1 Teilbarkeit und Brüche
Werbung
1 Teilbarkeit und Brüche 1 Teilbarkeit und Brüche
Kommentare zum Kapitel
Intention des Kapitels
Das erste Kapitel befasst sich mit zwei Schwerpunktthemen: Der Teilbarkeit und den Brüchen. Die
Vorkenntnisse aus dem 5. Schuljahr zu den natürlichen Zahlen werden durch die Teilbarkeitsregeln
wieder aufgefrischt und zugleich vertieft.
Dabei entsteht ein Überblick über die Zusammenhänge und die nützlichen Beziehungen zwischen
Zahlen. Gleichzeitig stellt die Beschäftigung mit
der Teilbarkeit ein Bindeglied zur bevorstehenden
Erweiterung des Zahlbereichs, den Brüchen, dar. Besonders für die Lerneinheiten Erweitern und Kürzen
(LE 7) und Brüche vergleichen und ordnen (LE 8)
ist die Beschäftigung mit der Teilbarkeitslehre ein
notwendiges Hilfsmittel, um gemeinsame Teiler von
Zähler und Nenner beziehungsweise den Hauptnenner von Brüchen zu ermitteln.
Anwendung finden die neu erworbenen Kompetenzen, wenn die ersten Erfahrungen mit Brüchen
gemacht werden. Neben der Darstellung (Bruchschreibweise, Kreis- oder Flächenanteil, Zahlenstrahl) und Einsicht in die Anwendungsaspekte von
Brüchen, ist vor allem das Erweitern und Kürzen
eine wichtige Vorbereitung für das Rechnen mit
Brüchen (s. Kapitel 2).
Benötigtes Material
·· Schere
·· Würfel
·· Schnur und Wäscheklammern
·· Kreisteile
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seiten 8, 9
Der Auftakt bietet handlungsorientierte Einstiege
in das Thema an. Er motiviert die Schülerinnen und
Schüler für die Leitidee „Zahl“ zunächst durch einen
Ausflug in die Geometrie. Durch das Legen unterschiedlicher Rechtecke gleichen Flächeninhaltes
werden die Teiler einer Zahl entdeckt. Differenzieren kann man mit Aufgabe 1, indem leistungsstärkere Schülerinnnen und Schüler angehalten werden, viele bis alle Möglichkeiten zur Darstellung der
Rechtecke zu finden.
Die Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Begriff des
Anteils. Ein farbiges Quadrat hat einen gewissen
Anteil am Gesamtkunstwerk. Ziel ist es, die Anteile
zu vergleichen und Unterschiede zu verbalisieren.
((DUA-Ende!!))
Lösungen
Seiten 8, 9
Seite 8
1
Stundenverteilung
Stundenumfang gesamt: 20 – 29
Insgesamt gibt es zwei Möglichkeiten für das
obere Rechteck:
Länge des Rechtecks
Breite des Rechtecks
27 Quadrate
1 Quadrat
9 Quadrate
3 Quadrate
Lerneinheit
Stunden
Standpunkt und Auftakt
1
1 Teiler und Vielfache
2 – 3
2 Endziffernregel
2 – 3
3 Quersummenregel
2 – 3
Länge des Rechtecks
Breite des Rechtecks
4 Primzahlen
1 – 2
24 Quadrate
1 Quadrat
5 Brüche
2
12 Quadrate
2 Quadrate
6 Brüche am Zahlenstrahl
2 – 3
8 Quadrate
3 Quadrate
7 Erweitern und Kürzen
2 – 3
6 Quadrate
4 Quadrate
8 Brüche vergleichen und
ordnen
2 – 3
9 Brüche und Größen
2 – 3
Basistraining,
Anwenden. Nachdenken
und Rückspiegel
2 – 3
Insgesamt gibt es vier Möglichkeiten für das
untere Rechteck:
Man kann Länge und Breite auch vertauschen.
Das ergibt kein neues Rechteck.
Seite 9
2
linkes Bild: Dunkelgrün _ 29 ; alle anderen Farben
jeweils _ 91 .
rechtes Bild: Alle Farben jeweils _ 41 .
unteres Bild: Alle Farben jeweils _ 81 .
((DUA-Ende!!))
18
1 Teilbarkeit und Brüche LE 1 Teiler und Vielfache
Differenzierung in LE 1
Differenzierungstabelle
LE 1 Teiler und Vielfache
Die Schülerinnen und
Schüler können …
0
$
.
die Teilermenge und
1, 2, 3, 4 li, 5 li, 5 re,
die Vielfachenmenge
4 re, 6 li
7 li, 7 re,
einer Zahl bestimmen,
8 li, 8 re,
9 li, 12 li
das kgV und den
ggT erklären und
bestimmen,
Gelerntes üben und
festigen.
9 re, 13 re
10 li, 10 re, 12 re
11 li, 11 re
AH S. 10
Arbeitsheft
AH S. 10 Teiler und Vielfache
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seiten 10, 11
Zum Einstieg
Die abgebildete Aufgabe verdeutlicht den Schüler­
innen und Schülern, dass die Getränkeanzahl nicht
beliebig ohne Rest teilbar ist. Geht die Division bei
der ersten Aufgabe, sowohl was die Gesamtmenge
als auch was die Getränkeart betrifft, noch ohne
Probleme auf, so stellt sich bei der zweiten Aufgabe
bei der gerechten Verteilung der einzelnen Getränkearten ein Konflikt ein.
Zu Seite 11, Aufgabe 6, rechts
Diese Aufgabe verlangt Erklärungen zu den Beo­b­
achtungen einer Teilermenge.
Durch die Verwendung des im Bildungsplan verankerten Operators „Erklären“ wird die Fähigkeit
einen Sachverhalt zu veranschaulichen, gefördert.
Gleichzeitig wird ein vertieftes Verständnis für den
Aufbau von Teilermengen entwickelt.
Die Aufgabe ist selbstdifferenzierend, da unterschiedliche Beobachtungen auf verschiedenen Niveaus gemacht werden können.
Dass die Zahl Eins und die Zahl selbst Bestandteil
der Teilermenge sind, ist eine trivialere Beobachtung als das Erkennen von „Partnerzahlen“ in der
Menge. Das Produkt der Partnerzahlen ergibt wieder die Zahl selbst. Auch die Erkenntnis, dass eine
größere Zahl nicht automatisch mehr Teiler hat,
kann anhand des Notierens der Teilermenge gut
veranschaulicht werden.
Zu Seite 11, Aufgabe 8, rechts und 9, links
Nach dem Bildungsplan 2016 beschreiben Operatoren welche Tätigkeiten beim Bearbeiten von
Aufgaben erwartet werden und werden in 3 Anforderungsbereiche untergliedert. In Aufgabe 8 rechts
und 9 links wird das „Beschreiben“ von Sachverhalten eingefordert und somit die Fähigkeit vorgegebene Informationen zusammenhängend und schlüssig wiederzugeben, gefördert. Dieser Operator lässt
sich dem Anforderungsbereich II zuordnen.
((DUA-Ende!!))
Lösungen
Seiten 10, 11
Seite 10
Einstieg
ÆÆ Es gibt 6 Kakao-Tüten, 9 Flaschen Mineralwasser
und 15 Orangensaft-Tüten. Alle Anzahlen der
­Getränkesorten können durch 3 geteilt werden:
Kakao:
6 : 3 = 2
Mineralwasser:
9 : 3 = 3
Orangensaft:
15 : 3 = 5
Jedes Kind bekommt also 2 Kakao-Tüten, 3 Flaschen Mineralwasser und 5 Orangensaft-Tüten.
ÆÆ Alle Anzahlen müssen nun durch 5 geteilt werden.
Kakao:
6 : 5 = 1 Rest 1
Mineralwasser:
9 : 5 = 1 Rest 4
Orangensaft:
15 : 5 = 3
Vom Orangensaft bekommt jedes Kind 3 Tüten.
Die anderen Sorten können nicht gerecht verteilt werden, da 6 und 9 nicht durch 5 teilbar
sind.
ÆÆ Svenjas Vorschlag: Die Anzahl aller Getränke
wird addiert und dann durch 5 geteilt.
6 + 9 + 15 = 30
30 : 5 = 6
30 ist durch 5 teilbar. Jedes Kind bekommt
6 ­Getränkepäckchen.
1
a) ja, denn 12 : 4 = 3
b)nein
c) ja, denn 24 : 6 = 4
d)nein
e)nein
f) ja, denn 64 : 8 = 8
2
a)T6 = {1; 2; 3; 6}
b)T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
c)T15 = {1; 3; 5; 15}
d)T20 = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
19
1 Teilbarkeit und Brüche 3
a)V5 = {5; 10; 15; 20; 25; 30; …}
b)V8 = {8; 16; 24; 32; 40; 48; …}
c)V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …}
d)V15 = {15; 30; 45; 60; 75; 90; …}
5
teilbar
durch
12
16
20
25
36
40
2
3
3
3
7
3
3
3
3
7
7
7
3
7
4
3
3
3
7
3
3
6
3
7
7
7
3
7
7
7
7
7
7
7
7
8
7
3
7
7
7
3
Seite 11
A a)ja
b)nein
c) ja
B a)T 8= {1;
2; 4; 8}
b)T 15= {1; 3; 5; 15}
c)T 22= {1; 2; 11; 22} d)T 27= {1; 3; 9; 27}
Die Teiler können auch ohne Mengenschreib­
weise ­angegeben werden.
C
24
30
1 · 18
2 · 9
3 · 6
6 · 3
9 · 2
18 · 1
1 · 24
2 · 12
3 · 8
4 · 6
6 · 4
8 · 3
12 · 2
24 · 1
1 · 30
2 · 15
3 · 10
5 · 6
6 · 5
10 · 3
15 · 2
30 · 1
T 18= { 1; 2; 3; 6; 9; 18}
T 24= {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
T 30= {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
d)e)f)
32
35
50
1 · 32
2 · 16
4 · 8
8 · 4
16 · 2
32 · 1
1 · 35
5 · 7
7 · 5
35 · 1
1 · 50
2 · 25
5 · 10
10 · 5
25 · 2
50 · 1
T 32= {1; 2; 4; 8; 16; 32}
T 35= {1; 5; 7; 35}
T 50= {1; 2; 5; 10; 25; 50}
20
7
7
7
3
7
7
7
3
7
7
3
a)V8 = {8; 16; 24; 32; 40; …}
b)V10 = {10; 20; 30; 40; 50; …}
c)V12 = {12; 24; 36; 48; 60; …}
d)V21 = {21; 42; 63; 84; 105; …}
e)V25 = {25; 50; 75; 100; 125; …}
7
a) 90; 99; 108; 117; 126; 135
b)150; 165; 180; 195; 210; 225
c) 180; 198; 216; 234; 252; 270
d)210; 231; 252; 273; 294; 315
e) 250; 275; 300; 325; 350; 375
8
Die fehlenden Einträge sind fett markiert, die
falschen stehen in der Klammer.
a)T9 = {1; 3; 9} (ohne 6)
b)T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
c)V6 = {6; 12; 18; 24; 30; …}
d)V8 = {8; 16; 24; 32; …} (ohne 18 und 30)
9
a)
4
a)b)c)
18
7
10
6
a) 4; 8; 12; 16; 20; 24
b)9; 18; 27; 36; 45; 54
c) 15; 30; 45; 60; 75; 90
d)20; 40; 60; 80; 100; 120
Seite 11, links
9
4
9
16
25
100
1 · 4
2 · 2
4 · 1
1 · 9
3 · 3
9 · 1
1 · 16
2 · 8
4 · 4
8 · 2
16 · 1
1 · 25
5 · 5
25 · 1
1 · 100
2 · 50
4 · 25
5 · 20
10 · 10
20 · 5
25 · 4
50 · 2
100 · 1
T 4= {1; 2; 4}
T 9= {1; 3; 9}
T 16= {1; 2; 4; 8; 16}
T 100= {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100}
b)Bei allen Zahlen gibt es einen „doppelten“
Teiler, der mit sich selbst multipliziert die Zahl
ergibt. Alle Zahlen sind Quadratzahlen. Bei Quadratzahlen ist die Anzahl der Teiler immer un­
gerade.
1 Teilbarkeit und Brüche Bei allen Zahlen gibt es einen „doppelten“ Teiler,
der mit sich selbst multipliziert die Zahl ergibt.
Alle Zahlen sind Quadratzahlen. Bei Quadrat­
zahlen ist die Anzahl der Teiler immer ungerade.
Seite 11, rechts
4
a)b)c)d)
24
27
28
30
1 · 24
2 · 12
3 · 8
4 · 6
8 · 3
12 · 2
24 · 1
1 · 27
3 · 9
9 · 3
27 · 1
1 · 28
2 · 14
4 · 7
7 · 4
14 · 2
28 · 1
1 · 30
2 · 15
3 · 10
5 · 6
6 · 5
10 · 3
15 · 2
30 · 1
7
T24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
T27 = {1; 3; 9; 27}
T28 = {1; 2; 4; 7; 14; 28}
T30 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
e)f)g)h)
6
55
1 · 33
3 · 11
11 · 3
33 · 1
1 · 40
2 · 20
4 · 10
5 · 8
8 · 5
10 · 4
20 · 2
40 · 1
1 · 45
3 · 15
5 · 9
9 · 5
15 · 3
45 · 1
1 · 55
5 · 11
11 · 5
55 · 1
Anzahl Teiler
4
3
2
1
0
25
36
49
64
81
1 · 25
5 · 5
25 · 1
1 · 36
2 · 18
3 · 12
4 · 9
6 · 6
9 · 4
12 · 3
18 · 2
36 · 1
1 · 49
7 · 7
49 · 1
1 · 64
2 · 32
4 · 16
8 · 8
16 · 4
32 · 2
64 · 1
1 · 81
3 · 27
9 · 9
27 · 3
81 · 1
25}
3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
49}
4; 8; 16; 32; 64}
9; 27; 81}
Zahl
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Zu Beginn gibt es viele Zahlen, die nur zwei
oder vier Teiler haben.
In Richtung der Zahl 30 nimmt die Anzahl der
Teiler zu, es gibt vermehrt Zahlen mit vier bis
hin zu acht Teilern.
