§1 Einführung

Riemannsche Flächen, WS 2016/2017
Donnerstag 27.10
$Id: intro.tex,v 1.3 2016/10/27 17:01:00 hk Exp hk $
§1
Einführung
1.1
Implizit definierte Funktionen
Wir beschäftigen uns gerade mit den sogenannten Wirtinger-Ableitungen, sind n ∈ N
und U ⊆ Cn eine offene Menge, so wurden die Wirtinger-Ableitungen
∂
∂
,
: C 1 (U, C) → C 0 (U, C)
∂zk ∂z k
für jedes 1 ≤ k ≤ n als
∂
1
:=
∂zk
2
∂
∂
−i
∂xk
∂yk
∂
1
und
=
∂z k
2
∂
∂
+i
∂xk
∂yk
definiert. Wir können diese Formeln auch zerlegt in Real- und Imaginärteil ausschreiben, sei hierzu eine stetig differenzierbare Funktion f : U → C gegeben und schreibe
wieder u = Re f , v := Im f . Für jedes 1 ≤ k ≤ n sind dann
∂f
1 ∂u
i ∂v
1 ∂u
∂v
∂u
∂v
∂v
∂u
=
+
=
+i
−i
+i
+
−
∂zk
2 ∂xk
∂xk
∂yk
∂yk
2 ∂xk ∂yk
2 ∂xk ∂yk
und analog
i ∂v
1 ∂u
∂v
∂u
∂f
+
.
=
−
+
∂z k
2 ∂xk ∂yk
2 ∂xk ∂yk
Ist f sogar eine holomorphe Funktion, so ergeben die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Lemma 1
1 ∂u
∂u
i ∂v
∂v
∂u
∂v
∂f
=
+
+
+
=
+i
,
∂zk
2 ∂xk ∂xk
2 ∂xk ∂xk
∂xk
∂xk
die Wirtinger Ableitung einer holomorphen Funktion ist also die schon oben eingeführte
entsprechende partielle Ableitung. Ebenso ergeben die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen das die Wirtinger Ableitungen nach z 1 , . . . , z n bei einer holomorphen
Funktion alle verschwinden. Die ist tatsächlich kennzeichnend für holomorphe Funktionen und erlaubt uns eine kompakte Fassung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, ist f : U → Cm stetig differenzierbar und schreiben wir uj := Re fj ,
vj := Im fj für 1 ≤ j ≤ m, so ist für 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n genau dann ∂fj /∂z k = 0
wenn Real- und Imaginärteil in der obigen Formel für diese Ableitung verschwinden,
d.h.
∂fj
∂uj
∂vj ∂uj
∂vj
= 0 ⇐⇒
=
∧
=−
.
∂z k
∂xk
∂yk ∂yk
∂xk
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Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen bedeuten also gerade ∂fj /∂z k = 0
für 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. Wenn man so will sind die holomorphen Funktionen
also diejenigen die nur von z1 , . . . , zn aber nicht von z 1 , . . . , z n abhängen“. In Termen
”
von Potenzreihen kann man dies sogar als eine echte Aussage interpretieren, aber dies
wollen wir uns hier nicht mehr anschauen.
Zum Abschluß unserer Vorüberlegungen zu den holomorphen Funktionen in mehreren Variablen, wollen wir eine weitere Grundtatsache der Funktionentheorie auf den
Fall mehrerer Variablen erweitern. Ist f eine auf einem offenen Kreis holomorphe Funktion in C so wissen wir aus der Funktionentheorie das die Taylorreihe der Funktion mit
dem Kreismittelpunkt als Entwicklungspunkt auf der gesamten Kreis lokal gleichmäßig
gegen die Funktion konvergiert, holomorphe Funktionen lassen sich also lokal durch Potenzreihen beschreiben. Wir wollen uns überlegen das dasselbe für holomorphe Funktionen in mehreren Variablen gilt. Dabei können wir uns durch Betrachtung der einzelnen
Komponenten auf komplexwerte Funktionen beschränken.
Zur Behandlung von Potenzreihen in mehreren Variablen ist es bequem die Schreibweise über Multiindizes zu verwenden. Sei n ∈ N. Unter einem Multiindex verstehen
wir ein n-Tupel α ∈ Nn natürlicher Zahlen und schreien für dieses
|α| := α1 + · · · + αn und α! := α1 ! · . . . · αn !.
Ist weiter z ∈ Cn so definieren wir die Potenz
z α := z1α · . . . · znαn .
