0 +
= a0 +
= a0 +
= . . . folgt.
b
b
1
1
a1 +
a1 +
r1
r1
r2
a2 +
r2
r3
2
Da der Euklidische Algorithmus für ganze Zahlen a und b terminiert, folgt sofort,
dass jede rationale Zahl eine Darstellung [a0 , a1 , . . . , an ] als endlichen Kettenbruch
besitzt. Sie ist eindeutig bis auf die Darstellung
[a0 , a1 , a2 , . . . , an − 1, 1] = [a0 , a1 , a2 , . . . , an ] ,
im Falle an ≥ 2. Umgekehrt ist offensichtlich auch jeder endliche Kettenbruch eine
rationale Zahl. Für z ∈ R \ Q bricht der Algorithmus hingegen nicht ab und liefert
einen unendlichen Kettenbruch.
Definition. Für den Kettenbruch [a0 , a1 , a2 , . . .] einer reellen Zahl z heißt
[a0 , a1 , . . . , an ] = pqnn der n-te Näherungsbruch an z.
Damit erhält man
pn
n→∞ qn
Satz 1.1. Für irrationale Zahlen z ∈ R gilt lim
= z.
Im Folgenden wollen wir einige wichtige Eigenschaften der Näherungsbrüche
betrachten, wobei uns vor allem die Approximationsgüte interessiert. Die jeweiligen
Beweise hierfür können in einschlägiger Literatur gefunden werden [1].
Kennt man die ersten n Teilnenner eines Kettenbruches, so können Zähler
und Nenner der Näherungsbrüche mit Hilfe der Beziehungen
p−1 = 1
q−1 = 0
p 0 = a0
q0 = 1
pn = an pn−1 + pn−2
qn = an qn−1 + qn−2
(1)
(2)
berechnet werden.
Außerdem folgt aus obigen Gleichungen sofort
Satz 1.2. Für n ∈ N gilt
pn−1 pn n
qn−1 qn = (−1) ,
insbesondere sind pn und qn teilerfremd.
Hieraus lassen sich bereits erste Folgerungen über die Approximationsgüte der
Näherungsbrüche ableiten:
Satz 1.3. Für z ∈ R \ Q gilt
z−
pn
(−1)n−1
=
qn
qn (zn+1 qn + qn+1 )
und wegen zn+1 ≥ an+1 insbesondere
p
1
n
z − <
.
qn
an+1 qn2
3
(3)
(4)
Lagrange zeigte, dass die Näherungsbrüche einer Irrationalzahl z die bestmöglichen
rationalen Approximationen liefern.
Satz 1.4. Gesetz der besten Näherung
Sei pqnn der n-te Näherungsbruch an eine Irrationalzahl z und p, q ∈ Z mit 0 < q ≤ qn ,
dann gilt für n ≥ 2
|qn z − pn | < |qz − p|
und insbesondere
z − pn < z −
qn Es gibt folglich keine rationale Zahl
die z besser approximiert, als pqnn .
p
q
p .
q
mit gleichem oder kleinerem Nenner als qn ,
Nachdem wir einige Eigenschaften der reellen Kettenbrüche betrachtet haben,
wollen wir nun überlegen, ob man komplexe Zahlen in ähnlicher Weise als
Kettenbruch darstellen kann.
1.2
Vom reellen zum komplexen Kettenbruch
Seit dem Ende des 19.Jahrhunderts beschäftigten sich Mathematiker, wie zum Beispiel die Brüder Adolf und Julius Hurwitz, Shigeru Tanaka, Doug Hensley oder
Asmus Schmitt mit dem Problem, komplexe Zahlen als Kettenbrüche darzustellen
und entwickelten dafür verschiedene Algorithmen. Diese unterscheiden sich sowohl
in Approximationsgüte, als auch in -schnelligkeit. Im Vergleich zum reellen Kettenbruch erfordern komplexe Kettenbruchentwicklungen im Allgemeinen mehr Rechenaufwand und besonders der Nachweis gewisser Eigenschaften gestaltet sich schwieriger, als noch im Reellen. Bevor wir zwei dieser Algorithmen genauer betrachten,
ist es sinnvoll bereits im Vorfeld zu überlegen, welche Eigenschaften wir von einem
komplexen Kettenbruch erwarten. Wir bezeichnen im Folgenden mit G die Menge
der ganzen Gaußschen Zahlen
Z [i] = {a + ib| a, b ∈ Z} =: G.
Folgendes Verhalten ist für komplexe Kettenbrüche wünschenswert:
1. Analog zur reellen Kettenbruchentwicklung
man zu einer komplexen
erhalte
pn
.
Zahl z eine Folge von Näherungsbrüchen qn
n∈N
Wir möchten, dass pn , qn ∈ G ist, wobei pn und qn teilerfremd sind und der
4
n-te Näherungsbruch möge die Form
pn
= a0 +
qn
1
a1 +
1
(5)
1
.
a2 + . . +
an
annehmen.
2. Die Folge (|qn |)n∈N wachse exponentiell.
3. FürZahlen z = uv mit u, v ∈ G terminiere der Algorithmus und die Folge
pn
besitze den Grenzwert lim pqnn = z.
qn
n∈N
n→∞
4. Für die Näherungsbrüche pqnn von z gelte (4) oder eine ähnlich gute Abschätzung
für alle n ∈ N0 und z ∈ C.
5. Es ist außerdem wünschenswert, dass jede hinreichend gute Näherung pq an
z mit p, q ∈ G einen Näherungsbruch des Kettenbruchalgorithmus darstellt
(vergleiche hierzu mit dem Gesetz der besten Näherung).
6. Als Letztes sollen zur Berechnung der Kettenbrüche bestenfalls nur einfache
Rechenoperationen nötig sein.
Mit dieser Aufzählung besitzen wir nun eine Reihe von Kriterien, an denen sich
Kettenbruchalgorithmen messen lassen.
2
Der komplexe Kettenbruch bei Hurwitz
Adolf Hurwitz (*1859 Hildesheim, † 1919 Zürich) war ein Mathematiker deutschjüdischer Abstammung. Er studierte Mathematik in München und Berlin, war dann
als Privatdozent in Göttingen und später als Professor in Königsberg und Zürich
tätig. Hurwitz publizierte um die 100 Arbeiten, vorwiegend im Bereich der Zahlentheorie und Funktionentheorie und stand mit bekannten Mathematikern wie Weierstrass, Minkovski oder Hilbert in Verbindung [8]. Er war außerdem einer der ersten Mathematiker, die sich damit beschäftigten, komplexe Zahlen durch Kettenbrüche auszudrücken. Der von ihm entwickelte Algorithmus (im Folgenden HurwitzAlgorithmus genannt) erfüllt, wie wir sehen werden, die meisten der geforderten Eigenschaften. Ähnlich zum reellen Kettenbruch, liefert er für eine komplexe Zahl z
eine Folge von Gaußschen Zahlen, aus welcher sich die jeweiligen Näherungsbrüche
berechnen lassen.