Trotzdem gibt es immer wieder Zahlen, die nur
zwei Teiler haben.
11; 33}
4; 5; 8; 10; 20; 40}
5; 9; 15; 45}
11; 55}
a)V9 = {9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81;
90; …}
b)V10 = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90;
100; …}
c)V11 = {11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99;
110; …}
d)V15 = {15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; 135;
150; …}
e)V20 = {20; 40; 60; 80; 100; 120; 140; 160;
180; 200; …}
5;
2;
7;
2;
3;
8; 16}
8; 16; 32}
27}
27; 81}
4; 6; 8; 12; 24}
5; 6; 10; 15; 30}
5
45
T25 = {1;
T36 = {1;
T49 = {1;
T64 = {1;
T81 = {1;
4;
4;
9;
9;
3;
3;
6
40
3;
2;
3;
5;
8
2;
2;
3;
3;
2;
2;
7
33
T33 = {1;
T40 = {1;
T45 = {1;
T45 = {1;
5
8
a)T16 = {1;
b)T32 = {1;
c)T27 = {1;
d)T81 = {1;
e)T24 = {1;
f)T30 = {1;
9
a)T2 = {1; 2}
T4 = {1; 2; 4}
T8 = {1; 2; 4; 8}
T16 = {1; 2; 4; 8; 16}
T32 = {1; 2; 4; 8; 16; 32}
b)Die Anzahl der Teiler beträgt 2; 3; 4; 5 und 6.
c) Setzt man die Reihe fort, erhält man die
Zahl 512 mit der folgenden Teilermenge:
T512 = {1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512}
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seite 12
Zu Seite 12, Aufgabe 10, links
Mit dieser Aufgabe kann das kleinste gemeinsame
Vielfache (kgV) eingeführt werden, welches Voraussetzung für den Vergleich und auch Rechenoperationen mit Brüchen ist. Die Schülerinnen und Schüler
erarbeiten sich selbständig und mit einem Alltagsbezug außerhalb der Mathematik die Bedeutung
des kgVs. Schwerpunktmäßig wird durch die Verwendung des Operators „Begründen“ die Fähigkeit
21
1 Teilbarkeit und Brüche eine Aussage zu bestätigen oder als nicht gültig
darzustellen, gefördert.
((DUA-Ende!!))
Lösungen
Seite 12
Seite 12, links
10a) Betrachtet man das Muffin-Blech, so sieht
man 4 Reihen mit je 3 Muffins. Das ergibt insgesamt 12 Muffins (4 · 3 = 12). Wenn man das
Blech dreht, sieht man 3 Reihen mit je 4 Muffins
(also 3 · 4 = 12).
b)Alle Vielfachen von 12 sind gemeinsame Vielfache von 3 und 4.
Zum Beispiel: 24; 36; 48; 60; …
c) Gemeinsame Vielfache von 2 und 3 sind die
Vielfachen von 6, also: 6; 12; 18; 24; 30; …
Gemeinsame Vielfache von 3 und 5 sind die Vielfachen von 15, also: 15; 30; 45; 60; 75; …
11 So hüpft das Eichhörnchen:
5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60;
65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 115;
120; 125 … (Das sind die Vielfachen von 5.)
So hüpft der Frosch:
6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72;
78; 84; 90; 96; 102; 108; 114; 120; 126 …
(Das sind die Vielfachen von 6.)
So hüpft die Springmaus:
8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96;
104; 112; 120; 128 … (Das sind die Vielfachen
von 8.)
a) Das kleinste gemeinsame Vielfache der
­Zahlen 5 und 6 ist 30. Das Eichhörnchen und der
Frosch springen nach 30 dm an genau der gleichen Stelle ab.
b)Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 5 und 8 ist 40. Das Eichhörnchen und die
Springmaus springen nach 40 dm an genau der
gleichen Stelle ab.
c) Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 5; 6 und 8 ist 120. Die drei Tiere springen
nach 120 dm an genau der gleichen Stelle ab.
Anzahl der Sprünge bis 120 dm:
•Eichhörnchen: 120 : 5 = 24
•Frosch: 120 : 6 = 20
•Springmaus: 120 : 8 = 15
12Spiel, individuelle Lösungen
22
Seite 12, rechts
10
3
0
6
5
9
12
10
15
15
18
21
20
24
25
27
30
30
a)15
b)Die nächsten vier gemeinsamen Vielfachen
von 3 und 5 sind die Vielfachen der Zahl 15, also
30; 45; 60; 75.
11 Die gemeinsamen Vielfachen sind fett markiert.
a)V4 = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; …}
V8 = {8; 16; 24; 32; 40; 48; …}
Die gemeinsamen Vielfachen von 4 und 8 ge­
hören zur Vielfachenmenge von 8.
b)V3 = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; …}
V4 = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; …}
Die gemeinsamen Vielfachen von 3 und 4
­gehören zur Vielfachenmenge von 12.
c)V6 = {6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; …}
V8 = {8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; …}
Die gemeinsamen Vielfachen von 6 und 8
­ge­hören zur Vielfachenmenge von 24.
d)V10 = { 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80;
90; …}
V15 = {15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; …}
Die gemeinsamen Vielfachen von 10 und 15
­gehören zur Vielfachenmenge von 30.
e)V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; …}
V9 = { 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81;
90; …}
Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 9
­ge­hören zur Vielfachenmenge von 36.
f)V4 = { 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40;
44; 48; 52; 56; 60; 64; 68; 72; …}
V9 = { 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81;
90; …}
Die gemeinsamen Vielfachen von 4 und 9
­ge­hören zur Vielfachenmenge von 36.
12Die rot markierten Zähne stehen beim kleinsten
gemeinsamen Vielfachen von 15 und 48 genauso wie am Anfang.
V48 = {48; 96; 144; 192; 240; 288; …}
V15 = { 15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; 135; 150;
165; 180; 195; 210; 225; 240; …}
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 48 und
15 ist 240. Die Drehung um 240 Zähne bedeutet
für das Kettenblatt 240 : 48 = 5 volle Umdrehungen; für das Ritzel 240 : 15 = 16 volle Umdrehungen.
1 Teilbarkeit und Brüche 13Spiel, individuelle Lösungen
Die Tabelle zeigt die möglichen Produktwerte
und deren Anzahl an Teilern.
Produktwert
1
Anzahl Teiler
2
3
4
5
6
8
9
10
4
4
3
4
1
2
2
3
2
Produktwert 12
15
16
18
20 24 25 30 36
Anzahl Teiler
4
5
6
6
6
8
3
8
9
Typische Schülerfehler
Häufig verwenden Schülerinnen und Schüler die
Begriffe Zahl und Ziffer synonym oder kennen das
Wort bzw. die Bedeutung des Begriffs Ziffer nicht.
Hier ist es nun angebracht, dass die Lehrkraft anhand von Beispielen den Unterschied zwischen Zahl
(Beispiel: 45 629) und Ziffer (Beispiel: 4; 5; 6; 2; 9)
thematisiert.
((DUA-Ende!!))
LE 2 Endziffernregeln
Differenzierung in LE 2
Differenzierungstabelle
LE 2 Endziffernregeln
0
Die Schülerinnen und
Schüler können …
die Endziffernregeln
anwenden um über
eine Teilbarkeit zu
entscheiden,
Gelerntes üben und
festigen.
$
.
1, 2, 3, 4 li, 5 li, 5 re,
4 re
6 li, 6 re,
7 li
F 1
7 re
KV 1
KV 1
KV 1
Alternativer Einstieg
Alternativ oder zur Ergänzung und Weiterarbeit
kann KV 1 genutzt werden. Hiermit erarbeiten sich
die Schülerinnen und Schüler die Teilbarkeitsregeln
selbstständig. Durch einen angeleiteten Forscherauftrag sind die Schülerinnen und Schüler in der
Lage, eigenständig eine Regel zu formulieren. Dabei
kann arbeitsteilig in Gruppen vorgegangen und die
Ergebnisse präsentiert oder in Partner- oder Einzelarbeit jede Regel entdeckt werden. Neben den im
Buch besprochenen Teilbarkeitsregeln durch 2; 5
und 10, bietet die letzte Aufgabe für leistungsstarke
Schülerinnen und Schüler die Regel zur Teilbarkeit
durch 4 an.
((DUA-Ende!!))
AH S. 11
Lösungen
Seite 13
Seite 13
Kopiervorlagen
KV 1 Endziffernregeln
Diese KV kann als Material für einen alternativen
Einstieg verwendet werden. Im Gegensatz zum Einstieg im Buch wird hier zur Regelbildung ein innermathematischer Zugang genutzt.
Inklusion
F 1 Teilbarkeit
Arbeitsheft
AH S. 11 Endziffernregel und Quersummenregel
Einstieg
ÆÆ Silke hat recht, 245 ist durch 5 teilbar und damit
mit Fünfersprüngen zu erreichen.
Kyeremaa hat auch recht: Mit Fünfersprüngen
kommt man nur zu Zahlen, die die Endziffer 0
oder 5 haben. 542 hat aber die Endziffer 2 und
ist somit nicht mit Fünfersprüngen zu erreichen.
1
a) Die Zahl 458 ist durch 2 teilbar, weil sie die
Endziffer 8 hat.
b)Die Zahl 730 ist durch 2 teilbar, weil sie die
Endziffer 0 hat.
c) Die Zahl 4591 ist nicht durch 2 teilbar, weil sie
keine der Zahlen 0; 2; 4; 6 oder 8 als Endziffer
hat.
d)Die Zahl 6422 ist durch 2 teilbar, weil sie die
Endziffer 2 hat.
2
a) 365 ist durch 5 teilbar, da sie die Endziffer 5
hat.
b)759 ist nicht durch 5 teilbar, da sie als End­
ziffer weder 0 noch 5 hat.
c) 5430 ist durch 5 teilbar, da sie die Endziffer 0
hat.
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seite 13
Zum Einstieg
In der Einstiegsaufgabe werden zwei Zahlen genannt und deren Teilbarkeit durch 5 diskutiert. Dabei wird der Zahlenstrahl als ein Hilfsmittel vorgestellt. Die Schülerinnen und Schüler werden durch
die Zahlen aus dem Hunderterbereich dazu angeregt, eine Regel zu finden, mit der sich Teilbarkeiten
schnell und ohne Hilfsmittel oder Nebenrechnungen erkennen lassen.
23
1 Teilbarkeit und Brüche d)5552 ist nicht durch 5 teilbar, da sie als Endziffer weder 0 noch 5 hat.
3
a) 360 ist durch 10 teilbar, da sie die Endziffer 0
hat.
b)745 ist nicht durch 10 teilbar, da sie als Endziffer keine 0 hat.
c) 1001 ist nicht durch 10 teilbar, da sie als Endziffer keine 0 hat.
d)100 ist durch 10 teilbar, da sie die Endziffer 0
hat.
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seite 14
b)6785 ist teilbar durch 5, aber nicht durch 2
und nicht durch 10.
c) 9000 ist teilbar durch 2; 5 und 10.
d)2760 ist teilbar durch 2; 5 und 10.
e) 4785 ist teilbar durch 5, aber nicht durch 2
und nicht durch 10.
f) 7551 ist nicht teilbar durch 2; 5 und 10.
5
a) 460; 955; 690; 7925
b)420; 5780; 6005; 4700
c) 3590; 4555; 3710; 10 000
6
Durch 2 teilbare Zahlen haben die Endziffer 0;
2; 4; 6 oder 8. Diese Ziffern muss man also in
die rechte Spalte und in die letzte Zeile legen.
Die Anordnung der anderen Ziffern spielt keine
­Rolle.
Mögliche Lösung:
3
5
7
6
5
7
1
4
7
5
9
8
2 8
2
0
7
Die Felder werden wie folgt gefärbt:
•rot: 4510; 5700
•blau: 3746; 7882
•lila: 5195; 6875
•grün: 8997; 9813
Zu Seite 14, Aufgabe 5, rechts
In Aufgabe 5 rechts wird der Operator „Beschreiben“ verwendet, das heißt die Fähigkeit vorgegebene Informationen zusammenhängend und schlüssig
wiederzugeben, soll gefördert werden. Dieser Operator lässt sich dem Anforderungsbereich II zuordnen.
Zu Seite 14, Aufgabe 7, rechts
Für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler bietet diese Aufgabe eine Anleitung, die Regel für die
Teilbarkeit durch 4 selbstständig zu erarbeiten. Für
leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler sollte die Erarbeitung angeleitet geschehen, da viele
Schülerinnen und Schüler nur die letzte Endziffer, in
Anlehnung an die vorangegangenen Regeln, beachten werden. Hier sollte ein gezielter Hinweis, „Achte
auf die letzten beiden Ziffern!“, erfolgen.
Teilaufgabe d) fördert besonders die Fähigkeit, eine
Aussage zu bestätigen oder als nicht gültig darzustellen.
Seite 14, rechts
4
Die größte zweistellige Zahl, die durch 2; 5 und
10 teilbar ist, ist 90.
5
((DUA-Ende!!))
Lösungen
Seite 14
Seite 14
A Teilbar durch 2:
64; 1002; 9052; 654; 640; 24 680; 10 004
Teilbar durch 5:
640; 75; 24 680; 8005
Teilbar durch 10:
640; 24 680
Seite 14, links
4
24
a) 4642 ist teilbar durch 2, aber nicht durch 5
und nicht durch 10.
1
1
1
2
1
1
1
0
6
1
9
5
1
8
5
0
1
7
6
5
1
6
8
0
5
1
5
1
4
0
1
4
5
6
0
2
1
3
0
5
6
2
1
2
6
0
0
2
4
1
3
0
5
6
2
1
4
5
6
0
2
1
5
1
4
0
1
6
8
0
5
1
7
6
5
1
8
5
0
1
9
5
1
0
6
1
1
1
2
1
Es entsteht ein symmetrisches Farbmuster.
In den äußeren Schräglinien sind alle Quadrate
rot (hellgrau). Die Quadrate unterhalb zweier
verschiedenfarbiger Quadrate sind rot.
Die Quadrate unterhalb zweier gleichfarbiger
Quadrate sind blau (dunkelgrau).