Sind nun weiter (aα )α∈Nn eine Familie komplexer Zahlen und a ∈ Cn unser Entwicklungspunkt, so können wir eine formale Potenzreihe zum Entwicklungspunkt a als
X
f (z) =
aα (z − a)α
α∈Nn
definieren. Konvergenz und Grenzwert derartiger Reihen kann man auf verschiedene
Weisen einführen. Am einfachsten ist es eine Bijektion ϕ : N → Nn zu wählen und
X
α∈Nn
α
aα (z − a) :=
∞
X
aϕ(k) (z − a)ϕ(k)
k=0
zu setzen, wobei Konvergenz der linken gerade als Konvergenz der rechten Seite definiert wird. Damit dies sinnvoll ist sollte der Reihenwert unabhängig von der speziell
gewählten Bijektion ϕ sein, und hierfür benötigen wir das die rechts stehende Seite sogar absolut konvergiert. Im folgenden ist mit Konvergenz der Potenzreihe f (z) immer
die absolute Konvergenz gemeint. Durch Übertragung mit der Bijektion ϕ übersetzen
sich alle Aussagen über Zahlenreihen und Funktionsreihen
P in entsprechende Aussagen
für Reihen über Multiindizes. Etwas eleganter kann α∈Nn aα (z − a)α auch als Integration bezüglich des Zählmaßes auf Nn aufgefasst werden, dies ergibt genau denselben
Grenzwertbegriff.
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Potenzreihen in einer Variablen konvergieren auf, eventuell ausgearteten, Kreisscheiben, die Konvergenzbereiche von Potenzreihen in mehreren Variablen sind etwas
komplizierter. Wir werden im folgenden Konvergenz auf sogenannten Polyzylindern
betrachten. Sind z ∈ Cn und r ∈ Rn>0 so nennt man die Menge
n
Pr (z) := {w ∈ C |∀(1 ≤ k ≤ n) : |wk − zk | < rk } =
n
Y
Brk (zk )
k=1
den Polyzylinder mit Mittelpunkt z und Radius r. Die Menge
P r (z) = Pr (z) =
n
Y
B rk (zk )
k=1
ist dan der abgeschlossene Polyzylinder mit Mittelpunkt z und Radius r und
∂0 Pr (z) := {w ∈ Cn |∀(1 ≤ k ≤ n) : |wk − zk | = rk } =
n
Y
(∂Brk (zk ))
k=1
heißt der wesentliche Rand des Polyzylinders, für n > 1 ist dieser eine echte Teilmenge
des topologischen Randes von Pr (z). Wir wollen nun einen Satz über konvergente Potenzreihen herleiten und zeigen das diese stets holomorphe Funktionen definieren. Zum
Beweis sollten wir uns an zwei Aussagen über Funktionenreihen erinnern. Die erste
dieser Aussagen
P∞ ist das sogenannte Weierstrasssche Konvergenzkriterium, haben wir
eine Reihe n=0 fn von auf einer Menge M definierten komplexwertigen
P Funktionen,
und gilt für alle n ∈ N, x ∈ M stets |fn (x)| ≤ an wobei die Reihe ∞
n=0 an < ∞
konvergiert, so konvergiert unsere Funktionenreihe gleichmäßig auf M , manchmal wird
dies als normale Konvergenz der Funktionenreihe bezeichnet.
Die zweite Aussage ist komplizierter. Sei U ⊆ Rd eine offene Menge und fn : U → C
für jedes n ∈ N eineP
Funktion. Sind dann alle fn für n ∈ N stetig und konvergiert
die Funktionenreihe ∞
n=0 fn gleichmäßig gegen eine Funktion f , so ist auch f stetig. Sind weiter alle Funktionen fn für n ∈ N stetig differenzierbar und konvergiert
P
∞
n=0 ∂fn /∂xk für jedes 1 ≤ k ≤ n gleichmäßig gegen eine Funktion gk so ist auch f
stetig differenzierbar mit ∂f /∂xk = gk für alle 1 ≤ k ≤ n, Dies beweist man in Analysis
II meist nur im Fall n = 1 einer Variablen, die Aussage verallgemeinert sich aber auf
partielle Ableitungen da bei diesen ja immer nur eine der Variablen aktiv“ ist. Durch
”
Betrachtung von Partialsummen übertragen sich diese Aussagen auf Funktionsreihen
und wie schon erwähnt folgen sie dann auch für Reihen über Multiindizes. Damit ist
alles bereit um zum angekündigten Satz über Potenzreihen zu kommen.