5
2.1
Algorithmus und Notation
Definition. Zu einer komplexen Zahl z bezeichne [z] ∈ G diejenige Gauß’sche Zahl
mit dem kleinsten Abstand zu z. Man wähle folglich als Realteil von [z] die nächste
ganze Zahl zu Re (z), analog verfährt man mit dem Imaginärteil. Befindet man sich
genau in der Mitte zwischen zwei ganzen Zahlen, so wird immer aufgerundet.
Es gilt
r innerhalb der Menge
somit also1 z = [z] +1 r für jede Zahl z ∈ C, wobei
1
B = x + iy| − 2 ≤ x, y < 2 liegt (siehe Abbildung 1) .
Abbildung 1: Die Menge B
Der Hurwitz-Algorithmus generiert zu einer komplexen Zahl z eine Folge von Teilnennern (an )n∈N aus welcher wiederum, wie im reellen Fall, Folgen (pn )n∈N und
(qn )n∈N bestehend aus Gaußschen Zahlen, berechnet werden können. Die Brüche pqnn
stellen damit auch hier die Näherungsbrüche an z dar.
Der Hurwitz-Algorithmus besteht aus der Iteration
1
1
zn+1 :=
−
mit z0 := z.
(H)
zn
zn
Für reelle z entspricht dies gerade der sogenannten Kettenbruchentwicklung nach
dem nächsten Ganzen [6].
1
Hensley [2] schreibt hier in seiner Arbeit abrunden“ statt aufrunden“. Damit würde der Rest
”
”
r aber nicht in der Menge B liegen, wie von ihm gefordert
6
Bemerkung 1. (Zur Notation)
Zur besseren Übersichtlichkeit sollen noch einige Bezeichnungen eingeführt werden.
Für die Teilnenner an gilt
1
an =
∈ G für n ≥ 1.
zn−1
Der Kettenbruch nimmt somit also die gewünschte Form (vergleiche(5)) an. Wir
gehen im Folgenden von z ∈ B aus. Dann ist a0 = [z] = 0 und wie für den reellen
Kettenbruch berechnen sich die Näherungsbrüche durch
p−1 = 1
q−1 = 0
p0 = 0
q0 = 1
pn = an pn−1 + pn−2 ,
qn = an qn−1 + qn−2 .
(P)
(Q)
Wir definieren außerdem
xn =
1
zn−1
qn−1
ωn =
.
qn
und
Dann erhält man mit obigen Beziehungen
1
1
zn+1 =
−
= xn+1 − an+1 ,
zn
zn
1
ωn+1 =
.
an+1 + ωn
(6)
(7)
Satz 2.1. Für z ∈ Q(i) terminiert der Hurwitz-Algorithmus und es entsteht ein
endlicher Kettenbruch.
Für den Beweis benötigen wir folgende Erkenntnisse aus der Algebra [1].
Definition. Einen Hauptidealring R bezeichnet man als euklidisch, wenn eine Gradfunktion γ 0 : R \ {0} → N0 existiert, sodass zu p, q ∈ R mit q 6= 0 Elemente a, r ∈ R
existieren, sodass p = qa + r und r = 0 oder γ 0 (r) < γ 0 (q) gilt.
Dann ist Z [i] ein euklidischer Ring mit γ (x + iy) := |x + iy|2 = x2 + y 2 ∈ N0 für
x, y ∈ Z.
Beweis. Wir zeigen, dass der Algorithmus von Hurzwitz angewandt auf z ∈ Q (i)
äquivalent zum erweiterten euklidischen Algorithmus in Z [i] mit der Gradfunktion
γ ist.
Es sei z = rr−1
∈ Q (i) mit r−1 , r0 ∈ Z [i]. Dann ergibt sich der erweiterte euklidische
0
7
Algortihmus in folgender Weise aus der in der Definition beschriebenen Division mit
Rest.
r−1 = a0 r0 + r1
r0 = a1 r1 + r2
..
.
rj−1 = aj rj + rj+1
..
.
rn−1 = an rn + rn+1
rn = an+1 rn+1 .
(?)
Es gilt dabei ri , ai ∈ Z [i] für i = 0, . . . , n + 1. Für die Reste ri , i = 0, . . . , n muss
außerdem
γ (rj+1 ) < γ (rj )
(??)
erfüllt sein. Der Algorithmus terminiert, da γ auf N0 streng monoton fällt. Somit
gilt also
r1
r−1
= a0 + = a0 +
r0
r0
1
r2
a1 +
r1
1
= a0 +
a1 +
a2 +
1
= a0 +
a1 +
= ··· =
1
r3
r2
= [a0 , a1 , · · · , an , an+1 ] .
1
1
.
a2 + . . +
an +
1
an+1
Wir wollen dies nun auf den Hurwitz-Algorithmus übertragen. Mit (?) erhalten wir
rj−1
rj+1
= aj +
.
rj
rj
Setzt man nun zj :=
rj+1
, so ergibt sich
rj
1
zj−1
= aj + zj ,
8
was dem Hurwitz-Algorithmus entspricht
h
i (vergleiche (6)). Es bleibt noch zu zeigen,
1
dass für die aj auch wirklich aj = zj−1 erfüllt ist. Dies ist äquivalent dazu, dass
1
für ein gegebenes zj−1 ∈ B der Abstand von zj−1
zur Gaußschen Zahl aj , hier zj , in
B liegt. Mit der Norm γ auf Z [i] und (??) erhalten wir
γ (zj ) = |zj |2 =
γ (rj+1 )
<1
γ (rj )
und somit ist |zj | < 1. Da nach Konstruktion aj ∈ Z [i] ist, folgt nun zj ∈ B. Für
alle rationalen komplexen Zahlen bricht der Hurwitz-Algorithmus also ab.
Der letzte nicht verschwindende Näherungsbruch pqnn entspricht dann gerade z. Ist
z ∈
/ Q(i), so bricht der Algorithmus nicht ab und man erhält einen unendlichen
Kettenbruch. Wie im reellen Fall gilt auch hier Satz 1.1, wobei der Beweis analog
erfolgt.
2.2
Betrachtung der möglichen Folgenglieder von (an )n∈N
In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, ob für einen Teilnenner aj alle Nachfolger
aj+1 ∈ G möglich sind. Es stellt sich heraus, dass für einige aj nur ganz bestimmte
aj+1 in Frage kommen.
Zu der Menge B der möglichen zn−1 betrachten wir die reziproke Menge
1
1
:= z ∈ B .
B
z
Alle im Folgenden erwähnten Kreisscheiben besitzen den Radius eins. Dann liegt B1
in der komplexen Zahlenebene außerhalb des Bereiches, der von den vier Kreisscheiben um ±1 und ±i begrenzt wird (siehe Abbildung 2). Der Rand dieses Bereiches
schneidet gerade die Punkte {±2, ±2i, ±1 ± i} hdes Gitters
der Gaußschen Zahlen.
i
1
Somit ergibt sich für die möglichen Werte an = zn−1 die Menge
G0 := G \ {0, 1, −1, i, −i} .