In den Zeilen 1; 4; 8; 16; … (von oben gezählt)
sind alle Quadrate rot. In den unmittelbar darunter liegenden Zeilen sind alle Quadrate – bis
auf die am Rand – blau.
1
1 Teilbarkeit und Brüche 6
2048 : 2 = 1024
Endziffer: 4
Å024 : 2 = 512
Endziffer: 2
5Å2 : 2 = 256
Endziffer: 6
256 : 2 = 128
Endziffer: 8
Å28 : 2 = 64
Endziffer: 4
64 : 2 = 32
Endziffer: 2
32 : 2 = 16
Endziffer: 6
Å6 : 2 = 8
Endziffer: 8
8 : 2 = 4
Endziffer: 4
4 : 2 = 2
Endziffer: 2
2 : 2 = Å
Endziffer: 1
Bis auf das letzte Ergebnis wiederholen sich die
Endziffern 4; 2; 6; 8.
7
0
4
8
12
16
20
20
24
28
32
36
40
40
44
48
52
56
60
60
64
68
72
76
80
a) Auf die Zehnerziffern 1; 3; 5; 7; 9 folgen die
Einerziffern 2 oder 6.
Auf die Zehnerziffern 2; 4; 6; 8 folgen die
Einerziffern 0; 4 oder 8.
b)Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden
letzten Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
Alle Vielfachen von 100 sind durch 4 teilbar,
daher sind nur die zwei letzten Ziffern ent­
scheidend.
c) 84; 136; 1932; 6452 sind durch 4 teilbar.
((DUA-Ende!!))
LE 3 Quersummenregeln
Differenzierung in LE 3
Differenzierungstabelle
LE 3 Quersummenregeln
0
$
.
1, 2, 3 li,
4 li
3 re, 4 re,
5 li, 6 li,
7 li
5 re, 6 re,
7 re
KV 2
KV 3
KV 2
KV 3
KV 2
KV 3
KV 4
KV 5
KV 4
KV 5
KV 4
KV 5
Die Schülerinnen und
Schüler können …
die Quer­summen­
regeln anwenden, um
über eine Teilbarkeit
zu entscheiden,
Gelerntes üben und
festigen.
AH S. 11
Kopiervorlagen
KV 2 Quersummenregeln
Diese KV kann als Material für einen alternativen
Einstieg verwendet werden. Im Gegensatz zum Einstieg im Buch wird hier keine Stellenwerttafel zur
Regelbildung eingesetzt.
KV 3 ABC-Mathespiel: Teilbarkeitsregeln
Das Spiel-Konzept funktioniert wie das beliebte und
den Schülerinnen und Schülern bekannte Gruppenspiel “Stadt-Land-Fluss“.
Zur Differenzierung können sich leistungshomogene Gruppen bilden, die entweder eine einfache
(Buchstaben A – M) oder eine anspruchsvollere Variante (Buchstaben N – Z) spielen.
Die über die Buchstaben ermittelten Zahlen werden
auf ihre Teilbarkeit durch 2; 5; 3 und 9 getestet.
(s. S. 4)
KV 4 und KV 5 Zahlenspiel (1) und (2)
Übungsblätter zur Teilbarkeit für drei bis fünf Spieler.
Arbeitsheft
AH S. 11 Endziffernregeln, Quersummenregeln
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seite 15
Zum Einstieg
Durch die vorgestellte Herangehensweise werden
die Schülerinnen und Schüler an die Quersummenregeln und deren Bedeutung herangeführt. Die
Teilbarkeit durch 3 und 9 verändert sich nicht, egal
welche Zahl mit den Plättchen gelegt wird, da die
Quersumme immer dieselbe bleibt.
Ergänzend wäre es möglich, den Schülerinnen und
Schülern ein weiteres Plättchen zur Verfügug zu
stellen. Dabei werden besonders die leistungsstarken Schülerinnen und Schüler feststellen, dass eine
Zahl aus 7 gelegten Plättchen niemals durch 3 oder
9 teilbar ist.
Alternativer Einstieg
Die Lehrperson verblüfft die Schülerinnen und Schüler durch ihr erstaunliches Können im Kopfrechnen.
Sie lässt sich von der Klasse große Zahlen nennen
und kann sofort sagen, ob diese durch 3 oder 9
teilbar sind. Die Schülerinnen und Schüler werden
daraufhin angespornt, diesen „Trick“ selbst anwenden zu können. Hierzu kann wieder, wie in der vergangenen Lerneinheit, die KV 2 Quersummenregel
genutzt werden. Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich mit dieser KV die Quersummenregeln
selbstständig.
((DUA-Ende!!))
25
1 Teilbarkeit und Brüche Lösungen
Seite 15
Lösungen
Seite 15
Seite 16
Einstieg
A Teilbar durch 3:
ÆÆ Das Plättchen verändert seinen Wert von 10
auf 1; die Zahl wird also um 9 kleiner. Aus der
Zahl 117 wird die Zahl 108.
ÆÆ Das Plättchen verändert seinen Wert von 100
auf 1; die Zahl wird also um 99 kleiner. Aus der
Zahl 108 wird die Zahl 9.
ÆÆ Lisa verschiebt zwei Plättchen von der Einer- in
die Zehnerspalte. Der Wert der beiden Plättchen
erhöht sich so von 2 auf 20, der Gesamtwert erhöht sich um 18.
Aus der Zahl 3 wird die Zahl 21.
Lisa verschiebt noch ein Plättchen von der Einerin die Hunderterspalte. Damit erhöht sich die
Zahl um 99.
Aus der Zahl 21 wird die Zahl 120.
ÆÆ Alle Zahlen aus 9 Plättchen sind durch 9 und
3 teilbar. Alle Zahlen aus 3 Plättchen sind durch
3 teilbar.
1
2
a) 96 ist durch 3 teilbar (Quersumme: 15).
b)123 ist durch 3 teilbar (Quer­summe: 6).
c) 455 ist nicht durch 3 teilbar (Quersumme: 14).
d)1263 ist durch 3 teilbar (Quer­summe: 12).
e) 4316 ist nicht durch 3 teilbar (Quer­
summe: 14).
f) 7521 ist durch 3 teilbar (Quer­summe: 15).
66; 126; 279; 3111; 7146
Teilbar durch 9: 126; 279; 7146
Seite 16, links
3
a) 456: teilbar durch 3, nicht durch 9
(Quer­summe: 15)
b)333: teilbar durch 3 oder 9 (Quersumme: 9)
c) 6895: nicht teilbar durch 3 und nicht durch 9
(Quer­summe: 28)
d)4721: nicht teilbar durch 3 und nicht durch 9
(Quer­summe: 14)
e) 8961: teilbar durch 3, nicht durch 9
(Quer­summe: 24)
f) 5551: nicht teilbar durch 3 und nicht durch 9
(Quer­summe: 16)
g)8547: teilbar durch 3, nicht durch 9
(Quer­summe: 24)
h)12 345: teilbar durch 3, nicht durch 9
(Quersumme: 15)
4
Hoch steigen die Ballons mit den Zahlen 4005;
792; 9630; 801 und 522.
Unten bleiben daher die Ballons mit den Zahlen
993; 9876; 8888.
5
Alle Beträge können gerecht an 3 Personen
­verteilt werden:
a) 63,15 € : 3 = 21,05 €
b)231,36 € : 3 = 77,12 €
c) 52,20 € : 3 = 5220 ct : 3 = 1740 ct = 17,40 €
d)458,01 € : 3 = 45891 ct : 3 = 15267 ct = 152,67 €
Die Teilbarkeit kann mithilfe der Quersummenregel geprüft werden. In c) und d) sind die Euround die Cent-Beträge einzeln nicht durch 3
teilbar. Die Gesamtbeträge in Cent sind jedoch
durch 3 teilbar und können somit gerecht verteilt werden.
6
a)708; 738; 768; 798
b)630; 633; 636; 639
c) 243; 543; 843
d)6801; 6804; 6807
e)4404; 4434; 4464; 4494
f) 2652; 5652; 8652
g)3270; 3570; 3870
h)9780; 9783; 9786; 9789
a) 252 ist durch 9 teilbar (Quersumme: 9).
b)189 ist durch 9 teilbar (Quersumme: 18).
c) 658 ist nicht durch 9 teilbar (Quersumme: 19).
d)2241 ist durch 9 teilbar (Quersumme: 9).
e) 3872 ist nicht durch 9 teilbar (Quer­
summe: 20).
f) 4896 ist durch 9 teilbar (Quersumme: 27).
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seite 16
Zu Seite 16, Aufgabe 5, rechts
In Aufgabe 5 wird eine verblüffende Divisionsaufgabe dargestellt. Leistungsstärkere Schülerinnen und
Schüler können hieran die Teilbarkeitsregeln für die
Zahlen 1; 6; 7 und 8 ableiten und verallgemeinern.
Als Zusatz kann sich diese Schülergruppe weitere,
eigene Zahlenbeispiele ausdenken, über die sie im
Vorfeld eine Entscheidung zur Teilbarkeit treffen.
((DUA-Ende!!))
26
Seite 16
1 Teilbarkeit und Brüche 7
teilbar
durch
72
84
132
150
162
675
2
3
3
3
3
3
7
3
3
3
3
3
3
3
5
7
7
7
3
7
3
9
3
7
7
7
3
3
10
7
7
7
3
7
7
5
• Streichen der 9: 721 368 ist durch 9 teilbar, da
die Quersumme 27 durch 9 teilbar ist.
•Streichen der 7: 921 368 : 7 = 131 624
Durch 7 teilbar, da bei der Division kein Rest
entsteht.
•Streichen der 2: 971 368 ist durch 2 teilbar, da
die Endziffer 8 ist.
•Streichen der 1: 972 368 ist durch 1 teilbar, da
alle ganzen Zahlen durch 1 teilbar sind.
•Streichen der 3: 972 168 ist durch 3 teilbar, da
die Quersumme 33 durch 3 teilbar ist.
•Streichen der 6: 972 138 ist durch 6 teilbar, da
die Zahl durch 2 und 3 teilbar ist (Endziffer: 8;
Quersumme: 30).
•Streichen der 8: 972 136 : 8 = 121 517
Durch 8 teilbar, da bei der Division kein Rest
entsteht.
6
a) Quersumme der Zahl: 111
Quersumme von 111: 3
3 ist teilbar durch 3. Also ist auch 111 und somit
auch die Riesenzahl durch 3 teilbar.
b)Quersumme der Zahl: 110
Quersumme von 110: 2
2 ist nicht teilbar durch 3. Also ist 110 und somit
auch die Riesenzahl nicht durch 3 teilbar.
7
Miriam hat herausgefunden, dass man von einer
Quersumme noch einmal die Quersumme bilden
kann und das so lange, bis man auf eine einstellige Zahl kommt. Anhand der letzten Quersumme kann man prüfen, ob die ursprüngliche Zahl
durch 3 oder 9 teilbar ist.
Ist eine Zahl durch 3 und 9 teilbar, dann sind
auch die Quersumme, die Quersumme der Quersumme usw. durch 3 und 9 teilbar.
Ist eine Zahl nicht durch 3 teilbar, dann sind
auch die Quersumme, die Quersumme der Quersumme nicht durch 3 teilbar.
Seite 16, rechts
3
4
a) 4532 – 14 = 4518
4532 ist nicht durch 3 oder 9 teilbar
(Quersumme: 14).
Nach Subtraktikon der Quersumme ist die neue
Zahl 4518 durch 3 und 9 teilbar
(neue Quersumme: 18).
b)3463 – 16 = 3447
3463 ist nicht durch 3 und nicht durch 9 teilbar
(Quersumme: 16).
Nach Subtraktion der Quersumme ist die neue
Zahl 3447 durch 3 und 9 teilbar
(neue Quersumme: 18).
c) 9870 – 24 = 9846
9870 ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar
(Quersumme: 24).
Nach Subtraktion der Quersumme ist die neue
Zahl 9846 durch 3 und 9 teilbar
(neue Quersumme: 27).
d)3571 – 16 = 3555
3571 ist nicht durch 3 und nicht durch 9 teilbar
(Quersumme: 16).
Nach Subtraktion der Quersumme ist die neue
Zahl 3555 durch 3 und 9 teilbar
(neue Quersumme: 18).
Beobachtung: Wenn man von einer Zahl ihre
Quersumme subtrahiert, ist das Ergebnis teilbar
durch 3 und 9.
((DUA-Ende!!))
a)
teilbar
durch
75
96
150
162
240
729
2
7
3
3
3
3
7
3
3
3
3
3
3
3
5
3
7
3
7
3
7
6
7
3
3
3
3
7
9
7
7
7
3
7
3
b)Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch
2 und durch 3 teilbar ist.
c) Teilbar durch 6 sind 132 und 852.
Nicht teilbar sind 141; 345 und 412.
27
1 Teilbarkeit und Brüche Lösungen
LE 4 Primzahlen
Differenzierung in LE 4
Seite 17
Differenzierungstabelle
Einstieg
LE 4 Primzahlen
0
Die Schülerinnen und
Schüler können …
$
Primzahlen erkennen
und benennen,
1, 2, 4 li
4 re, 6 li,
7 re, 8 re,
9 re
eine
Primfaktorzerlegung
durchführen,
3, 5 re
5 li, 6 re,
10 re
Gelerntes üben und
festigen.
KV 6
KV 6
.
ÆÆ Es sind insgesamt 18 Kärtchen.
Silja könnte auch ein Rechteck legen, das 9
Kärtchen lang und 2 Kärtchen breit ist.
ÆÆ Das Vertauschen von Länge und Breite führt
zum gleichen Rechteck. Es gibt insgesamt drei
Möglichkeiten:
((DUA-Ende!!))
Seite 17
Zum Einstieg
In der Einstiegsaufgabe wird das Wissen zu den Teilermengen nochmals aufgegriffen. Dabei wird die
Teilermenge von 18 wiederholt. Kommt das schwarze Schaf hinzu, so gibt es nur noch eine Möglichkeit, ein Rechteck zu legen.
Besonders leistungsschwächere Schülerinnen und
Schüler profitieren von der Wiederholung der enaktiven Repräsentation der Teilermengen der beiden
Zahlen 18 und 19. Vorgefertigte Kärtchen können
mit­hilfe des Materiallinks im Buch als Kopiervorlage im Internet abgerufen werden.