Satz 1.2 (Potenzreihen in mehreren Variablen als holomorphe Funktionen)
n eine Familie komplexer Zahlen. Es gebe
Seien n ∈ N, a ∈ Cn , r ∈ Rn>0 und (aα )α∈N
P
einen Punkt z ∈ ∂0 Pr (a) so, dass die Reihe α∈Nn aα (z −a)α absolut konvergiert. Dann
konvergiert die Potenzreihe
X
f (z) :=
aα (z − a)α
α∈Nn
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gleichmäßig auf Pr (a) und definiert dort eine holomorphe Funktion f : Pr (a) → C. Für
jedes 1 ≤ k ≤ n konvergiert auch die Potenzreihe
X
∂f
(αk + 1)aα+ek (z − a)α
=
∂zk α∈Nn
lokal gleichmäßig gegen die partielle Ableitung von f nach zk . Weiter existieren auf
Pr (a) alle partiellen Ableitungen von f beliebiger Ordnung und sind stetig. Für jedes
α ∈ Nn ist schließlich
1 ∂ |α| f
aα =
(a).
α! ∂z α
Beweis: Nach unserer Annahme ist
X
|aα |rα < +∞.
α∈Nn
Für alle α ∈ Nn , z ∈ Pr (a) gilt nun
|aα (z − a)α | = |aα | · |z1 − a1 |α1 · · · |zn − an |αm = |aα |rα ,
also konvergiert die Potenzreihe f nach dem Weierstrassschen Konvergenzkriterium auf
Pr (a) gleichmäßig gegen eine stetige Funktion f : Pr (a) → C.
Nun zeigen wir das auch die gliedweise partiell abgeleiteten Reihen lokal gleichmäßig
auf Pr (a) konvergieren. Sei hierzu s ∈ Rn>0 mit sk < rk für alle 1 ≤ k ≤ n gegeben. Sei
1 ≤ k ≤ n. Dann ist sk /rk < 1 und wegen
lim (m + 1)
m→∞
sk
rk
m
=0
m+1
für m ≥ m0 , und damit gibt es
existiert zunächst ein m0 ∈ N mit (m + 1)sm
k ≤ rk
m+1
m
ein C ≥ 1 mit (m + 1)sk ≤ Crk
für alle m ∈ N. Für alle α ∈ Nn und jedes z ∈ Ps (a)
ist damit
Y α
|(αk + 1)aα+ek (z − a)α | ≤ |aα+ek |(αk + 1)sαk k
rj j ≤ C|aα+ek |rα+ek
1≤j≤n
j6=k
und auch die Reihe
fk (z) :=
X
(αk + 1)aα+ek (z − a)α
α∈Nn
konvergiert für z ∈ Ps (a) gleichmäßig. Damit konvergiert fk auf Pr (a) lokal gleichmäßig
gegen eine stetige Funktion auf Pr (a).
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Ist α ∈ Nn , so ist das Polynom z 7→ aα (z − a)α aufgrund der Grundeigenschaften
holomorpher Funktionen eine holomorphe Funktion sogar auf dem ganzen Cn , also
haben wir für alle 1 ≤ k ≤ n
∂
∂
∂
∂
∂
aα (z−a)α = 0,
aα (z−a)α =
aα (z−a)α und
aα (z−a)α = i
aα (z−a)α
∂z k
∂xk
∂zk
∂yk
∂zk
d.h. auch die beiden Reihen
X ∂
α∈Nn
∂xk
aα (z − a)α und
X ∂
aα (z − a)α
∂y
k
α∈Nn
konvergieren lokal gleichmäßig auf Pr (a) und damit ist f auf Pr (a) stetig partiell differenzierbar mit
X ∂
X ∂
∂f
∂f
=
aα (z − a)α und
=
aα (z − a)α
∂xk α∈Nn ∂xk
∂yk α∈Nn ∂yk
für alle 1 ≤ k ≤ n. Folglich ist f auf Pr (a) stetig differenzierbar mit
X ∂
X
∂f
=
aα (z − a)α =
(αk + 1)aα+ek (z − a)α
∂zk α∈Nn ∂zk
α∈Nn
und
X ∂
∂f
=
aα (z − a)α = 0
∂z k α∈Nn ∂z k
für alle 1 ≤ k ≤ n. Nach Lemma 1 ist f auf Pr (a) holomorph mit den angegebenen Ableitungen. Durch iterierte Anwendung dieser Beobachtung folgen die restlichen beiden
Behauptungen.
Jede konvergente Potenzreihe liefert uns also eine holomorphe Funktion und umgekehrt
wollen wir nun einsehen das sich jede holomorphe Funktion lokal in eine Potenzreihe
entwicklen läßt.
Satz 1.3 (Satz von Hartogs für stetige Funktionen)
Seien n ∈ N, U ⊆ Cn eine offene Menge und f : U → C eine stetige Funktion. Dann
sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Die Funktion f ist holomorph.
