Geometrie Dieter Remus SS 2008 Übungsblatt 11 Karsten Dietrich 1

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Geometrie
SS 2008
Übungsblatt 11
Dieter Remus
Karsten Dietrich
1. Sei k ein Körper und A(k) die Koordinatenebene über k. Sei K(A(k)) die Menge
der Multiplikatoren von A(k). Zeigen Sie
K(A(k)) = {f : P −→ P|f (x) = rx, r ∈ k}
und folgern Sie daraus, dass K(A(k)) ∼
= k.
2.(doppelte Punktzahl) Sei H := {( wz −z
w ) ∈ M2 (C)|w, z ∈ C}, wobei z die konjugiert
komplexe
Zahl
zu
z
ist.
Definiere
eine Abbidlung f : R4 −→ H durch
a
−c−di
b
7→ a+bi
c
c−di a−bi .
d
(i) Zeigen Sie, dass H ein Schiefkörper ist.
(ii) Zeigen Sie, dass f wohldefiniert, R-linear und bijektiv ist.
(iii) Bestimmen Sie die Bilder f (ei ), i = 1, 2, 3, 4 der Standardbasis unter f .
Definiere eine Multiplikation · : R4 × R4 −→ R4 durch
n
X
x · y :=
(xi yj )ei · ej ,
i,j=1
wobei die Multiplikation unter den Standardbasiselementen gegeben ist durch die
folgende Tabelle.
·
e2
e3
e4
e2 −e1 e4 −e3
e3 −e4 −e1 e2
e4 e3 −e2 −e1
Darüber hinaus operiere e1 von beiden Seiten neutral, d.h. e1 · ej = ej · e1 = ej für
j = 1, 2, 3, 4.
(iv) Zeigen Sie, dass f (ei · ej ) = f (ei ) · f (ej ) für alle i, j = 1, 2, 3, 4.
(v) Zeigen Sie, dass die Quaternionen H := (R4 , ·) ein Schiefkörper sind.
3. Sei A = A(C) die Koordinatenebene über den komplexen Zahlen und f :
a
2
A −→ A eine Kollineation. Es sei f (( 10 )) = ( −1
0 ) und alle Punkte ( b ) ∈ C mit
Re(a) = Re(b) = 0 seien Fixpunkte von f . Nach Vorlesung ist f von der Form
f (x) = M σ̃(x) + q mit M ∈ GL2 (C), q ∈ C2 und σ ein Körperautomorphismus
von C. Bestimmen Sie M, q und σ.
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