Für schnelle Schülerinnen und Schüler lässt sich
die Aufgabe erweitern, indem aus 4; 6; 10; 12 und
16 Kärtchen Rechtecke gebildet werden sollen und
jeweils das schwarze Schaf noch hinzukommt.
Alternativer Einstieg
Um die Bedeutung und die Eigenschaften der Primzahlen zu verstehen, eignet sich auch die KV 6 Das
Glücksprinzip. Hierbei streichen die Schülerinnen
und Schüler alle Vielfachen einer Zahl, am Ende
bleiben nur noch die Primzahlen (mit nur zwei Teilern) stehen.
28
Breite des Rechtecks
18 Kärtchen
1 Kärtchen
9 Kärtchen
2 Kärtchen
6 Kärtchen
3 Kärtchen
AH S. 12
ÆÆ Mit dem schwarzen Schaf sind es insgesamt
19 Kärtchen. Da 19 nur 1 und sich selbst als Teiler hat, gibt es nur ein mögliches Rechteck, das
19 Kärtchen lang und 1 Kärtchen breit ist.
1
Die Zahlen 13; 31 und 37 sind Primzahlen, denn
sie haben nur die 1 und sich selbst als Teiler.
21 hat die Teiler 1; 3; 7 und 21;
39 hat die Teiler 1; 3; 13 und 39.
Also sind 21 und 39 keine Primzahlen.
2
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29
3
a) 10 = 2 · 5
c) 4 = 2 · 2 Arbeitsheft
AH S. 12 Primzahlen
((DUA-Ende!!))
Länge des Rechtecks
KV 6
Kopiervorlagen
KV 6 Das Glücksprinzip
Diese KV kann als Material für einen alternativen
Einstieg verwendet werden. Die Schülerinnen und
Schüler entdecken über einen spielerischen Kontext
die Eigenschaften der Primzahlen.
Kommentare
Seite 17
b) 15 = 3 · 5
d) 20 = 2 · 2 · 5
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seite 18
Zu Seite 18, Aufgabe 7, rechts und Aufgabe 9, rechts
In Aufgabe 7 und 9 wird das Begründen geübt,
dass heißt, die Fähigkeit eigene Grundgedanken
zu entwickeln, zu argumentieren und in einen Zusammenhang zu stellen. Dieser Operator lässt sich
dem Anforderungsbereich III zuordnen. Besonders
Aufgabe 9 schafft einen Zusammenhang zwischen
den bereits behandelten Teilbarkeitsregeln und den
in der Lerneinheit 4 neu erworbenen Kenntnissen
über die Primzahlen.
((DUA-Ende!!))
1 Teilbarkeit und Brüche Lösungen
Seite 18
5
a) 45 = 3 · 3 · 5
3
b) 90 = 2 · 3 · 3 · 5
3
5
5
Seite 18
A a)ja
3
15
3
b)Nein, weil 51 durch 3 teilbar ist.
c)ja
B
15
45
2
45
a) 15 = 3 · 5
b)9 = 3 · 3
c) 14 = 2 · 7
90
Seite 18, links
4
5
6
a) 11; 31; 41
c) 17; 37; 47
b)13; 23; 43
d)19; 29
Richtig ist:
a) 24 = 2 · 2 · 2 · 3
b) 81 = 3 · 3 · 3 · 3
c) 420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7
d) 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
c) 125 = 5 · 5 · 5
5
d) 100 = 2 · 2 · 5 · 5
5
5
2
25
5
5
25
50
2
125
6
5
4
3
2
1
12
11
10
9
8
7
18
17
16
15
14
13
24
23
22
21
20
19
30
29
28
27
26
25
36
35
34
33
32
31
42
41
40
39
38
37
48
47
46
45
44
43
54
53
52
51
50
49
60
59
58
57
56
55
66
65
64
63
62
61
72
71
70
69
68
67
78
77
76
75
74
73
84
83
82
81
80
79
90
89
88
87
86
85
96
95
94
93
92
91
100
99
98
97
b)Es müssen folgende Zahlen umrahmt sein:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41;
43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.
Die umrahmten Zahlen sind keine Vielfachen
schon aufgelisteter Zahlen, sie sind Primzahlen.
c) Primzahlzwillinge: 3 und 5; 5 und 7; 11 und
13; 17 und 19; 29 und 31; 41 und 43; 59 und 61;
71 und 73.
100
e)1000 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5
5
5
2
2
2
f) 450 = 2 · 3 · 3 · 5 · 5
5
5
3
25
3
125
250
5
25
75
225
2
500
450
1000
Seite 18, rechts
4
a) Primzahlen:
b)Primzahlen:
c) Primzahlen:
d)Primzahlen:
11;
13;
17;
19;
31;
23;
37;
29;
41;
43;
47;
59;
61; 71
53; 73
67
79
29
1 Teilbarkeit und Brüche g) 210 = 2 · 3 · 5 · 7
5
3
5
7
3
35
2
105
2
10Die Zahl 1001 ist wegen der Endziffer 1 nicht
h)600
= 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5
25
75
2
210
5
((DUA-Ende!!))
150
300
2
durch 2 und nicht durch 5 teilbar. Ihre Quersumme ist 2, also ist sie auch nicht durch 3 teilbar.
So weit hat Tim recht. Erkan dividiert durch die
7, denn das ist die nächste Primzahl:
1001 : 7 = 143 Rest 0
1001 ist also doch keine Primzahl.
LE 5 Brüche
Differenzierung in LE 5
Differenzierungstabelle
600
LE 5 Brüche
6
7
a) 2 · 3 · 5 = 30
b) 2 · 3 · 5 · 7 = 210
Damit die Zahl möglichst klein ist, wählt man
die ersten drei bzw. vier Primzahlen als Faktoren
aus.
a) Die Zahl 2 ist die einzige Primzahl mit Endziffer 2. Sie hat nämlich nur die 1 und sich selbst
als Teiler. Größere Zahlen mit Endziffer 2 sind
nach der Endziffernregel durch 2 teilbar. Die
Division durch 2 ergibt einen Quotienten, der
größer ist als 1. Dieser Quotient ist aber auch
ein Teiler der Zahl. Sie hat also außer 1 und sich
selbst mindestens noch einen Teiler.
Beispiel: 12 : 2 = 6; der Quotient 6 ist ein Teiler
von 12, denn 12 : 6 = 2.
b)Ganz genauso wie für die 2 kann man sich
überlegen, dass die Zahl 5 die einzige Primzahl
mit Endziffer 5 ist.
8
a)11
9
Jede Zahl ist durch 1 und sich selbst teilbar. Mithilfe der Teilbarkeitsregeln findet man für die
vier Zahlen wenigstens einen weiteren Teiler:
•458 ist auch durch 2 teilbar, da ihre Endziffer
eine 2 ist.
•7265 ist auch durch 5 teilbar, da ihre Endziffer
eine 5 ist.
•6741 ist auch durch 9 teilbar, da ihre Quer­
summe (18) durch 9 teilbar ist.
•1 000 000 ist auch durch 2; 5 und 10 teilbar, da
ihre Endziffer eine 0 ist.
30
b)97
c) 101
0
Die Schülerinnen und
Schüler können …
$
.
Bruchteile erkennen
1, 2, 3, 5 li, 7 li, 7 re,
und in der Bruch­
5 re, 6 li,
8 re, 10 li
schreibweise angeben, 6 re
10 re, 11 re
Bruchteile darstellen,
4, 8 li
8 re, 9 li,
9 re, 11 li,
12 li
12 re
Gelerntes üben und
festigen.
KV 7
KV 7
KV 7
AH S. 13
Kopiervorlagen
KV 7 Brüche darstellen
Die KV bietet eine erste Übung für das Bruchverständnis. Die Lernenden erkennen Brüche als Anteil
an einem Ganzen.
Arbeitsheft
AH S. 13 Brüche
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seite 19
Zum Einstieg
Die abgebildeten geometrischen Figuren verdeutlichen die Thematik der gerechten Unterteilung. Bei
den drei Dreiecken sind die bunten Flächen immer
gleich groß, dies gilt auch für die Quadrate und
Sechsecke.
Über die Anzahl der Ecken lässt sich der Bruchteil
ermitteln. Im Dreieck sind Drittel markiert, im Viereck Viertel und im Sechseck Sechstel.
1 Teilbarkeit und Brüche Alternativer Einstieg
Ein Einstieg mit besonders handlungsorientiertem
Charakter lässt sich Mithilfe von Fruchtgummi- oder
Lackritzschnecken realisieren. Die Schülerinnen und
Schüler erhalten in 3er-Gruppen nur zwei Schnecken und sollen diese gerecht unter sich aufteilen.
Dabei entstehen viele unterschiedliche und kreative
Lösungsansätze, die sich später im Plenum präsentieren und diskutieren lassen. Neben der Möglichkeit die Schnecken abzuwickeln und zu messen,
können Drittel geschnitten oder zunächst Hälften
verteilt werden. Sehr anschaulich wird dabei die Bedeutung von Brüchen. Es soll gerecht (gleich große
Stücke) verteilt werden und es wird weniger als die
Ausgangsmenge (eben ein Anteil) als Ergebnis zum
Verzehr bleiben. Anders als im Buch sieht dieser
alternative Einstieg das Teilen mehrerer Ganzer vor
und bereitet die Schülerinnen und Schüler intuitiv
schon auf die Addition von gleichnamigen Brüchen
vor.
Über die Verbalisierung „zwei Schnecken auf drei
Kinder aufteilen“, wird die symbolische Schreibweise eines Bruchs _23 eingeführt, die Bedeutung des
Bruchstrichs erläutert und gleichzeitig mit dem bereits bekannten Divisionszeichen verknüpft.
()
Kommentare
Zu Seite 21, Aufgabe 7, links und rechts
Die Aufgaben verdeutlichen die Bruchrechnung
nochmals als einen Vorgang des gerechten Teilens.
Es kommt nicht nur auf die Anzahl der gefärbten
Teilstücke (Zähler), sondern auch auf die gleiche
Stückgröße (Nenner) an. Bei Aufgabe 7 rechts wird
zusätzlich eine Begründung des Fehlers gefordert
und somit die Fähigkeit die Aussage als ungültig
nachzuweisen.
(s. Materialcode S. 21)
((DUA-Ende!!))
Lösungen
1
b) _3
d) _5
3
d) _7
2
d) _
10
c) _8
1
c) _5
a) _2
4
Mögliche Lösung:
a)
3
4
b)
1
3
3
8
c)
d)
2
5
A
5
1
3
Einstieg
Beim roten Blatt entstehen 8, beim grünen Blatt
16 und beim blauen Blatt 3 gleich große Rechtecke.
b) _4
a) _4
Seite 19
1
1
2
Seite 19
ÆÆ 1. Reihe von links:
Quadrat; Dreieck; Sechseck; Dreieck
2. Reihe von links:
Quadrat; Sechseck; Quadrat; Dreieck; Sechseck
ÆÆ Nora hat recht. Die Dreiecke sind jeweils in drei
gleich große Teile geteilt.
ÆÆ Man findet orange gefärbte Dreiecke und Vierecke.
ÆÆ Alle Quadrate sind in 4 Teile, alle Dreiecke in
3 Teile und alle Sechsecke in 6 Teile zerlegt.
Seiten 20, 21
Seite 20
((DUA-Ende!!))
Lösungen
Seite 21
4
12
1
1
a) _3
b) _4
3
c) _5
B Mögliche Lösung:
a)
b)
3
_
5
5
__
12
c)
((DUA-Ende!!))
11
__
24
31
1 Teilbarkeit und Brüche 8
Seite 20, links
5
3
1
b) _4 Pizza
1
d) _
Schokolade
16
a) _2 Apfel
11
c) _4 Torte
6
a) _
15 sind gefärbt.
b)Es bleiben 9 Felder übrig. Man muss 6 dieser
Felder blau färben, damit man _ 23 der Restfläche
gefärbt hat.
Mögliche Lösung:
Seite 20, rechts
5
2
2
a) _8
2
b) _4
2
c) _6
d) _8
c) Es bleiben 3 Felder ungefärbt, das sind _
153 der
Gesamtfläche.
Seite 21, links
6
((DUA-Ende!!))
a) 10 gleich große Teile; _
103 gefärbt
b)6 gleich große Teile; _ 65 gefärbt
Kommentare
Seite 22
c) 10 gleich große Teile; _
105 gefärbt
11
gefärbt
d)16 gleich große Teile; _
16
Zu Seite 22, Aufgabe 12, links und rechts
Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler
sollte hier ein gemeinsames Beispiel gemacht werden, damit deutlich wird, dass die dargestellte Figur
einem Bruchteil entspricht, der zum Ganzen ergänzt
werden muss. Durch die Aufforderung verschiedene
Lösungen zu finden, ist die Aufgabe selbstdifferenzierend.
Leistungsstarke Schülerinnen und Schüler können
in Partner- oder Gruppenarbeit prozessbezogene
Kompetenzen wie Argumentieren und Beweisen und
Kommunizieren anhand von Aufgabe 12 rechts trainieren.
e) 4 gleich große Teile; _ 24 gefärbt
f) 16 gleich große Teile; _
165 gefärbt
7
a)richtig
b)Falsch; es ist _ 41 dargestellt.
c) Falsch; es ist _ 41 dargestellt.
d)Falsch; es ist _ 61 dargestellt.
e)richtig
f)richtig
8
Mögliche Lösung:
((DUA-Ende!!))
a)
b)
5
6
7
8
c)
d)
7
10
9
12
Seite 21, rechts
6
3
b) _4
3
e) _
12
a) _5
d) _6
7
32
3
c) _8
3
3
f) _
10
3
a) Die vier Teile sind nicht gleich groß.
b)Das Rechteck wurde in fünf statt vier gleich
große Teile aufgeteilt.
c) Die Teile sind unterschiedlich groß. Zudem
sind 3 Teile von 6 gefärbt.
d)Die vier Teile sind nicht gleich groß.
e)richtig
f) Die vier Teile sind nicht gleich groß.