Wir wollen nun zeigen, dass für die Folge der Teilnenner (an )n∈N bestimmte
Sequenzen aufeinanderfolgender Folgeglieder aj und aj+1 nicht möglich, bzw.
nur bestimmte Folgeglieder möglich sind. Die dafür nötigen Betrachtungen sind
hauptsächlich geometrischer Natur und sollen an den folgenden Beispielen exemplarisch durchgeführt werden.
aj = 1 + i: Dann liegt xj = zj + aj im Schnitt der Menge
9
1
B
(wegen xj =
1
)
zj−1
und
Abbildung 2: Die Menge
1
B
dem Rechteck x + iy| 12 ≤ x, y < 32 .
Unter Verwendung von (6) liegt somit aber zj = xj − aj = xj − (1 + i) im Schnitt
von B1 − (1 + i) und B. Wir bilden nun das Reziproke dieser Schnittmenge und
erhalten die Punktemenge B1 , eingeschränkt durch die Bedingungen Re (z) ≥ − 21
und Im (z) < 12 . Siehe hierzu Abbildung 3 und Abbildung 4.2
Für aj+1 sind somit gerade die Zahlen x − iy mit x, y ∈ N0 und x + y ≥ 2 möglich.
Man kann die Fälle aj = 1 − i und aj = −1 − i analog behandeln und erhält die
möglichen aj+1 durch entsprechendes komplexes Konjugieren bzw. Negieren der im
ersten Fall erhaltenen Werte.
Leider ist es nicht möglich den Wert aj = −1 + i, wie von Hensley in seiner Arbeit
[2] angenommen, genauso zu betrachten, da der Rand von B in jedem Fall extra
betrachtet werden muss.
aj = −1 + i: Ein Gegenbeispiel zu Hensleys Annahme, dass für aj+1 nur
Zahlen der Menge A := {−a − ib| a, b ∈ N0 ; a + b ≥ 2} möglich sind, liefert die
2
Hensley [2] gibt für die möglichen Werte von
1
2
h i
1
zj
zwar das richtige Bild an, beschreibt die
Menge aber falsch. Für die Bedingung Im (z) < nimmt er fälschlicherweise den Rand dazu und
schreibt Im (z) ≤ 12 . Um zu erreichen, dass die Menge eine Teilmenge von B1 ist, schließt er die
beiden Kreisscheiben um 1 und −i aus, bezeichnet den Bereich außerhalb der Scheibe um 1 aber
mit |z + 1| > 1 statt mit |z − 1| > 1. Er müsste hier außerdem zusätzlich zum Beispiel noch den
Einheitskreis ausschließen, um wirklich nur Punkte in B1 zu erhalten.
10
Abbildung 3: Mögliche zj für aj = 1 + i
Abbildung 4: Die möglichen aj+1
Kettenbruchentwicklung
B3−
1
5
− i=
14 2
1
−1 + i +
1
1 − 3i +
.
1
−2
Auf den Teilnenner a1 = −1 + i folgt hier der Teilnenner a2 = 1 − 3i, wobei a2
offensichtlich nicht in A liegt. Grundsätzlich kann man den Fall aj = −1 + i wie
aj = 1 + i behandeln und erhält für die möglichen Werte z1j die für aj = 1 + i
erhaltenen Menge an der imaginären Achse gespiegelt. Der Unterschied zum ersten
Fall liegt hier allerdings in der Abbildung des Randes von B. Man sieht, dass
hier sowohl für die Grenze Re (z) ≤ 12 also auch für die Grenze Im
(z) ≤ 12 der
Rand miteingeschlossen ist. Da wir aber zu Beginn des Kapitels 21 := 1 definiert
haben, liegen die möglichen Werte von aj+1 nicht mehr nur innerhalb der Menge
A.3 Stattdessen muss man als neue Grenzen des Bereichs in dem aj+1 liegen kann
Re (z) ≤ 1, Im (z) ≤ 1 und B1 angeben. Es sind also für aj+1 alle −x − iy mit
x, y ∈ N0 ∪ {−1} und |x| + |y| ≥ 2 möglich.
In analoger Weise wie aj = 1 + i behandeln wir die folgenden Fälle.
3
Würde man hier, wie es in Hensleys Paper [2] steht, abrunden, so hätte man im Fall, aj = −1+i
kein Problem mehr, dafür aber nun beispielsweise für aj = 1 + i.
11
aj = 2: Hier gilt xj ∈ B1 ∩ x + iy| − 12 ≤ y < 12 , 32 ≤ x < 52 . Somit liegt zj
im Schnitt von B mit dem Äußeren der Kreisscheibe
um den Mittelpunkt −1.
Das Reziproke dieser Schnittmenge ist B1 ∩ x + iy|x > − 12 . Somit kommen für
aj+1 die Punkte {x + iy| x ∈ N0 , y ∈ Z |x| + |y| ≥ 2} in Frage, siehe Abbildung 5
und 6.
Abbildung 5: Mögliche zj für aj = 2
Abbildung 6: Die möglichen aj+1
aj = 2 + i: Dann liegt xj im Schnitt der Menge B1 und dem Rechteck
x + iy| 23 ≤ x < 52 , 12 ≤ y < 23 (das Rechteck wird von der Kreisscheibe um m0 = 1
geschnitten) und somit liegt zj innerhalb des Schnittes von B mit dem Äußeren der
Kreisscheibe um m = m0 − aj = −1 − i. Für die Nachfolger aj+1 kommt somit ganz
G’ bis auf den Punkt {−1 + i} in Frage, woraus aj+1 ∈ G0 \ {−1 + i} folgt, siehe
Abbildung 7 und 8.
Insgesamt
aj+1 ∈ G:
erhält
man
aj
1+i
−1 + i
2
2 + i, 1 + 2i
die
folgende
Aufzählung
möglicher
Folgeglieder
mögliche Nachfolger aj+1
a − ib; a, b ∈ N0 ; a + b ≥ 2
−a − ib, a, b ∈ N0 ∪ {−1} ; |a| + |b| ≥ 2
a + ib, a ≥ 0; |a| + |b| ≥ 2
G0 \ {−1 + i}
Betrachtet man in den letzen beiden Zeilen an Stelle der aufgeführten aj deren
Negatives oder Konjugiert-komplexes, so erhält man entsprechend auch das Negative
12
Abbildung 7: Mögliche zj für aj = 2 + i
Abbildung 8: Die möglichen aj+1
√
bzw. Konjugiert-komplexe der möglichen aj+1 . Für alle Teilnenner mit |aj | ≥ 2 2
gibt es keine Einschränkungen, da die Schnittmenge von B1 mit dem Quadrat mit
Mittelpunkt aj und Seitenlänge eins leer ist. Folglich sind in diesem Fall alle aj+1 ∈
G0 möglich.