(b) Die Funktion f ist in jeder einzelnen Variablen holomorph.
(c) Für jedes a ∈ U existieren ein r ∈ Rn>0 mit Pr (a) ⊆ U und eine Familie (aα )α∈Nn
komplexer Zahlen mit
X
f (z) =
aα (z − a)α
α∈Nn
für alle z ∈ Pr (a).
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In diesem Fall gilt für jedes a ∈ U , r ∈ Rn>0 mit Pr (a) ⊆ U stets
f (z) =
X 1 ∂ |α| f
(a) · (z − a)α
α
α!
∂z
α∈Nn
für alle z ∈ Pr (a).
Beweis: (c)=⇒(a). Klar nach Satz 2.
(a)=⇒(b). Dies gilt nach Lemma 1.
(b)=⇒(c). Seien a ∈ U und r ∈ Rn>0 mit P r (a) ⊆ U . Sei z ∈ Pr (a). Eine n-fache
Anwendung der Cauchyschen Integralformel und der Satz von Fubini liefern dann
Z
1
f (z1 , . . . , zn−1 , ζn )
f (z) =
dζm
2πi
ζn − zn
|za −an |=rn
Z
1
= ··· =
(2πi)n
Z
|z1 −a1 |=r1
=
f (ζ1 , . . . , ζn )
dζ1 . . . dζn
(ζ1 − z1 ) · . . . · (ζn − zn )
...
r1 · . . . · rn
(2π)n
Z
|zn −an |=rn
f (a1 + r1 eit1 , . . . , an + rn eitn )ei(t1 +···+tn )
dλn (t1 , . . . , tn ).
(a1 − z1 + r1 eit1 ) · . . . · (an − zn + rn eitn )
[0,2π]n
Für jedes 1 ≤ k ≤ n konvergiert die Reihe
∞
X
1
e−itk
1
e−i(m+1)tk
=
·
(zk − ak )m
=
zk −ak
m+1
it
k
ak − zk + rk e
rk
1 − r eitk
rk
m=0
k
gleichmäßig für tk ∈ [0, 2π], also konvergiert
X e−i((α1 +1)t1 +···+(αn +1)tn )
1
=
(z − a)α
(a1 − z1 + r1 eit1 ) · . . . · (an − zn + rn eitn ) α∈Nn r1α1 +1 · . . . · rnαn +1
gleichmäßig für t ∈ [0, 2π]n . Setzen wir also für jedes α ∈ Nn
Z
1
f (a1 + r1 eit1 , . . . , an + rn eitn )e−ihα|ti
dλn (t1 , . . . , tn ) ∈ C
aα :=
(2π)n
rα
[0,2π]n
so gilt
f (z) =
X
aα (z − a)α
α∈Nn
für jedes z ∈ Pr (a). Mit Satz 2 ergibt sich auch der Zusatz.
Tatsächlich muss man für die Äquivalenz von (a) und (b) nicht fordern das f stetig ist,
dies ist dann der Satz von Hartogs dessen Beweis allerdings deutlich schwerer ist. Damit
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haben wir den Holomorphiebegriff in mehreren Variablen begründet und kommen nun
zur holomorphen Version des Satzes über implizite Funktionen.
Satz 1.4 (Holomorpher Satz über implizite Funktionen)
Seien n, m ∈ N, U ⊆ Cn+m = Cn × Cm eine offene Menge und f : U → Cm eine
holomorphe Funktion. Weiter sei (a.b) ∈ U mit f (a, b) = 0 und det D2 f (a, b) 6= 0.
Dann existieren eine offene Umgebung V von a im Cn und eine offene Umgebung W
von b im Cm mit V × W ⊆ U so, dass es für jedes z ∈ V genau ein g(z) ∈ W mit
f (z, g(z)) = 0 gibt. Weiter ist die Abbildung g : V → W holomorph.
Beweis: Da D2 f (a, b) invertierbar ist, liefert der reelle Satz über implizite Funktionen
offene Umgebungen V von a im Cn und W von b im Cm mit V × W ⊆ U so, dass es für
jedes z ∈ V genau ein g(z) ∈ W mit f (z, g(z)) = 0 gibt und die Funktion g : V → W
ist stetig differenzierbar mit
g 0 (z) = −D2 f (z, g(z))−1 D1 f (z, g(z))
für alle z ∈ V . Ist z ∈ V so sind f (z, ) und f ( , g(z)) beides holomorphe Abbildungen,
also sind D2 f (z, g(z)) und D1 f (z, g(z)) beide linear über C, d.h. auch g 0 (z) ist linear
über C. Damit ist g holomorph.
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