¨Ubungen Mathematik I, Blatt 2

Übungen Mathematik I, Blatt 2
Prof. Dr. L. Eichner∗
Wintersemester 1999/2000
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Beweistechnik und Aussagenlogik
2.1
Seien x, y ∈ N. Beweisen Sie:
a) xy ungerade ⇐⇒ x ungerade und y ungerade
b) x3 gerade ⇐⇒ x gerade.
2.2
Bekanntlich gilt: Zu zwei ganzen Zahlen n ≥ 0 und m ≥ 1 gibt es genau ein Paar ganzer Zahlen k
und r mit
n = mk + r mit k ≥ 0, 0 ≤ r ≤ m − 1
(1)
Hierbei heißt r der Rest der Division von n durch m. Man sagt, n ist durch m teilbar, wenn
r = 0. Unter Verwendung von (1) sind folgende Behauptungen zu beweisen:
a) n durch 3 teilbar ⇐⇒ n2 durch 9 teilbar;
b) n2 dividiert durch 3 hat den Rest 1 ⇐⇒ n nicht durch 3 teilbar.
2.3
Es seien A, B Aussagen, die entweder wahr (w) oder falsch (f ) sind. Man definiert in der Aussagenlogik folgende Verknüpfungen:
A A
f w
w f
∗ Fachbereich
A B
f f
f w
w f
w w
A∧B
f
f
f
w
A
f
f
w
w
MNI
1
B
f
w
f
w
A∨B
f
w
w
w
A B
f f
f w
w f
w w
A =⇒ B
w
w
f
w
A B
f f
f w
w f
w w
A ⇐⇒ B
w
f
f
w
A
f
f
w
w
B
f
w
f
w
A⊕B
f
w
w
f
Die Operationen heißen der Reihe nach:
Nicht : A (sprich: nicht A)
Und : A ∧ B (sprich: A und B)
Oder : A ∨ B (sprich: A oder B)
Implikation: A =⇒ B (sprich: wenn A, dann B)
Äquivalenz : A ⇐⇒ B (sprich: A genau dann, wenn B)
Exklusiv-Oder (Exor): A ⊕ B (sprich: entweder A oder B)
Prüfen Sie für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist, wobei bei den zusammengesetzten Aussagen die obigen Tabellen zu verwenden sind:
a) 8 > 7;
b) 5 < 3;
c) 4 < 5 und 12 > 7;
d) nicht 8 < 7;
e) nicht 5 < 7;
f) wenn 4 > 3, dann ist 5 eine Primzahl;
g) wenn 4 < 3, dann ist 4 eine Primzahl;
h) wenn 4 > 3, dann ist 4 eine Primzahl;
i) 5 > 9 genau dann, wenn 3 > 4;
j) 3 < 4 oder 3 = 4;
k) 3 ≤ 4;
l) entweder 5 > 9 oder 3 > 4;
m) entweder gilt nicht 5 > 9 oder es gilt 3 > 4;
n) der Esel ist ein Schaf genau dann, wenn das Pferd ein Vogel ist.
2. Hausaufgabe. Abgabe bis Mo, 18.10.1999, 11.20 Uhr
H.3
Sei n eine natürliche Zahl. Beweisen Sie: n2 dividiert durch 5 hat den Rest 1 oder 4 ⇐⇒ n ist
nicht durch 5 teilbar.
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H.4
Prüfen Sie für jede der folgenden Aussagen, ob sie (im Sinne der Aussagenlogik) wahr oder falsch
ist:
a) wenn der Elefant ein Schmetterling ist, dann hat der Kreis drei Ecken;
b) wenn der Elefant kein Schmetterling ist, dann hat der Kreis drei Ecken;
c) der Elefant ist ein Schmetterling genau dann, wenn das Pferd ein Huhn ist;
d) entweder ist 5 durch 3 teilbar oder 1 < 12;
e) 5 ist durch 3 teilbar oder 1 ≤ 12;
f) 5 ist nicht durch 3 teilbar oder 1 ≤ 12;
g) 12 < 1 ist falsch;
h) es ist falsch, dass 12 < 1 falsch ist.
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