2.3
Approximationsgüte
Für Betrachtungen in der komplexen Zahlenebene ist es hilfreich, sich Gedanken
über die Inversion von Kreisscheiben zu machen.
Bemerkung 2. Sei
D (s, r) := {z ∈ C : |z − s| < r}
eine Kreisscheibe in C mit Mittelpunkt s und Radius r < |s| (also eine Kreisscheibe,
die den Nullpunkt nicht enthält), dann gilt für das Reziproke dieser Menge
1
1
1
= z ∈ C : ∈ D (s, r) = z ∈ C : − s < r =
D (s, r)
z
z
s
r
<
.
= z ∈ C : z − 2
|s| − r2 |s|2 − r2
Man erhält somit offensichtlich wiederum eine Kreisscheibe D (s0 , r0 ) mit Mittel-
13
punkt s0 =
s
|s|2 −(r)2
und Radius r0 =
1
=D
D (s, r)
r
,
|s|2 −r2
also
s
r
, 2
2
2
|s| − r |s| − r2
.
(8)
Diese Eigenschaft werden wir für die folgenden Betrachtungen benötigen.
Mit Hilfe der in Kapitel 2.2. entwickelten Einschränkung möglicher Folgeglieder aj+1
können wir jetzt folgende wichtige Aussage beweisen:
Satz 2.2. Für zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrüche gilt
|qn | > |qn−1 | für alle n ≥ 1.
Beweis. Äquivalent zu obiger Aussage, können wir mit ωn = qn−1
auch
qn
1
|kn | := ωn > 1 zeigen, das heißt, dass der Punkt kn nicht innerhalb des abgeschlossenen Einheitskreises liegt. Mit (Q) gilt
k1 = a1 ,
k2 = a2 + ω1 ,
... .
Wie schon in Kapitel 2.2. gilt auch hier, dass alle Kreisscheiben den Radius r = 1
haben. Wir führen eine Induktion von n − 1 nach n durch:
Für k1 trifft die Behauptung zu, da immer |a1 | > 1 gilt, wie oben gezeigt. Wir
nehmen an, die Behauptung |kj | > 1 stimmt für alle k1 , . . . , kn−1 , für kn aber nicht
mehr.
1
1
Wegen kn−1
< 1 liegt dann kn = an + kn−1
im Schnitt der Kreisscheibe um an mit der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe. Somit ist nur
an ∈ {1 + i, 1 − i, −1 − i, −1 + i} möglich, da ansonsten nach Annahme der
Schnitt leer ist.
Es soll im Folgenden nur der Fall an = 1 + i betrachtet werden, die übrigen
drei Fälle können analog behandelt werden.
Dann liegt kn im Schnitt des abgeschlossenen Einheitskreises mit dem Kreis um
1
= kn − an im Schnitt der Einheitskreisscheibe
1 + i. Damit folgt direkt, dass kn−1
mit dem Kreis um −an = −1 − i liegt. Unter Verwendung von Bemerkung 1 und
1
kn−1 = an−1 + kn−2
fällt somit kn−1 in das Äußere des Einheitskreises und in das
Innere der Kreisscheibe um (−1 + i). Somit sind nur solche an−1 möglich, bei
denen der Kreis um an−1 eine Schnittmenge mit der Kreisscheibe um −1 + i hat.
Damit sind für an−1 aber nur die Werte {−1 + i, −2, 2i, −2 + i, −1 + 2i, −2 + 2i}
möglich. Betrachtet man zusätzlich die in Kapitel 2.2. erstellte Tabelle möglicher
Folgeglieder, so fällt auf, dass nur an−1 = −2 + 2i in Frage kommt.
1
Nun liegt also an−1 + kn−2
sowohl im Inneren des Kreises um (-2+2i), als
14
auch im Kreis um (-1+i). Mit den selben Argumenten folgt nun weiter, dass
1
außerhalb des Einheitskreises, aber im Inneren des Kreises um
kn−2 = an−2 + kn−3
(1+i) liegt und unter Verwendung der Tabelle, dass an−2 = 2 + 2i sein muss. Fährt
man weiter fort, so erhält man als Werte für die aj :
an = 1 + i
an−1 = −2 + 2i
an−3 = −2 + 2i
an−2 = 2 + 2i
an−4 = 2 + 2i, . . . .
Mit diesem Ergebnis lassen sich nun sukzessive die Werte k1 , k2 , . . . , kn−1 bilden.
Wir können die folgende Betrachtung durchführen.
Für n = 1 ist k1 = a1 und somit |k1 | = |1 + i| =
Für n = 2 gilt k2 = a1 +
1
−2+2i
Sei nun n ≥ 3: Dann ist k1
dem:
√
2 > 1.
3√
2 > 1 folgt.
4
√
= ±2 + 2i, also |k1 | = 8. Wir wissen außer-
= 34 (1 + i), woraus |k2 | =
1
kj = aj +
für j ≥ 2,
kj−1
aj = ±2 + 2i
für 1 ≤ j ≤ n − 1.
(9)
(10)
Anwenden der umgekehrten Dreiecksungleichung auf (9) liefert
|kj | ≥ |aj | −
1
|kj−1 |
=
√
8−
1
=: yj ∈ R.
|kj−1 |
√
1
=
8 − yj−1
mit y1
√
Damit erhalten wir die Rekursion yj
=
8 und
√
√
y2 = 8 − √18 = 47 2. Unter der Annahme, dass yj < yj−1 < . . . ist, folgt per
Induktion auch
√
√
1
1
yj+1 = 8 −
< 8−
= yj .
yj
yj−1
√
√
Wir wissen außerdem, dass y2 = 74 2 < 2 + 1 ist und somit erhalten wir wiederum
per Induktion
√
√
√
1
1
3+ 8 √
yj+1 = 8 −
> 8− √
=√
= 2 + 1.
yj
2+1
2+1
Somit ist für alle j < n
kj ≥ yj >
15
√
2 + 1.
Mit kn = an +
1
kn−1
und an = 1 + i folgt die gewünschte Abschätzung
|kn | ≥
√
2−
1
kn−1
>
√
2− √
1
= 1.
2+1
Das selbe Ergebnis erhält man mit den restlichen drei Werten für an und dies liefert
nun
|kn | > 1
und damit insbesondere
|qn | > |qn−1 | bzw. |ωn | < 1.
Das streng monotone Wachstum der Beträge der Teilnenner ist eine Eigenschaft, die
der Hurwitz-Kettenbruch mit dem reellen Kettenbruch gemeinsam hat. Wir hatten
dies außerdem zu Anfang als wünschenswert für alle Kettenbruchalgorithmen gefordert.