1 Teilbarkeit und Brüche Lösungen
Seite 22
11 Mögliche Lösung:
Seite 22, links
9
1_
2
1_
4
1_
8
1_
8
Mögliche Lösung:
5
8
3
4
_
81 der
Fläche bleibt frei.
12Mögliche Lösung:
1
b) _5
1
d) _4
a) _2
7
10
c) _4
2
5
1
6
5
9
1
Seite 22, rechts
9
a) Mögliche Lösung:
1
_
3
10
a) _21 rot
_
21 nicht
gefärbt;
gefärbt. Das kann man
gut erkennen, wenn man die Figur in zwei
Rechtecke teilt, von denen jeweils die Hälfte gefärbt ist:
b) _21 rot gefärbt; _ 21 nicht gefärbt. Wenn man
die weißen Flächen zusammenlegt, erhält man
6 weiße Felder, das entspricht der Hälfte.
3
3
_
8
1
__
12
b)Es bleiben _
245 übrig.
10a) Die Figur besteht aus 40 Kästchen. Die
­ range Fläche entspricht 8 Kästchen; es sind
o
also _
408 orange gefärbt.
b)Die blaue Fläche entspricht 4 Kästchen; es
sind also _
404 blau gefärbt.
c) Es sind 40 – 8 – 4 = 28 Kästchen nicht ge28
färbt; das sind _
40 des Rechtecks.
11 Man denkt sich die Teilung auf die ganze Figur
fortgesetzt.
1
a) _6
1
b) _
16
4
c) _
32
1
d) _
16
12a) (1) Es gibt 10 gelbe Kästchen.
Wenn sie _ 41 darstellen sollen, muss man ein
Rechteck mit insgesamt 4 · 10 = 40 Kästchen
zeichnen.
33
1 Teilbarkeit und Brüche Mögliche Lösung:
(2) Es gibt 10 gelbe Kästchen. Wenn sie _ 51
darstellen sollen, muss man ein Rechteck mit
5 · 10 = 50 Kästchen zeichnen.
Mögliche Lösung:
Kopiervorlagen
KV 8 Speisekarte: Brüche am Zahlenstrahl
Auf zwei verschiedenen Schwierigkeitsgraden lesen
die Schülerinnen und Schüler Brüche am Zahlenstrahl ab. Anschließend zeichnen sie selbst einen
Zahlenstrahl und markieren darauf Brüche, um
dann in Aufgabe 3 Fehler zu finden und zu verbessern. (s. S. 5)
KV 9 Gemischte Zahlen
Im Buch werden gemischte Zahlen am Zahlenstrahl
eingeführt. Diese KV bietet weitere Bruchdarstellungen, Übungen und anschauliche Erklärungshilfen zu
gemischten Zahlen und unechten Brüchen.
Arbeitsheft
AH S. 14 Brüche am Zahlenstrahl
b)10 Kästchen sind gelb. Wenn sie die Hälfte
darstellen sollen, müsste das ganze Rechteck
2 · 10 = 20 Kästchen groß sein. Das geht nicht,
denn das kleinstmögliche Rechteck hat bereits
4 · 7 = 28 Kästchen.
Wenn die 10 Kästchen _ 31 darstellen sollen, müsste das ganze Rechteck 3 · 10 = 30 Kästchen
groß sein. Jedoch gibt es kein 30 Kästchen
großes Rechteck, in welches die gelbe Figur
hineinpasst.
((DUA-Ende!!))
LE 6 Brüche am Zahlenstrahl
Differenzierung in LE 6
Differenzierungstabelle
LE 6 Brüche am Zahlenstrahl
0
Die Schülerinnen und
Schüler können …
Brüche am Zahlen­
strahl ablesen,
$
1, 3 li, 3 re 7 li, 10 li
einen geeigneten
2, 4 li, 5 li
Zahlenstrahl zeichnen
und Brüche eintragen,
4 re, 5 re,
6 li, 8 li,
8 re, 11 li,
12 li
eine gemischte Zahl
in einen unechten
Bruch umwandeln und
umgekehrt,
KV 9
7 li, 6 re,
9 li
Gelerntes üben und
festigen.
KV 9
KV 8
AH S. 14
.
9 re, 10 re,
11 re
KV 9
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Zum Einstieg
Es lohnt sich, die Einstiegsidee des Buchs aufzunehmen und einen schüleraktiven Einstieg daraus
zu machen. Jedem Schüler, jeder Schülerin oder
jeder Schülergruppe wird ein Bruch ausgeteilt und
soll am Zahlenstrahl im Klassenzimmer aufgehängt
werden. Dabei ist der intuitiven Zuordnung und der
dazugehörigen Begründung mehr Gewicht zu verleihen als der präzisen Abmessung.
Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die
häufig anzutreffende Fehlvorstellung, ein größerer
Nenner bedeute einen höheren Wert des Bruchs,
ablegen. Die Kärtchen können hierbei differenzierend verteilt werden. Im Plenum wird am Ende eine
gute Einteilung zum Abzeichnen ins Heft besprochen und diskutiert. Hierbei kann ein Hinweis auf
das kgV der Nenner erfolgen.
Besonders für leistungsschwächere Schülerinnen
und Schüler reicht die Einführung von unechten
Brüchen und gemischten Zahlen und deren Umwandlung alleine über den Zahlenstrahl nicht aus.
Nach Bruners E-I-S-Prinzip schließt sich an die
enaktive Ebene (Bruch falten, ausschneiden) die
ikonische (bildliche Darstellung von Bruchstücken,
Anordnung auf dem Zahlenstrahl) und die symbolische Darstellung von Brüchen in den verschiedenen
Schreibweisen an. Hier sollte ein Verfahren zur
Umwandlung von einem unechten Bruch in eine
gemischte Zahl besprochen und eingeübt werden
(Beispiel: Aufteilen von Pizzen auf Kinder).
Die Aufgabe 1 und 2 der KV 9 können hierbei als
­Hilfestellung dienen.
((DUA-Ende!!))
34
Seite 23
1 Teilbarkeit und Brüche Lösungen
b)
Seite 23
1
__
10
Seite 23
Einstieg
3 __
7
_
5 10
6
_
5
0
ÆÆ Der Bruch _ 21 hängt in der Mitte zwischen 0 und
1. Der Bruch _ 41 hängt in der Mitte zwischen 0
und _21 . Claudine hängt _ 34 in die Mitte zwischen _ 21
und 1.
ÆÆ Sam muss seinen Bruch an dieselbe Stelle wie _ 41
hängen, denn zwei Achtel der Leine sind so lang
wie ein Viertel der Leine.
ÆÆ Marc muss _ 61 links von _ 41 aufhängen, denn ein
Sechstel der Leine ist kürzer als ein Viertel.
Möchte man die genaue Stelle finden, sollte
man die Wäscheleine in 6 gleich große Ab­
schnitte unterteilen.
1
4
__
10
1
B: _ 4 oder _2
2
1
B: _ 3
1
B: _ 6 oder _3
a) A: _ 4
A a)
C: _ 4
2
c) A: _6
1
C: _ 6
((DUA-Ende!!))
Kommentare
5
2
__
10
3
1
6
4
b) A: _ 8 ; B: _ 8 ; C: _ 8 ; D: _ 8
3
__
10
7
__
10
5
__
10
0
1
Seite 24, links
3
1
A: _
12
6
4
2
1
9
3
4
_
B: _
12 oder 6
1
D: _
12 oder _ 2
2
b) A: _3
3
2
A: _ 5 ; B: _ 5
B
3
1
1
1
_
C: _
12 oder 3
_
E: _
12 oder 4
a)
1
_
6
2
_
6
3
_
6
4
_
6
5
_
6
Seiten 24, 25
0
Zu Seite 24, Aufgabe 4, rechts und links
Häufig haben Schülerinnen und Schüler Probleme,
Brüche an einem geeigneten Zahlenstrahl einzutragen. Besonders dann, wenn die Nenner unterschiedlich sind und eine geeignete Unterteilung des
Zahlenstrahls gefunden werden muss. Hilfreich ist
es für die Schülerinnen und Schüler, sie auf das kgV
der Nenner hinzuweisen.
Zu Seite 25, Aufgabe 8, rechts
Diese Aufgabe kann eine Überleitung zur nächsten
Lerneinheit, Erweitern und Kürzen, darstellen. Die
Schülerinnen und Schüler entdecken eigenständig,
dass verschiedene Bruchzahlen denselben Wert und
dieselbe Stelle auf dem Zahlenstrahl einnehmen.
1
b)
1
_
8
1
_
4
3
_
8
5
_
8
3
_
4
0
1
5
1
__
10
3
__
10
1
_
2
3
_
5
4
_
5
9
__
10
0
6
1
1
__
10
2
_
5
4 __
9
_
5 10
6 __
13
_
5 10
8 __
17 _
9
_
5 10 5
((DUA-Ende!!))
Lösungen
Seiten 24, 25
Seite 24
2
0
7
a)
3
1 5
1
a) _2 = 1 _2 ; _ 2 = 2 _2 ;
1
5
3
1 7
_
4 = 1 _4 ; _ 4 = 1 _4 ;
2
9
1
_
2 = 4 _2 ;
8
4
_
4 = 1; _ 4 = 2
1
_
6
0
3
_
6
5
_
6
7
_
6
3 11
1 3
1 5
1 5
_1 _7
b) 1 _2 = _2 ; 1 _4 = _4 ; 2 _2 = _2 ; 2 _4 = _
4 ; 3 2 = 2
1
35
1 Teilbarkeit und Brüche 10Der Zahlenstrahl wurde nicht in gleich große
Seite 24, rechts
3
a) A: _ 8
1
B: _ 8 oder _4
4
1
C: _ 8 oder _ 2
6
3
D: _8 oder _ 4
2
2
­Abschnitte unterteilt. Richtig ist:
1
1
_
8
B: _ 6
8
4
C: _ 6 oder _ 3
9
3
3
1
D: _6 = 1 _6 oder _2 = 1 _2
0
5
11
E: _
6 = 1 _6
4
1
_
3
3
_
4
5
1
b) A: _ 6 = _3
1
__
12
1
_
2
7
__
12
3 _
5 __
11
_
4 6 12
0
5
_
4
1
_
1 5 _
1
_
4 ; _
12 ; 3
1
4 11 _
7
12 ; 12
zwischen _2 und 1: _ 6 ; _
11 links von _ 21 :
12a) und c)
2
_
13
1
13
1
2
__
10
4
__
10
6
__
10
1
_
5
2
_
5
3
_
5
7
__
10
8
__
10
4
_
5
2
0
5
1
b)An derselben Stelle sind:
1
__
20
3
__
10
2
_
5
1
_
2
7 _
3
__
10 4
19
__
20
0
c) An derselben Stelle liegt keiner der angege2
benen Brüche aus a). Hier könnte aber _
10 eingetragen werden.
1
5
1 8
a) _4 = 1 _4 ; _ 4 = 2;
6
8
4
2 6
_
_3 _
_4
10 und _5 ; _
10 und 5 ; 10 und 5 .
6
_
5
9
1
_
4 = 2 _4 ;
3
11
_
4 = 2 _4 ;
7
2
_
= 1 _ ;
5
Seite 25, rechts
5
11
1 15
_
5 = 3
5 = 2 _5 ; _
3
7
1 5
1 4
1 7
1 9
b) 1 _4 = _4 ; 2 _2 = _2 ; 1 _3 = _3 ; 2 _3 = _3 ; 4 _2 = _2 ;
1 21
5 _ = _
4
7
4
Seite 25, links
8
a) und b)
1
__
12
2
__
12
3
__
12
4
__
12
5
__
12
6
__
12
7
__
12
8
__
12
9
__
12
10
__
12
11
__
12
a) Teilt man den Zahlenstrahl in Achtzehntel,
14
werden aus _29 und _ 97 die Brüche _
184 und _
18 . In der
Mitte zwischen 4 und 14 liegt 9. Der gesuchte
9
Bruch ist also _
18 oder _21 . Das erkennt man einfacher daran, dass der Bruch auch in der Mitte
zwischen 0 und 1 liegt.
b)Der Bruch liegt zwischen _ 85 und _68 . Verfeinert
man die Einteilung auf Sechzehntel, so liegt der
10
12
11
_
_
Bruch zwischen _
16 und 16 ; er beträgt also 16 .
8
0
9
1
_
6
2
_
6
3
_
6
1
_
2
0
1
4
3
2
7
3
_
_
4 = 14
2
4
4
_
6
1
12
9
1
_
_
4 = 24
15
3
__
_
4 = 34
5
1
_
_
2 = 22
7
_
2
= 3 _21
5
_
6
2
_
3
1
_
3
1
1
_
6
1
__
12
2
__
12
2
_
6
3
__
12
4
__
12
4
_
6
3
_
6
5
__
12
6
__
12
7
__
12
8
__
12
5
_
6
9
__
12
10
__
12
6
_
6
11
__
12
12
__
12
3
_
4
0
5
1
_
_
4 = 14
11
3
__
_
4 = 24
13
1
__
_
4 = 34
1
1
3
1
_
4
9
2
_
4
1
_
2
3
_
4
a) _38 liegt zwischen _ 41 und _21 (blau).
b) _87 liegt zwischen _ 34 und 1 (grün).
3
1
_
c) _
16 liegt zwischen 0 und 4 (rot).
9
3
1
_
_
d) _
16 liegt zwischen 2 und 4 (lila).
36
3
_
3
4
_
4
2
_
2
1 Teilbarkeit und Brüche 10a)
1
D: _
20 14
H: _
20
C: _
20
13
G: _
20 B: _
20
11
F: _
20 E: _
20
6
3
A: _
20
10
19
b) Teilungen mit den wenigsten Teilstrichen:
3
7
10
10-er Teilung: C: _
10 ; G: _
1
2-er Teilung: D: _ 2
11 Es wird _ 81 mit _34 vertauscht und _87 mit _1615 . Dann
sind diese 4 Kärtchen am richtigen Platz.
Die Kärtchen _ 85 ; _ 41 und _21 müssen in zwei Bewegungen miteinander vertauscht werden, damit
alle am richtigen Platz hängen. Zum Beispiel
tauscht man _ 85 mit _41 und anschließend _85 mit _21 .