Bemerkung 3. Mit Hilfe von Satz 2.1. können wir nun analog zu Satz 1.2. eine
Abschätzung für die komplexen Näherungsbrüche angeben. Es gilt wegen
pn + zn pn−1 pn
(−1)n zn
pn
=
−
= 2
qn
qn + zn qn−1
qn
qn (1 + zn ωn )
q
p
und mit |zn | = (Re zn )2 + (Im zn )2 < ( 12 )2 + ( 12 )2 = √12 und |ωn | < 1 folgt
p
|zn |
n
z0 − =
2
qn
|qn | |1 + zn ωn|
z0 −
<
|zn |
|qn | (|1| − |zn ωn |)
2
|zn |
<
2
|qn | (1 −
√
√
(2 + 2) |zn |
2+1
=
<
.
2
1
√ )
|qn |
|qn |2
2
Man kann also eine
√ ähnliche Abschätzung, wie bei reellen Kettenbrüchen angeben,
die aber wegen 2 + 1 > 1 geringfügig schlechter ist. Dies wirkt sich allerdings für
große qn kaum aus.4
4
√ In der Arbeit von Hensley [2] fehlt bei dieser Abschätzung das ’Plus’-Zeichen zwischen 2 und
2, weswegen es fälschlicherweise
√
z0 − pn < 2 2 |zn | heißt.
2
qn |qn |
16
Satz 2.3. Sei z ∈ B gegeben, mit Näherungsbrüchen bis zu einer Tiefe von mindestens n + 2 für n ≥ 1.
Aus |ωn | ≥ 32 , folgt dann |ωn+1 | < 23 . Weiterhin ist entweder
2
|ωn | < ,
3
oder es gilt für |ωn | eine der folgenden Gleichungen bzw. deren komplex-konjugierte
oder negative Entsprechung:
3
9
ωn −
<
(1
−
i)
und
an = 1 + i,
7
14
ωn − 9 < 3
und
an = 2.
16 16
Beweis. Für ω0 = qq−1
= 0 ist die Aussage mit (2) offensichtlich richtig. Wir bezeich0
nen nun mit D0 := D 0, 23 die Kreisscheibe mit Mittelpunkt 0 und Radius 32 und
definieren außerdem acht weitere Scheiben:
1
,
(1 + i + D0 )
−1
D3 =
,
(1 + i + D0 )
1
,
D5 =
(2 + D0 )
−1
D7 =
,
(2 + D0 )
1
,
(−1 + i + D0 )
1
D4 =
,
(1 − i + D0 )
1
D6 =
,
(2i + D0 )
1
D8 =
.
(−2i + D0 )
9
Somit ist nach Bemerkung 2. zum Beispiel D1 = D 14
(1 − i), 37 .
Wir nehmen an, die Behauptung sei richtig für m ≤ n und wollen die Gültigkeit für
n + 1 zeigen:
Die zweite Aussage des Satzes ist gleichbedeutend damit, dass entweder |ωn | < 32 ,
also ωn ∈ D0 gilt, oder ωn im Schnitt einer
der
Scheiben D1 bis D8 mit der offenen
qn−1 Einheitskreisscheibe D liegt (da |ωn | = qn < 1 nach Satz 2.1. gilt). an nimmt
dann einen der Werte ±1 ± i, ±2 oder ± 2i an.
Außerdem erinnern wir uns daran, dass nach (6) die Gleichung
D1 =
ωn+1 =
D2 =
1
an+1 + ωn
(11)
gilt. Nun unterscheiden wir zwei Fälle.
1. |ωn | <
2
3
und damit ωn ∈ D0 . Wir machen eine weitere Fallunterscheidung.
17
• Für |an+1 | ≥
√
5 ist mit Hilfe der umgekehrten Dreiecksungleichung
1
2
< √ 1
|ωn+1 | = < .
2
an+1 + ωn
3
5− 3
• Es bleiben noch die Fälle an+1 ∈ {±1 ± i, ±2, ±2i} zu behandeln. Hier ist
1
offensichtlich gerade eine der Kreisscheiben D1 bis D8 und somit
an +D0
gelten die geforderten Gleichungen.
Damit ist der Satz für diesen Fall gezeigt.
2. |ωn | ≥ 32
Wir zeigen, dass für jeden möglichen Nachfolger an+1 auf an gilt, dass
ωn+1 ∈
1
⊆ D0 ist, für ein 1 ≤ k ≤ 8.
Dk + an+1
Dafür betrachten wir nur den Fall ωn ∈ D1 \ D0 , da die restlichen sieben Fälle
ωn ∈ Di \ D0 für i = 2, . . . , 8 analog behandelt werden können.
Dann ist nach Induktionsbehauptung an = 1 + i und somit nach den Betrach√
tungen in Kapitel 2.2. an+1 ∈ {a − ib : a, b ∈ N0 , a + b ≥ 2}. Für an+1 ≥ 2 2
und mit |ωn | < 1 erhält man
1
2
1
<
< .
|ωn+1 | = an+1 + ωn
|an+1 | − |ωn |
3
√
Es bleiben noch die Fälle |an+1 | < 2 2, also genau
an+1 ∈ {2, −2i, 1 − i, 2 − i, 1 − 2i} zu betrachten. Für diese folgt durch explizite Berechnung der einzelnen Fälle, dass ωn+1 ∈ an+11+D1 ⊂ D0 .
1
37
23
6
1
37
Zum Beispiel gilt 2−i+D
= D( 133
+ 133
i, 133
) ⊂ D0 oder 2+D
= D( 101
+
1
1
9
6
2
2
i, ) ⊂ D0 . Somit ist gezeigt, dass im Fall |ωn | ≥ 3 immer |ωn+1 | < 3 gilt.
101 101
Hieraus folgt sofort
Korollar 2.4. Besitzt eine Zahl z ∈ B eine Hurwitz Kettenbruchentwicklung bis zu
einer Tiefe von mindestens n + 2 für n ∈ N0 , dann gilt
qn+2 3
qn ≥ 2 .
18
Beweis. Es gilt
qn+2 qn+2 qn+1 1
=
qn qn+1 qn = |ωn ωn+1 | .
Nach Satz 2.1. wissen wir, dass dann |ωn | < 1 ist. Somit folgt aus Satz 2.2. sofort,
dass für zwei benachbarte Glieder der Folge (ωn )n∈N gelten muss
2
|ωn | |ωn+1 | = |ωn ωn+1 | < .
3
Wir erhalten die gewünschte Ungleichung
qn+2 3
1
qn = |ωn ωn+1 | > 2 .
Mit den bisher gewonnenen Erkenntnissen kann nun ein Pendant zum in Kapitel 1
aufgeführten ’Gesetz der besten Näherung’ für reelle Zahlen angegeben werden.
Satz 2.5. Die Zahl z
∈
C besitze eine Hurwitz-Kettenbruchentwicklung
n−1
bis zu einer Tiefe von mindestens n ∈ N und pqn−1
und pqnn seien der
(n − 1)-te bzw. n-te Näherungsbruch. Außerdem seien p, q ∈ G mit pq 6= pqnn und
|qn−1 | < |q| ≤ |qn |. Dann gilt
p
1 pn
− z > − z · qn .
q
5 qn
q
Beweis. Wir können p und q ausdrücken durch das System
p
pn−1 pn
s
=
.
qn−1 qn
q
t
|
{z
}
(12)
=:R
Hierbei gilt
R
−1
1
=
det(R)
qn
−pn
−qn−1 qn
qn
−pn
= ±1
−qn−1 qn
∈ G(2×2) ,
da mit Satz 1.1. det(R) = ±1 ist. Folglich erhält man
s
−1 p
=R
∈ G2 ,
t
q
also s, t ∈ G. Für s = 0 muss |t| ≥ 1 nach der Vorraussetzung |q| ≤ |qn | gelten und
somit ist die Behauptung gezeigt. Wir teilen den Beweis in zwei Fälle auf:
19
1. Sei |s| = 1: Wir können o.B.d.A. die Gleichung mit s durchmultiplizieren und
erhalten
Schritt ändert nichts an der Ungleichung, denn es gilt
s = 1. Dieser
sp
p
sq − z = q − z .
Nach Bemerkung 3 gilt außerdem
|zn |
z − pn =
.
qn
|qn (qn + zn qn−1 )|
Unter Verwendung dieser Identität müssen wir
p
|zn |
− z = tpn + pn−1 − pn + zn pn−1 ≥ 1
q
tqn + qn−1
qn + zn qn−1
5 |q (qn + zn qn−1 )|
zeigen. Dies kann man mit (12) auch äquivalent als
1
t − ≥ 1
zn 5
(13)
ausdrücken.
h i
Mit (Q) gilt q = qn+1 genau dann, wenn t = z1n = an . Wegen der Vorraush i
setzung |q| ≤ |qn | < |qn+1 | kann dies aber nie der Fall sein, weswegen t 6= z1n .
h i
h i
Da z1n aber die einzige Gauß’sche Zahl ist, für die der Abstand z1n − z1n kleiner werden kann als
√1
2
und außerdem t ∈ G gilt, muss also
t − 1 ≥ √1 > 1
zn 2
2
erfüllt sein. Dies zeigt die Behauptung.
2. Sei |s| > 1: Wir nehmen an, z = pq bilde ein Gegenbeispiel zu obiger Behauptung. Aus der Vorraussetzung |qn−1 | < |q| ≤ |qn | und
q = sqn−1 + tqn folgt sofort die Ungleichung
q
|ωn | < |sωn + t| = ≤ 1,
qn
während sich aus der Annahme, dass pq ein Gegenbeispiel bildet, die Ungleichung
s
− t ≤ 1
zn
5
ergibt (vergleiche (13)). Formt man diese beiden Ungleichungen um, so erhält
man die dazu äquivalenten Bedingungen
1
t
1
t
− ≤
ωn + ≤ 1 .
und
zn s 5 |s|
s |s|
20
Ein Vergleich mit Hilfe der Dreiecksungleichung liefert
1
ωn + < 6 .
zn 5 |s|
(14)
Sowohl ωn als auch zn sind aber von an abhängig, denn ωn = an +ω1 n−1
mit |ωn−1 | < 1 nach
Satz 2.1. Somit liegt ωn in der Kreisscheibe
an
1
,
. Wir wissen auch, dass zn im Schnitt D (an , 1) ∩ B
D
|an |2 − 1 |an |2 − 1
√
liegt, was aber nur für |an | ≤ 5 relevant ist, da die Schnittmenge ansonsten
ganz D (an , 1) ist. Wir unterscheiden nun zwischen folgenden Unterfällen:
• Für |an | ≥ 3 ist nach
Beobachtungen |ωn | < 1 und es gilt
obigen
√
1
außerdem immer zn ≥ 2. Insgesamt wissen wir somit also, dass
√
6
1 , was einen Widerspruch zur Annahω
+
n zn > 2 − 12 > 5√6 2 ≥ 5|s|
me darstellt.
• Für an = 2 + 2i ist ωn ∈ D 2−2i
, 71 . Wegen
7
√
5 2
6
2
−
2i
1
=
−(1 − i) +
> √ + ,
7
7
5 2 7
2i 1
was den kleinsten Abstand vom Mittelpunkt
des
Kreises
D
−
,
zu
7
7
einem Punkt in B1 darstellt, liegt also D −2+2i
, 71 + 5√6 2 außerhalb von
7
1
B
und somit erhalten wir einen Widerspruch zu (14).
5
• Für an = 2 + i gilt, wie in Kapitel 2.2. gezeigt,
zn ∈ B \ D (−1 + i, 1). Außerdem
ωn ∈ D
wissen wir, dass
auch im vorherigen Fall liegt D
für
1
zn
− 2−i
, 41
4
+
6
√
5 2
2−i 1
,4
4
. Wie
genau in der Menge, die
ausgeschlossen ist.
• Für an = 2 ist schließlich ωn ∈ D 23 , 13 und mit Kapitel 2.2 z1n ∈ B1 ∩
a + ib| a < − 21 . Auch hier liegt D − 23 , 13 + 5√6 2 genau außerhalb der
Definitionsmenge von
1
,
zn
womit auch hier die Behauptung gezeigt ist.
• Als letzter Fall bleibt an = 1 + i. Hier gilt analog
zu den vorherigen
1
1
Fällen, dass mit ωn ∈ D (1 − i, 1) und zn ∈ B ∩ a + ib| a ≥ − 21 , b ≤ 12 ,
6
√
die Kreisscheibe D −1 + i, 1 + 5 2 genau in den Bereich fällt, von dem
1
zn
ausgeschlossen ist.
5
Hinweis: Hensley schreibt bei dieser Abschätzung statt 1 − i fehlerhafterweise 1 + i, rechnet im
Folgenden aber richtig weiter.
21
Analog zu den Fällen an = 2+2i, 2+i, 2, 1+i kann man jeweils alle betragsgleichen
Werte von an betrachten, wobei man zum selben Ergebnis kommt. Somit haben wir
alle möglichen Fälle betrachtet und damit die Behauptung gezeigt.
An dieser Stelle wäre es interessant, zu untersuchen, ob 15 scharf ist oder ob der
Beweis noch besser geführt werden kann. Für den Fall, dass 51 scharf ist, ist das
Gesetz der besten Näherung für den Hurzwitz-Algorithmus schlechter als im Reellen,
da nicht ausgeschlossen ist, dass Brüche existieren, die eine komplexe Zahl z besser
annähern, als die Näherungsbrüche.
3
Der komplexe Kettenbruch bei Tanaka
Ein weiterer Algorithmus zur Entwicklung komplexer Kettenbrüche stammt aus
dem Jahr 1985 und wurde von dem japanischen Mathematiker Shigeru Tanaka
veröffentlicht [7]. Er macht sich dabei zu Nutze, dass jede komplexe Zahl z eine
eindeutige Darstellung in der Form
z = xα + yα
besitzt, wobei x, y ∈ Z und α := 1 + i gilt. Liegt z in der gewohnten Form z = a + ib
vor, so erhält man obige Darstellung durch die Umformung
a+b
a−b
α.
z = a + ib =
α+
2
2
Im Folgenden hat α immer den Wert 1 + i .