Insgesamt muss viermal vertauscht werden.
KV 11 Kreisteile
Die KV kann vielfach in dieser oder den folgenden
Lerneinheiten eingesetzt werden. So können Gleichnamige Brüche zu einem Ganzen ergänzt oder im
Bereich Erweitern und Kürzen ein Anteil eines Ganzen auf verschiedene Weisen hergestellt werden. Es
empfielt sich die KV auf dickerem Papier auszudrucken, sodass die Kreisteile mehr Stabilität erhalten.
Inklusion
F 2 Eweitern
F 3 Kürzen
F 4 Tandembogen: Teilbarkeit und Brüche
Arbeitsheft
AH S. 15 Erweitern und Kürzen
((DUA-Ende!!))
0
1
8
5
8
1
4
1
2
3
4
Kommentare
1
7
8
15
16
Zum Einstieg
Durch die Einstiegsaufgabe erfahren die Schülerinnen und Schüler durch Legen die Operation des
Erweiterns und Kürzens handlungsorientiert.
((DUA-Ende!!))
LE 7 Erweitern und Kürzen
Differenzierung in LE 7
Differenzierungstabelle
LE 7 Erweitern und Kürzen
0
Die Schülerinnen und
Schüler können …
Brüche erweitern,
1, 2, 4 li,
4 re, 7 li
$
.
6 li, 6 re,
12 li
F 2
KV 10
Brüche kürzen,
3, 5 li, 5 re 8 li, 9 re,
9 li, 10 li
10 re
7 re, 8 re,
11 li
KV 11
Gelerntes üben und
festigen.
Alternativer Einstieg
Auch die Aufgabe 25, Nr. 8 rechts, kann als Einstieg
in die Thematik dienen. Die Schülerinnen und Schüler erkennnen beim Einzeichnen unterschiedlicher
Bruchzahlen, dass manche Brüche dieselbe Stelle
auf dem Zahlenstrahl einnehmen und damit denselben Bruchwert besitzen.
Auch können die Schülerinnen und Schüler durch
folgende Aufgabe zum Nachdenken angeregt und
zur Thematik hingeführt werden:
Paul bekommt _ 46 eines Kuchens, Frieda _69 und Daisy _ 23 . Daisy beschwert sich daraufhin über die ungerechte Verteilung.
((DUA-Ende!!))
Lösungen
F 3
wertgleiche Brüche
einander zuordnen,
Seiten 26, 27
Seiten 26, 27
Seite 26
Einstieg
F 4
AH S. 15
Kopiervorlagen
KV 10 Übungen zum Erweitern
Das Arbeitsblatt bietet Übungen zum Erweitern auf
einem grundlegenden Niveau an.
ÆÆ Für ein Viertel des Bogens benötigt Harald zwei
Achtel.
ÆÆ Für drei Viertel des Bogens benötigt Jana zwölf
Sechzehntel.
ÆÆ Man muss den Bogen erst dritteln und faltet
ihn danach noch einmal zur Hälfte.
37
1 Teilbarkeit und Brüche Seite 27
1
2
Seite 27, rechts
1 2
a) Kreise: _ 4 = _8 2 4
Rechtecke: _ 3 = _6
1
4
12
Rechtecke: _ 3 = _
5 10
Sechsecke: _6 = _
12
3
3 · 2
6
_
b) _5 = _
5 · 2 = 10
3
3 · 2
6
d) _2 = _
= _4
2 · 2
5
5 · 2
10
_
a) _4 = _
4 · 2 = 8
_
c) _5 = _
5 · 2 = 10
2
2 · 2
4
1
1 · 2
2
4
5
8
8 : 2
4
d) _ = _ = _
8
8
4
8 : 2
10
8 : 2
4
5
10 : 2
A a) _34 = _ 68 ;
1
3
1
4
6
6
b) _6
c) _
27
d) _
24
C a) _24
2
b) _
3
c) _
1
d) _
3
7 · 12
84
_
f) _
= _
10 = 10 · 12
120
8
8 : 4
2
a) mit 4: _
20 = _
= _5
20 : 4
63
63 : 63
1
= _
h)mit 63: _
126 = _
126 : 63 2
12 ; erweitert mit 4
c) _3 = _
3
7
28
48 48 : 48 _
1
=
g)mit 48: _
96 = _
96 : 48 2
erweitert mit 2
a) _
15
55
4 · 7
7
7 : 7
1
= _3
f) mit 7: _
21 = _
21 : 7
b) _2 = _ 6 ; erweitert mit 3
B
5 · 11
4
d) _
= _ = _
16 16 · 7 112
36 36 : 12 _
3
=
e) mit 12: _
60 = _
60 : 12 5
7
14 : 2
5
27
48
15
15 : 15 _
1
=
d)mit 15: _
60 = _
60 : 15 4
5
10 10 : 2 _
=
e) _ = _
14
3 · 9
8 · 6
50 50 : 10 _
5
= 8
c) mit 10: _
80 = _
80 : 10
2 2 : 2 1
c) _ = _ = _
3
3
8
b) _9 = _
= _
9 · 6 54
8
8 : 8
1
= _3
b)mit 8: _
24 = _
24 : 8
6 6 : 2 3
b) _ = _ = _
6 : 2
20
_
= _
e) _
12 = 12 · 11
132
4 4 : 2 2
a) _ = _ = _
6
5 · 4
_ = _
c) _
11 = 11 · 9
99
= _
e) _6 = _
6 · 2 12
3
5
a) _8 = _
= _
8 · 4
32
Mögliche Lösung:
15
12
2
_
5
5
8
Seite 27, links
4
3
3 · 2
6
_
b) _5 =
_
5 · 3 = 15
5
5 · 4
20
d) _5 = _
= _
5 · 6 30
2
2 · 5
10
_ = _
f) _
10 = 10 · 8
80
_
a) _8 = _
8 · 2 = 16
= _
c) _6 = _
6 · 4 24
_
e) _8 = _
8 · 5 = 40
5
4
1
3
4 · 3
1 · 6
3 · 8
8
8 : 2
4
a) mit 2: _
10 = _
= _5
10 : 2
12 : 3 _
12 _
4
d)mit 3: _
21 = 21 : 3 = 7
2
2 : 2
1
= _
e) mit 2: _
50 = _
50 : 2
25
30 30 : 3 _
10
= 11
f) mit 3: _
33 = _
33 : 3
15 15 : 3 _
5
= 9
g)mit 3: _
27 = _
27 : 3
25 _
25 : 5 _
5
h)mit 5: _
40 = 40 : 5 = 8
38
Mögliche Lösung:
1
10
24
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seite 28
Zu Seite 28, Aufgabe 8, rechts und 11, links
Diese Aufgabe bietet sich für eine spielerische
Übung in einer kooperativen Lernform an.
10 : 5 _
10
2
= 5
c) mit 5: _
25 = _
25 : 5
_
3
4
_
6
9
9 : 3
3
= _5
b)mit 3: _
15 = _
15 : 3
6
12
4
_
12
Zu Seite 28, Aufgabe 10, rechts
In Aufgabe 10, rechts wird das Begründen geübt,
das heißt, die Fähigkeit eigene Grundgedanken zu
entwickeln, zu argumentieren und in einen Zusammenhang zu stellen. Dieser Operator lässt sich dem
Anforderungsbereich III zuordnen.
Dabei wenden die Schülerinnen und Schüler ihr
Wissen aus den vorangegangenen Lerneinheiten
zur Teilbarkeit und zu den Primzahlen an.
((DUA-Ende!!))
1 Teilbarkeit und Brüche Lösungen
8
9
b)mit 5
e) mit 8
c) mit 10
f) mit 8
a) mit 3
d)mit 4
b)mit 10
e) mit 8
c) mit 5
f) mit 3
c)kürzen mit 9:
e)kürzen mit 6:
12 2
_
18 = _3 b)kürzen
18 _
2
_
27 = 3 d) kürzen
30 5
_
54 = _9
mit
mit
8
3
27
9
8
1
24
6
18
3
9
27 _
f) _
72 = 24 ; gekürzt mit 3
2
54
6
= _
; gekürzt mit 4
g) _
60 15
_
h) _
77 = 11 ; gekürzt mit 7
_
i) _
72 = 8 ; gekürzt mit 9
11 a) und b)
10 2
_
15 = _ 3 ; gekürzt mit 5
10 5
_
12 = _ 6 ; gekürzt mit 2
24
8
15
60
12
72
6
12
_
20 = _
10 ; gekürzt mit 2
44
11
_
_
20 = 5 ; gekürzt mit 4
66 11
_
72 = _
12 ; gekürzt mit 6
35 7
_
10 = _2 ; gekürzt mit 5
12 72
_
7 = _
42 ; erweitert mit 6
9
35
28
7
_
a) _
25 = 5
2
_
b) _
42 = 3
42
6
_
c) _
70 = 10
10a) Ja, das stimmt. Der Bruch lässt sich dann auf
alle Fälle mit 2 kürzen.
9
18
Beispiel: _
34 = _
17
b)Ja, das stimmt. Primzahlen lassen sich nur
durch 1 und sich selbst teilen. Aus diesem Grund
gibt es keinen gemeinsamen Teiler > 1, mit dem
gekürzt werden könnte.
11
Beispiel: _
13
4
8
c) Nein, das stimmt nicht. Zähler und Nenner
können trotzdem gemeinsame Teiler haben.
7
14
15
1
Beispiel: _
45 = _3
3
6
14 ; erweitert mit 2
_7 = _
10 ; erweitert mit 2
_5 = _
16 ; erweitert mit 2
_8 = _
12a) An den Nennern sieht man, dass mit 3 erwei12 36
75 .
tert wurde. Richtig ist: _
25 = _
b)An den Zählern sieht man, dass mit 4 erwei15 60
.
tert wurde. Richtig ist: _
16 = _
64
c) An den Nennern sieht man, dass mit 4 erwei9
36
_
tert wurde. Richtig ist: _
11 = 44 .
Seite 28, rechts
7
14 42
_
27 = _
81 ; erweitert mit 3
_
_
7 = 42 ; erweitert mit 6
= _ ; gekürzt mit 4
d) _
36 9
_
e) _
54 = 9 ; gekürzt mit 6
Folgende Brüche gehören zusammen:
16 80
_
9 = _
45 ; erweitert mit 5
_
c) _
32 = 4 ; gekürzt mit 8
14
72
_
_
21 = 84 ; erweitert mit 4
_
b) _
33 = 11 ; gekürzt mit 3
6
12
_
_
45 = 15 ; gekürzt mit 3
16 2
8: _
24 = _3
20 2
10: _
50 = _ 5
_
a) _
25 = 5 ; gekürzt mit 5
24
56
13 39
_
31 = _
93 ; erweitert mit 3
10Lösungswort: AFFENBABY
15
14
_
f) _
5 = 30 ; erweitert mit 6
a) mit 4
d)mit 3
a) kürzen mit 6:
35
_
e) _
22 = 88 ; erweitert mit 4
Seite 28, links
7
7
_
d) _
11 = 55 ; erweitert mit 5
Seite 28
12
60
45
9
15
1
_
a) _
20 = 100 ; erweitert mit 5
_
b) _
55 = 11 ; gekürzt mit 5
((DUA-Ende!!))
LE 8 Brüche vergleichen und ordnen
Differenzierung in LE 8
Differenzierungstabelle
LE 8 Brüche vergleichen und ordnen
Die Schülerinnen und
Schüler können …
Brüche gleichnamig
machen und sie
ordnen,
Gelerntes üben und
festigen.
0
1, 2, 3 li,
3 re, 4 li,
5 li
$
4 re, 5 re,
6 li, 6 re,
7 li, 8 li
.
7 re, 8 re
AH S. 16
_
c) _
75 = 5 ; gekürzt mit 15
39
1 Teilbarkeit und Brüche •Verdoppelt man bei _ 59 den Zähler, erhält man
_
109 . Dieser Bruch ist größer als 1, also ist der
ursprüngliche Bruch _ 59 größer als _ 21 .
Also gehört _49 in die linke Schachtel und _ 59 in
die rechte Schachtel.
6
•Verdoppelt man bei _
106 und _
11 die Zähler, er12
12
_
_
hält man 10 und 11 . Diese Brüche sind größer
6
als 1, also sind die ursprünglichen Brüche _
10
6
1
_
und _
11 größer als 2 . Sie gehören in die rechte
­Schachtel.
Kopiervorlagen
KV 12 Vergleichen von Bruchteilen
Unterschiedliche Brüche können hier handelnd
miteinander verglichen werden. Für leitungsschwächere Schülerinnen und Schüler bietet sich ein
kombinierter Einsatz mit der vorhergehenden KV 11
Kreisteile an.
Arbeitsheft
AH S. 16 Brüche vergleichen und ordnen
((DUA-Ende!!))
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seite 29
Zum Einstieg
In dem Ordnungsspiel der Einstiegsaufgabe wird
deutlich, dass manche Brüche leicht nach der Größe
sortiert werden können, andere aber einer Umformung bedürfen. Der entscheidende Hinweis wird
dabei in der Aufgabe gegeben. Auch hier ist es wieder möglich, dieses Spiel in Gruppen in der Klasse
spielen zu lassen. Die verschiedenen Vorgehensweisen und Lösungsansätze können im Plenum diskutiert werden. Für jeden richtig eingeordneten Bruch
kann die Gruppe einen Punkt erzielen, die Gruppe
mit den meisten Punkten erhält eine Belohnung.
Alternativer Einstieg
Die Aufgabe 5 auf Seite 30 bietet sich ebenfalls als
Einstieg an. Siehe hierzu die Beschreibung im Kommentar.
((DUA-Ende!!))
Lösungen
Seite 29
Kommentare
Seiten 30, 31
Zu Seite 30, Aufgabe 5, links und rechts
Diese Aufgaben bieten sich auch als Einstieg in die
Lerneinheit 8 an. Die Schülerinnen und Schüler werden vor das Problem gestellt, zwei ungleichnamige
Brüche miteinander zu vergleichen.