3.1
Algorithmus und Notation
Wir bezeichnen mit I und I die Mengen
I := {nα + mα : n, m ∈ Z} ⊂ Z [i] ,
I := I − {0} .
Definition. Mit [z]T sei derjenige Punkt der Menge I bezeichnet, der die kürzeste
Entfernung zu z besitzt. Die Berechnung von [z]T erfolgt somit nach der Regel
1
1
[z]T := x +
α+ y+
α,
2
2
für z = xα + yα. Diese ’Tanaka-Klammer’ [ · ]T bildet das Analogon zur Gaußklammer im Reellen bzw. der bei Huriwtz verwendeten Klammer.
22
Auf der Menge
1
1
X := z = xα + yα : − ≤ x, y ≤
2
2
sei nun die Transformation T definiert durch
T 0 = 0 und
1
1
Tz = −
für 0 6= z ∈ X.
z
z T
(T)
Diese Abbildung stellt die Iteration des Tanaka-Algorithmus dar.
Analog zum reellen bzw. zum Hurzwitz-Algorithmus kann man nun die Zahl z ∈ C
mit Hilfe des Tanaka-Algorithmus in der Form
1
z=
1
a1 +
a2 +
1
...
an + T n z
darstellen, falls für alle k ≤ n − 1 gilt T k z 6= 0.
Hierbei gilt für die Teilnennerfolge (an )n∈N
1
∈ I.
an = an (z) =
T n−1 z T
5
Beispiel 3.1. In Kapitel 2.2. haben wir z = − 14
− 21 i mit dem Hurwitz-Algorithmus
entwickelt. Wendet man auf z nun den Tanaka-Algorithmus an, so erhält man dieselbe Entwicklung
X3−
1
5
− i=
14 2
1
1
−1 + i +
1 − 3i +
.
1
−2
Wir wollen nun Zahlen z ∈ C betrachten, bei denen der Tanaka-Algorithmus ein
zum Hurwitz-Algorithmus verschiedenes Ergebnis liefert.
29
Beispiel 3.2. Die reelle Zahl 61
soll als Kettenbruch dargestellt werden. Der reelle
Kettenbruchalgorithmus liefert hierfür
29
=
61
1
.
1
2+
9+
1
1+
23
1
2
Benuzt man den Kettenbruchalgorithmus nach dem nächsten Ganzen [6], so erhält
man
1
29
=
.
1
61
2+
1
9+
1
2+
−2
Der Hurwitz-Algorithmus bricht hier sogar schneller ab, als die beiden reellen Verfahren und liefert den Kettenbruch
29
=
61
1
.
1
2+
10 +
1
−3
Benutzt man schließlich die Iteration von Tanaka, so lautet ungeachtet der Konvergenz die Kettenbruchentwicklung
29
=
61
1
.
1
2+
1
10 +
−4 +
1
.
2 + ..
Wir erhalten hier einen unenedlichen Kettenbruch, wohingegen die Entwicklung von
30
=
60
1
2+
1
30
mit dem Tanaka-Algorithmus abbricht.
Die verschiedenen Entwicklungsverfahren liefern offensichtlich, abhängig von der
zu entwickelnden Zahl z ∈ C, gleiche oder völlig verschiedene Kettenbrüche, wobei
diese sich sowohl im Wert der Näherungsbrüche und somit in der Approximationsgüte, als auch in der Anzahl der benötigten Iterationsschritte unterscheiden.
Ähnlich wie bei Hurwitz können wir die Zähler pn ∈ I und Nenner qn ∈ I der
Näherungsbrüche für n ≥ −1 rekursiv berechnen, durch
p−1 = α
q−1 = 0
p0 = 0
q0 = α
pn = an pn−1 + pn−2
qn = an qn−1 + qn−2 .
24
(P’)
(Q’)
Auffällig ist, dass hier, anders als bei Hurwitz, die Werte p−1 und q0 den Wert α
statt 1 besitzen.
Hieraus ergeben sich nun folgende Eigenschaften, die analog zum reellen Fall
hergeleitet werden können:
• Bricht man den Algorithmus nach dem n-ten Iterationsschritt ab, so erhält
man einen Näherungsbruch von der Form
pn
=
qn
1
.
1
a1 +
a2 +
1
...
an
Man bezeichnet diesen Näherungsbruch auch als n-ten Näherungsbruch von z
bezüglich T .
• Für zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrüche
pn−1
qn−1
und
pn
qn
gilt die Beziehung
qn pn−1 − pn qn−1 = 2i (−1)n .
Dies stimmt bist auf den Faktor 2i mit Satz 1.2 überein.
• Die Zahl z ∈ X kann dargestellt werden als
z=
pn + T n zpn−1
.
qn + T n zqn−1
• Für die Nenner der Näherungsbrüche ergibt sich mit (Q’) die Darstellung
qn−1
=
qn
1
an +
.
1
an−1 +
1
...
a1
Die ai treten hier genau in umgekehrter Reihenfolge wie beim zugehörigen
Näherungsbruch auf.
Definition. Mit A (n) sei die Menge aller für T zulässigen Folgen der ersten n Werte
für ai bezeichnet. Wir schreiben
A (n) = {a1 (z) a2 (z) · · · an (z) : z ∈ X} .
25
Für jede zulässige Folge a1 a2 · · · an ∈ A (n) definieren wir die Menge X (a1 a2 · · · an )
aller z ∈ X, für die die ersten n Näherungsbrüche identisch sind, als
X (a1 a2 · · · an ) = {z ∈ X : ak (z) = ak für 1 ≤ k ≤ n} .
X (a1 a2 · · · an ) ist offensichtlich eine Untermenge von X und wird als fundamentale
T-Zelle vom Rang n bezeichnet. Die fundamentale T-Zelle vom Rang 1 ist in
Abbildung 7 dargestellt [7].
Abbildung 9: Die fundametale T-Zelle vom Rang 1
Somit bildet für alle n ∈ N die Menge der fundamentalen T-Zellen vom Rang n eine
Partition von X. Es folgt, dass
[
X=
X (a1 a2 · · · an ) .
a1 ···an ∈A(n)
Ähnlich wie bei Hurwitz können auch hier bestimmte Sequenzen aufeinanderfolgender Glieder aj und aj+1 nicht auftreten (vergleiche [7]), worauf in dieser Arbeit
allerdings nicht näher eingegangen wird.
26
3.2
Einfache Folgerungen
Wie wir in Kapitel 3.1. gesehen haben, bricht der Tanaka-Algorithmus offensichtlich
nicht wie bei Hurzwitz genau für alle rationalen Zahlen z ∈ Q ab.
Im Folgenden sei
J := Z [i] \ I = {z = a − ib ∈ Z [i] | a 6≡ b mod 2} .