Die Selbstdifferenziertheit spielt hier eine große
Rolle. Während leistungsschwächere Schülerinnen
und Schüler die Aufgabe handelnd mit Hilfsmaterial (Bruchteile zum Legen) lösen, werden andere
Schülerinnen oder Schüler einen Zahlenstrahl
zeichnen oder bereits die Brüche durch kürzen
und erweitern auf den gleichen Hauptnenner
bringen. Im Vergleich zu Aufgabe 5, links, wird bei
Aufgabe 5, rechts nach dem verspeisten Bruchteil
gefragt. Dies erfordert von den Schülerinnen und
Schülern genaues Lesen der Aufgabenstellung und
Interpretieren ihres Ergebnisses.
Zu Seite 30, Aufgabe 6, links und rechts
Zu dieser Aufgabe gibt es einen Materiallink mit
den Bruchkärtchen zum Ausdrucken.
((DUA-Ende!!))
Seite 29
Lösungen
Seiten 30, 31
Einstieg
ÆÆ _ 23 und _65 sind größer als _ 21 . Joan muss ihre B
­ rüche
in die rechte Schachtel legen.
ÆÆ _ 34 ist größer als _ 21 . Aishe muss _ 34 in die rechte
Schachtel legen. _ 51 ist kleiner als _ 21 und gehört in
die linke Schachtel.
ÆÆ • Verdoppelt man bei _ 49 den Zähler, erhält man
_89 . Dieser Bruch ist kleiner als 1, also ist der ursprüngliche Bruch _ 49 kleiner als _ 21 (denn dieser
ist halb so groß).
4
_
9
40
8
_
9
Seite 30
7
6
2
4
1
a) _8 > _8
2
a) _5 < _ 5
4
5
1
b) _6 < _6
3
3
2
c) _4 < _8
2
b) _6 > _ 6
7
d) _3 < _9
5
3
c) _7 > _7
5 _
5
3
3
1
1
_
10 ; denn _ 2 = _
d) _2 > _
10 ; 10 > 10
2 5
2 4 4 5
e) _3 < _ 6 ; denn _ 3 = _6 ; _ 6 < _6 15
3 3
3 12
3 15 _
12 _
20 und _ 4 = _
f) _5 < _ 4 ; denn _ 5 = _
20 ; 20 < 20 1 Teilbarkeit und Brüche 9
9
50 _
50
81
81 _
_5
_
_
_5 _
c) _
10 > 9 ; denn 10 = 90 und 9 = 90 ; 90 > 90
A a)
56 50
8 10
8 56
10 50 _
7 ; denn _ 5 = _
35 und _
7 = _
35 ; 35 > _
d) _5 > _
35 3
_
4
20 27
4 3
4 20
4 27 _
45 und _ 5 = _
45 ; 45 < _
e) _9 < _ 5 ; denn _ 9 = _
45 5
_
8
12
3 5
_
> _
4
8
6
6 _
6
1 2
1
7
7
_
_2 _
_
3 > _ 7 ; denn _ 3 = _
21 und 7 = 21 ; 21 > 21
_
31 sind
8 Kästchen gefärbt, bei
chen gefärbt; also ist
B a) _85 < _ 87
6
_
38 sind
9 Käst-
5
1 3
4
c) Zwischen _ 2 = _6 und _6 liegt _ 6 .
_31 < _ 38 .
2
4
5
6
3
8
4
7
und _ 8 = _
liegt _
16 .
d)Zwischen _ 8 = _
16
16
2
2 10
4 12
2 4
15 und _ 5 = _
15 ; also _ 3 < _5
_3 = _
Seite 30, links
5 1
1 4 5 4
a) _8 > _2 ; denn _ 2 = _8 ; _ 8 > _8
7 2
2 6 7 6
b) _9 > _3 ; denn _ 3 = _ 9 ; _9 > _9
8 _
8
7
7
_4
_4 _
_
c) _
10 < 5 ; denn 5 = 10 ; 10 < 10
9 _
9
8
3
8
2 3
2
_
12 und _ 4 = _
d) _3 < _4 ; denn _ 3 = _
12 ; 12 < 12
6
6
5
5
1 2
1
2
15 und _ 5 = _
15 ; _
15 < _
e) _3 < _5 ; denn _ 3 = _
15
16
7 2
7 21
2 16 _
21 _
24 und _ 3 = _
f) _8 > _3 ; denn _ 8 = _
24 ; 24 > 24
4
1
1 2 3 4
_
4 < _ 3 < _3 < _4 < _5
5
3 2
3
_
7 < _ 3 ; denn _ 7 =
9
8
10
4
_5 _
_
_1
e) Zwischen _ 9 = _
18 und 9 = 18 liegt 18 = 2 .
3
c) _4 = _8 ; also _ 8 < _4
d) gemeinsamer Nenner: 15
9
9
14 _
14
_2 _
_
_
21 und 3 = 21 ; 21 < 21
Maja hat den größeren Bruchteil übriggelassen.
Seite 30, rechts
6
13 _
13 _
12 _
12
_6 _
a) _
10 > 5 ; denn 5 = 10 ; 10 > 10
35
35 _
48 _
48
7
7
_4
_
_
_3 _
b) _
12 < 5 ; denn 12 = 60 und 5 = 60 ; 60 < 60
3
1 2
2 4
a) Zwischen _ 3 = _6 und _ 3 = _6 liegt _ 6 .
1
1 3
2
b)Zwischen _ 6 und _ 2 = _6 liegt _ 6 .
b) _3 = _6 ; also _ 6 > _3
5
Spiel, individuelle Lösungen
Es entsteht folgende geordnete Reihe:
9
1
1 2 1 3 2 3 4 5
_
10 < _ 3 < _5 < _ 2 < _5 < _ 3 < _4 < _5 < _ 6 < _
10
3
_
8
7
3
9
5
6
1
_
3
3
3
Seite 31, links
c)
3
3
_5 < _ 8 < _4 < _
10
Thea hat den größeren Bruchteil ihrer Pizza
­verspeist.
2 5
_
< _
Bei
5
3
2 1
_
10 < _ 5 < _ 2 <
5
_
6
3
9
12
4
b)
2
_
3
9
_
_
_
f) _
11 > 10 ; denn 11 > 1 und 10 < 1
5 10
12
11
_2 _
_
f) Zwischen _ 9 = _
18 und 3 = 18 liegt 18 .
8
a)V6 = {6; 12; 18; …}
V4 = {4; 8; 12; 16; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 12.
9 _
9
5 10
3
10 _
_5 _3
12 und _ 4 = _
_6 = _
12 ; 12 > 12 ; also 6 > 4
b)V8 = {8; 16; 24; 32; 40; …}
V3 = {3; 6; 9, 12; 15; 18; 21; 24; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 24.
16
5 15
15 _
2 16 _
_5 _2
24 und _ 3 = _
_8 = _
24 ; 24 < 24 ; also 8 < 3
c)V12 = {12; 24; 36; 48; …}
V9 = {9; 18; 27; 36; 45; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 36.
16 _
16
5
15
15 _
5
_
_4 _
_
_4
_
12 = 36 und 9 = 36 ; 36 < 36 ; also 12 < 9
d)V8 = {8; 16; 24; 32; 40; …}
V20 = {20; 40; 60; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 40.
5
25
3
6
25
6
5
3
_ _
_
_
40 ; _
40 > _
_8 = _
40 und 20 =
40 ; also 8 > 20
e)V15 = {15; 30; 45; 60; 75; 90; …}
V25 = {25; 50; 75; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 75.
20
8
20 _
8
4
24 _
24
4
_
_
_
_
_
15 = _
75 und 25 = 75 ; 75 < 75 ; also 15 < 25
f)V16 = {16; 32; 48; 64; …}
V24 = {24; 48; 72; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 48.
5
15
15 _
5
7
14 _
14
7
_
_
_
48 und _
24 = _
16 = _
48 ; 48 > 48 ; also 16 > 24
41
1 Teilbarkeit und Brüche g)V16 = {16; 32; 48; 64; 80; …}
V5 = {5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50;
55; 60; 65; 70; 75; 80; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 80.
16 _
16
15
15 _
3
3
1
_
_1
_
= _
und _ 5 = _
80 ; 80 < 80 ; also 16 < 5
16 80
15
14 _
_
72 ; 72 >
5
14
_
_
72 ; also 24 >
8
20 _
20
8
24
24 _
_
_4 _
_
_4
_
15 = 45 und 9 = 45 ; 45 > 45 ; also 15 > 9
((DUA-Ende!!))
h)V24 = {24; 48; 72; 96; …}
V36 = {36; 72; 108; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 72.
5
15
7
_
72 und _
36 =
24 = _
f)V15 = {15; 30; 45, 60; 75; …}
V9 = {9; 18; 27; 36; 45; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 45.
LE 9 Brüche und Größen
7
_
36
Seite 31, rechts
Differenzierung in LE 9
Differenzierungstabelle
6
Spiel, individuelle Lösungen
7
a) Die gegebenen Brüche müssen auf einen
gemeinsamen Nenner erweitert werden, sodass
sich die Zähler um mindestens 2 unterscheiden.
Mögliche Lösung:
LE 9 Brüche und Größen
6
3
8
7
_
_4 _
_
5 = _
10 und 5 = 10 ; dazwischen liegt 10 .
9
5 10
8
1 4
und _ 8 = _
; dazwischen liegt _
16 .
_2 = _8 = _
16
16
5
15 _
30
32
4 16 _
_
= und _ 9 = _
= ; dazwischen
12 = _
36 72
36 72
31
liegt _ .
Die Schülerinnen und
Schüler können …
Maßzahlen als
Bruchteil angeben,
0
$
1, 2, 3, 4 li, 4 re, 5 re,
5 li, 6 li
6 re, 7 li,
7 re, 8 li,
8 re,
KV 13
KV 13
Anwendungsaufgaben
lösen,
Gelerntes üben und
festigen.
9 li, 10 li
.
KV 13
9 re, 10 re,
11 li
AH S. 17
72
b) Gleiches Vorgehen wie bei a), mögliche
9
19 33 _
39
1 17 _
36 ; 36 ; _
72 ; 72
­Lösung: _
18 = _ 2 ; _
18
18
1
1
zählt nicht, denn _
36 = _ 2 und _2 ist
Der Bruch _
36
schon gefunden.
8
a)V16 = {16; 32; 48; 64; 80; …}
V20 = {20; 40; 60; 80; 100; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 80.
9
9
36 _
36
5
25
25 _
5
_
_
= _
und _
20 = _
_
80 ; 80 < 80 ; also 16 < 20
16 80
b)V12 = {12; 24; 36; 48; 60; …}
V15 = {15; 30; 45, 60; 75; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 60.
5
25
25 _
5
28 _
28
7
7
_
_
_
_
_
_
12 = 60 und 15 = 60 ; 60 < 60 ; also 12 < 15
c)V12 = {12; 24; 36; 48; …}
V18 = {18; 36; 54; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 36.
7
21
11
22 21 _
22
7
11
_
36 und _
18 = _
36 ; _
36 < 36 ; also _
12 < _
12 = _
18 d)V6 = {6; 12; 18; 24; 30; 36; …}
V15 = {15; 30; 45; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 30.
5 25
25 _
11 22 _
22
11
_5 _
30 und _
15 = _
_6 = _
30 ; 30 > 30 ; also 6 > 15 e)V24 = {24; 48; 72; 96, …}
V36 = {36; 72; 108; …}
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 72.
5
15
15 _
5
7
14 _
14
7
_
_
_
72 und _
36 = _
24 = _
72 ; 72 > 72 ; also 24 > 36
42
Kopiervorlagen
KV 13 Bruchteile von Größen
Das Umwandeln von Größen und Einheiten wird
geübt. Außerdem erfolgt eine Wiederholung des
Vergleichens und Ordnens von Brüchen.
Arbeitsheft
AH S. 17 Brüche und Größen
((DUA-Ende!!))
Kommentare
Seiten 32, 33
Zum Einstieg
Die Aufgabe aus dem Bereich Wintersport führt
die Schülerinnen und Schüler über eine realistische Fragestellung an die Thematik Brüche und
Größen heran. Auch hier kann die Klasse wieder
in leistungshomogene Gruppen unterteilt werden.
Leistungsschwächere Schüler befassen sich mit der
Zeit und Wegstrecke nach der Hälfte. Leistungsstarke Gruppen können sich an die Berechnung von _ 34
und _ 23 machen.
In beiden Fällen kann der Hinweis auf eine Skizze
hilfreich sein.
Methodisch kann der Einstieg mittels der Ich-DuWir-Methode umgesetzt werden.
Hierbei beschäftigt sich jeder Schüler erst in Einzelarbeit mit der Thematik, dann tauscht er sich mit
seinem Partner aus und abschließend werden alle
1 Teilbarkeit und Brüche Ergebnisse im Plenum vorgestellt. Von Vorteil ist
hierbei, dass alle Schüler aktiviert werden und gerade schwächere Schülerinnen und Schüler von dem
Austausch der Lösungsansätze mit einem Partner
oder einer Partnerin profitieren.
Besonders die letzte Teilaufgabe, bei der die Ergebnisse mit der Wirklichkeit zu vergleichen sind, fördert die prozessbezogene Kompetenz „Modellieren“.
Es sollen nämlich Überlegungen formuliert werden,
warum das gewählte mathematische Modell die
Realsituation nur ungenügend beschreibt.
Seite 33
Zu Seite 33, Aufgabe 7, links und rechts
Besonders leistungsschwächere Schülerinnen und
Schüler sollten nochmals auf die verschiedenen
Einheiten und deren Umrechnungen hingewiesen
werden. Die Randspalte gibt hierzu Tipps.
3
2
Seiten 32, 33
Seite 32
b)100 € : 4 = 25 m
c) 80 cm : 8 = 10 cm
10 cm · 7 = 70 cm
7
_
8 von 80 cm sind 70 cm.
d)27 kg : 3 = 9 kg
9 kg · 2 = 18 kg
2
_
3 von 27 kg sind 18 kg.