Dann lässt sich die folgende Regel angeben [4]:
Satz 3.1. Der Tanaka-Alogrithmus bricht genau für alle
n
o
u
z ∈ z = : u ∈ I, v ∈ J ∨ u ∈ J, v ∈ I ab.
v
Diese Vorraussetzung trifft auf 30
zu, da 30 ∈ I und 61 ∈ J gilt. Sie stimmt nicht bei
61
29
,
da
auch
29
∈
J
ist.
Wir
haben
in Beispiel 3.2. gesehen, dass hier die Kettenbru61
chentwicklung tatsächlich nicht abbricht. Außerdem ist für den Tanaka-Kettebruch
kennzeichnend, dass bei der Entwicklung von reellen Zahlen nur Teilnennner an ∈ 2Z
vorkommen können. Hierfür betrachten wir [z]T für ein z ∈ R. Dann gilt
hz
z i
[z]T = α + α
2
2 T
z 1
z 1
α
=
+
α+
+
2 2
2 2
z+1
=2
∈ 2Z.
2
Wir wollen nun die Approximationseigenschaften der Näherungsbrüche bei Tanaka
untersuchen und betrachten dazu folgenden Satz.
Satz 3.2. Sei a1 a2 · · · an eine durch die Entwicklung von z ∈ X erhaltene, für T
zulässige Folge und pn , qn Zähler und Nenner des zugehörigen Näherungsbruches.
Dann gilt
p
|qn | ≥ 2 (n + 1) und
(15)
√
z − pn ≤ 2 .
(16)
qn |qn |
Für den Beweis
siehe
Tanaka [7], Lemma 2. Bei diesem Beweis fällt außerdem die
qn−1 Eigenschaft qn < 1 ab.
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4
Vergleich der Eigenschaften
Auf den ersten Blick sehen sich die Iterationen von Hurwitz und Tanaka und
auch der reelle Kettenbruchalgorithmus relativ ähnlich (vergleiche hierzu (H), (T)
und (R)). Der Unterschied besteht ’lediglich’ in der Definition der Klammern [ · ]
und [ · ]T . Für den reellen Fall werden die Gaußklammern b · c verwendet. Die
verschiedenen Eigenschaften der Kettenbrüche sind somit also auf die Wahl dieser
Klammern zurückzuführen. Wir wollen diese deswegen genauer betrachten.
Durch die Wahl der Klammer wird diejenige Menge bestimmt, in der alle
Teilnenner aj liegen. Für den Hurwitz-Algorithmus ist diese Menge gerade das
Gitter Z [i] der ganzen Gaußschen Zahlen in der komplexen Zahlenebene. Die
Punkte dieses Gitters haben jeweils den Abstand eins zu ihrem nächsten Nachbarn.
Im Falle von Tanaka wird durch I ein gröberes Gitter definiert. Zu I gehört nur
jeder zweite Gitterpunkt von
√ Z [i] und der Abstand von einem Punkt zu seinem
nächsten Nachbarn beträgt 2. Man kann die Gitter auch als Gitter mit Basis 1
und i in Hurwitz’ Fall, bzw. als Gitter mit der Basis (1 + i) und (1 − i) in Tanakas
Fall, beschreiben (vergleiche hierzu Abbildung 8).
Alle Unterschiede im Verhalten der Kettenbrüche, insbesondere ihrer
Näherungsbrüche, lassen sich letztendlich immer auf die Eigenschaften des
gewählten Gitters zurückführen.
Abbildung 10: Die beiden Gitter Z [i] und I
Wir wollen schließlich noch einen kurzen Blick auf die in Kapitel 1.2. geforderten
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Eigenschaften werfen. Wie zuvor schon erwähnt sind beide Kettenbrüche
von der
gewünschten Form (5) und für die Nenner der Näherungsbrüche haben wir qn−1
<1
qn gezeigt. Außerdem können beide Algorithmen mithilfe der Grundrechenarten durchgeführt werden.
Für Kriterium 3 haben wir bereits festgestellt, dass dies zwar auf den HurwitzAlgorithmus, aber nicht immer auf den Tanaka-Algorithmus zutrifft. Betrachtet man
das Gitter I, so stellt man fest, dass dieses keinen euklidischen Ring darstellt. Somit
kann also auch kein erweiterter euklidischer Algorithmus wie bei Z [i] angegeben
werden.
Für die Abschätzung der Näherungsbrüche vergleichen wir
√
z − pn < 2 + 1 bei Hurwitz (siehe Bemerkung 3)
qn |qn |2
mit
√
p
n
z − ≤ 2 bei Tanaka (Satz 3.2.).
qn |qn |
Auffällig ist, dass in Hurwitz’ Abschätzung der Nenner qn im Quadrat auftaucht,
bei Tanaka dagegen nur einfach, womit die Abschätzung von Tanaka hier um
einiges schlechter ausfällt. Man könnte aber sicher auch hier eine ähnlich gute
Abschätzung erhalten, indem man die bei Hurwitz gewählte Abschätzungsmethode
auf den Tanaka-Kettenbruch anwendet.
Es bleibt nun noch das fünfte Kriterium zu betrachten. In Satz 2.5. haben wir
gesehen, dass der Hurwitz-Algorithmus dieses nicht erfüllt. Für den Fall bei Tanaka
kann an dieser Stelle keine Aussage getroffen werden.
Der Tanaka-Algorithmus besitzt hingegen Eigenschaften die es ermöglichen ergodentheorethische Betrachtungen des Kettenbruches durchzuführen. Für weiterführende
Informationen siehe hierfür [7].
Es ist somit also nicht sinnvoll von einem ’besseren’ und einem ’schlechteren’ Algorithmus zu sprechen. Je nachdem, welche Eigenschaften man sich von einem komplexen Kettenbruch erwünscht können sowohl der Kettenbruch von Hurwitz, als auch
der von Tanaka hilfreich sein.
Es bleibt abzuwarten, ob und welche Anwendungen komplexe Kettenbrüche in der
Mathematik oder vielleicht sogar in anderen Bereichen finden werden.
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Literatur
[1] Bundschuh, P.: Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag, 6.Auflage
(2000).
[2] Hensley, D.: Continued Fractions, World Scientific,(2006), chapter 5.
[3] Hurwitz, A.: Über die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbrüche, Acta
Math., 11 (1888), 187-197.
[4] Oswald, N.: persönliche Kommunikation
[5] Padberg, F.: Elementare Zahlentheorie, Mathematik Primar- und Sekundarstufe, Spektrum Akademischer Verlag, 3.Auflage (2008), 216.
[6] Perron, O.: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Teubner, (1913).
[7] Tanaka, S.: A Complex Continued Fraction Transformation and Its Ergodic
Properties, Tokyo J. Math., 8 (1985), 192-201.
[8] Young, W. H.: Adolf Hurwitz., Lond. M. S. Proc. (2) 20, 48-54 (1922).
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5
Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine
anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet und die Arbeit
keiner anderen Prüfungsbehörde unter Erlangung eines akademischen Grades
vorgelegt habe.
Würzburg, den 10.10.2012
Maria Hock
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