5
2
a) _8
1
_
b) _
10 = 5
5
1
_
c) _
20 = 4
15
3
8
1
_
d) _
20 = 4
A a) 12 m : 4 = 3 m
b)40 m : 8 = 5 m
c) 12 cm : 4 = 3 cm
d) 60 € : 5 = 12 €
B
4
ÆÆ Endzeit umwandeln: 2 min 30 s = 150 s
Thea berechnet _ 41 von 150 s:
150 s : 4 = 37,5 s
ÆÆ Das blaue Team berechnet _ 21 von 150 s:
150 s : 2 = 75 s
Das rote Team berechnet _ 34 von 150 s:
150 s : 4 = 37,5 s; 37,5 s · 3 = 112,5 s
Das gelbe Team berechnet _ 23 von 150 s:
150 s : 3 = 50 s; 50 s · 2 = 100 s
ÆÆ Die Ski-Abfahrtsstrecke ist nicht überall gleichmäßig steil und besteht aus vielen verschiedenen Streckenabschnitten.
Aus diesem Grund fahren die Skifahrer während
ihrer Abfahrt unterschiedlich schnell, weshalb
die Zwischenzeiten nicht einfach durch Dividieren der Endzeit berechnet werden können.
a) 12 m : 4 = 3 m _41 von 12 m sind 3 m.
3 m · 3 = 9 m _34 von
b)12 m : 3 = 4 m _31 von
4 m · 2 = 8 m _23 von
c) 10 dm : 5 = 2 dm _51 von
2 dm · 2 = 4 dm _25 von
d)40 € : 8 = 5 € _81 von
5 € · 3 = 15 € _38 von
25 € · 3 = 75 m
5
3
a) _
12
b) _
20
3 cm · 3 = 9 cm
12 € · 2 = 24 €
9
1
_
c) _
27 = 3
_
d) _
24 = 3
Seite 33, links
Einstieg
1
2 m · 2 = 4 m
2
_
5 von 10 m sind 4 m.
3
_4 von 100 € sind 75 €.
((DUA-Ende!!))
Lösungen
a) 10 m : 5 = 2 m
12 m sind 9 m.
b)120 kg : 5 = 24 kg
24 kg · 2 = 48 kg
c) 72 m : 4 = 18 m
18 m · 3 = 54 m
3
_
4 von 72 m sind 54 m.
d)24 h : 6 = 4 h
4 h · 5 = 20 h
5
_
6 von 24 h sind 20 h.
e) 30 mm : 10 = 3 mm
3 mm · 7 = 21 mm
7
_
10 von 30 mm sind 21 mm.
f) 35 € : 5 = 7 €
7 € · 3 = 21 €
3
_
5 von 35 € sind 21 €.
5
Die Fläche von Baden-Württemberg macht
etwa _
101 der Fläche Deutschlands aus.
6
_
a) _
12 = 2
6
1
_
b) _
20 = 5
12
2
d) _
= _
36 4
_
c) _
30 = 5
7
10 dm sind 2 dm.
a) 1 km = 1000 m
1000 m : 10 = 100 m
10 dm sind 4 dm.
1
_
10 von 1 km sind 100 m.
40 € sind 5 €.
b) 1 kg = 1000 g
1000 g : 5 = 200 kg
40 € sind 15 €.
5 m · 3 = 15 m
3
_
8 von 40 m sind 15 m.
2
_5 von 120 kg sind 48 kg.
12 m sind 4 m.
12 m sind 8 m.
a) 40 m : 8 = 5 m
8
2
9
1
1
_
5 von 1 kg sind 200 g.
c) 1 m2 = 100 dm2
100 dm2 : 10 = 10 dm2
10 dm2 · 3 = 30 dm2
3
_
10 von 1 m2 sind 30 dm2.
43
1 Teilbarkeit und Brüche d) 5 kg = 5000 g
5000 g : 4 = 1250 g
e) 6 h = 360 min
360 min : 4 = 90 min
90 min · 3 = 270 min = 4 h 30 min
3
_
4 von 6 h sind 4 h 30 min.
1250 g · 3 = 3750 g
3
_
4 von 5 kg sind 3750 g.
e) 2 h = 120 min
120 min : 4 = 30 min
f) 2 € = 200 ct
200 ct : 8 = 25 ct
1
_
4 von 2 h sind 30 min.
f) 2 € = 200 ct
200 ct : 5 = 40 ct
((DUA-Ende!!))
1
_
5 von 2 € sind 40 ct.
Kommentare
Seite 33, rechts
4
a) 96 m : 8 = 12 m
12 m · 5 = 60 m
55 m · 5 = 275 dm
5
_
6 von 33 m sind 275 dm.
c) 30 € = 3000 ct
3000 ct : 12 = 250 ct
250 ct · 7 = 1750 ct = 17,50 €
((DUA-Ende!!))
7
_
12 von 30 € sind 17,50 €.
Lösungen
d) 7 h = 420 min
420 min : 4 = 105 min
105 min · 3 = 315 min = 5 h 15 min
8
2 cm · 3 = 6 cm
3
_
7 von 14 cm sind 6 cm.
f) 3 dm = 300 mm
300 mm : 20 = 15 mm
1
_
20 von 3 dm sind 15 mm.
1
28
1
11
1
24
2
6
_
_ _
_ _
_ _
a) _
225 = 9 b) 420 = 15 c) 132 = 12 d) 36 = 3
7
a) 1 km = 1000 m
1000 m : 8 = 125 m
1
_
8 von 1 km sind 125 m.
b) 4 kg = 4000 g
4000 g : 5 = 800 g
800 g · 3 = 2400 g
3
_
5 von 4 kg sind 2400 g.
c) 12 m2 = 1200 dm2
1200 dm2 : 8 = 150 dm2 150 dm2 · 5 = 750 dm2
5
_
8 von 12 m2 sind 750 dm2.
d) 10 t = 10 000 kg
10 000 kg : 100 = 100 kg
1
von 10 t sind 100 kg.
_
100
44
a)
b)
5
_
8
40 kg
25 kg
:8
· 5
3
_
5
30 m
18 m
:5
· 3
5 kg
Die Wüstenfläche Australiens macht etwa _ 51 der
Gesamtfläche aus.
25
Seite 34
Seite 34, links
3
_
4 von 7 h sind 5 h 15 min.
e) 14 cm : 7 = 2 cm
Seite 34
Zu Seite 34, Aufgabe 9, links
Die Aufgabe kann in einer kooperativen Lernform
bearbeitet werden. Hierbei ist es sinnvoll, homogene Gruppen zu bilden und unterschiedliches
Hilfsmaterial zur Verfügung zu stellen. Differenziert
kann so handelnd – enaktiv, zeichnerisch – ikonisch
oder rechnerisch – symbolisch vorgegangen werden. Die verschiedenen Lösungen und vor allem Rechenwege sollten in der Klasse am Ende präsentiert
werden.
5
_
8 von 96 m sind 60 m.
b) 33 m = 330 dm
330 dm : 6 = 55 dm
5
25 ct · 3 = 75 ct
3
_8 von 2 € sind 75 ct.
6 m
c)
d) 12 cm = 120 mm
3
_
1
10
5 m
1,5 m
: 10
· 3
120 mm
:5
0,5 m
2
f) 2 h = 120 min
150 min 120 min
· 1
:8
6 m2
· 3
2 m2
90 min
· 3
30 min
150 min = 2 h 30 min
g)
8
_4
:4
150 min
3
_
· 1
3
1
_
:2
16 m2
24 mm
24 mm
e) 5 h = 300 min
300 min
_5
90 min = 1 h 30 min
h) 3 m² = 300 dm²
300 dm2
1
_
5
:5
60 dm2
· 1
60 dm2
1 Teilbarkeit und Brüche 9
Seite 34, rechts
Zeichnung:
3
_
5 von
8
4 kg
a)
3
_
4
80 km
:4
3
_
4 von
4
_
5 von
80 km
· 3
5 kg
60 km
3
_4
b) 9 m = 90 dm
7
_
10
90 dm
3 kg
: 10
630 dm
63 dm
: 10
· 7
· 7
9 dm
8 h
· 2
63 dm
7
_
10
9 dm
Zu
5 kg gehört die größte Fläche.
Die beste Wahl ist also _ 34 von 5 kg.
Rechnung:
c)
2
_
3
12 h
• _35 von 4 kg:
:3
4000 g : 5 = 800 g; 800 g · 3 = 2400 g
24 h
:3
12 h
· 2
4 kg sind 2400 g.
8 h
2
_3
4 h
d)
5 kg:
4
_
9
27 dm
5000 g : 4 = 1250 g; 1250 g · 3 = 3750 g
12 dm
:9
_34 von 5 kg sind 3750 g.
108 dm
:9
· 4
27 dm
· 4
12 dm
4
_
3 dm
• _45 von 3 kg:
9
e)
3000 g : 5 = 600 g; 600 g · 4 = 2400 g
_
45 von
:4
· 3
20 km
_
34 von
_
35 von
• _34 von
240 km
60 km
5
_
6
240 min
3 kg sind 2400 g.
200 min
:6
10Das abgebrochene Stück ist etwa _ 41 des Schoko-
1200 min
:6
· 5
240 min
· 5
200 min
5
_
40 min
6
riegels und ca. 15 g schwer.
f) 25 m² = 250 000 cm²
11 a)
250 000 cm2
1
_
2
1
_
4
b) _41 -Tankfüllung: 8
:8
3
_
4
93 750 cm2
· 3
31 250 cm2
75 000 cm2
1
4500 ø : 4 = 1125 ø
1125 ø · 2 = 2250 ø
_21 -Tankfüllung: 3
_
1125 ø · 3 = 3375 ø
4 -Tankfüllung: 1
_
4 -Tankfüllung entspricht 1125 ø; _ 21 Tankfüllung
entspricht 2250 ø und _ 34 Tankfüllung 3375 ø.
c) Der rote Bereich beginnt ungefähr bei _ 81 der
Tankfüllung.
1
_8 von 4500 ø:
4500 ø : 8 = 562,5 ø ≈ 560 ø
4500 ø – 560 ø = 3940 ø
Es wurden dann bereits 3940 ø Öl verbraucht.
:8
· 3
25 000 cm2
9
0
3
_
3
_8
93 750 cm2
Erster Lösungsweg:
Sparbetrag von Inga:
380 € : 4 = 95 €; 95 € · 3 = 285 €
Inga hat schon 285 € gespart. Es fehlen noch
380 € – 285 € = 95 €.
Sparbetrag von Jan:
360 € : 5 = 72 €; 72 € · 4 = 288 €
Jan hat schon 288 € gespart. Es fehlen noch
360 € – 288 € = 72 €.
Inga muss einen größeren Betrag ansparen.
Zweiter Lösungsweg:
Man überlegt, welcher Anteil bis zum Ganzen
fehlt.
Inga fehlt noch _ 41 von 380 € = 95 €.
Jan fehlt noch _51 von 360 € = 72 €.
45
1 Teilbarkeit und Brüche 10a) Sorte Å : 1:
Auf 3 kg Frucht kommen 3 kg
Zucker.
Sorte 2 : 1: Auf 3 kg Frucht kommen 1,5 kg
Zucker.
Sorte 3 : 1: Auf 3 kg Frucht kommt 1 kg Zucker.
b) 4 _21 kg = 4500 g; 4500 g : 3 = 1500 g = 1 _21 kg
Maja benötigt 1 _21 kg Zucker.
Kopiervorlagen
KV 14 Was kann ich? 1 Teilbarkeit und Brüche
KV 15 Was kann ich? 2 Teilbarkeit und Brüche
KV 16 Was kann ich? 3 Teilbarkeit und Brüche
KV 17 Bergsteiger: Teilbarkeit und Brüche
(s. S. 5)
Arbeitsheft
AH S. 18 Training (1)
AH S. 19 Training (2)
((DUA-Ende!!))
Basistraining und Anwenden. Nachdenken
((DUA-Ende!!))
Lösungen
Differenzierung im Basistraining und
­Anwenden. Nachdenken
Seiten 36, 37
Seite 36
Differenzierungstabelle
1
Basistraining und Anwenden. Nachdenken
Die Schülerinnen und
Schüler können …
0
$
Teiler und Vielfache
bestimmen,
2, 3 a, 4,
5, 6
22, 23
die Endziffern- und
Quersummenregeln
anwenden,
1
24, 25
Primzahlen be­
stimmen,
3 b
26
Bruchteile erkennen
7, 8
und in der Bruch­
schreibweise angeben,
27
Brüche am Zahlen­
strahl darstellen,
9, 10, 11,
12
Brüche erweitern und
kürzen,
13, 14, 16
15
Brüche vergleichen
und ordnen,
17
29
Maßzahlen als Bruch­
teil angeben,
18, 19
KV 14
Gelerntes üben und
festigen.
46
.
28
2
30, 31
20, 21, 32,
33
34, 35
KV 15
KV 16
KV 17
AH S. 18, S. 19
3
teilbar
durch
2
5
10
3
9
48
3
7
7
3
7
52
3
7
7
7
7
60
3
3
3
3
7
90
3
3
3
3
3
102
3
7
7
3
7
240
3
3
3
3
7
241
7
7
7
7
7
351
7
7
7
3
3
400
3
3
3
7
7
450
3
3
3
3
3
549
7
7
7
3
3
802
3
7
7
7
7
803
7
7
7
7
7
900
3
3
3
3
3
Vielfaches
von
5
6
8
9
45
3
7
7
3
48
7
3
3
7
60
3
3
7
7
75
3
7
7
7
90
3
3
7
3
120
3
3
3
7
200
3
7
3
7
300
3
3
7
7
360
3
3
3
3
a)T11 = {1; 11}
T15 = {1; 3; 5; 15}
T20 = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
T24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
T29 = {1; 29}
1 Teilbarkeit und Brüche 12 a) _32 = 1 _21
T37 = {1; 37}
T40 = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}
T50 = {1; 2; 5; 10; 25; 50}
b)Die Zahlen 11; 29 und 37 sind Primzahlen.
Man erkennt sie daran, dass sie nur die 1 und
sich selbst als Teiler haben.
4
5
6
1 · 2 _
2
13 a) _41 = _
= 8
4 · 2
12
15
18
5
2
4
10
6
15
3
3 · 2
6
1
1 · 3
3
2 · 4
8
4
4 · 3
12
1
1 · 4
4
5
5 · 3
15
1
1 · 5
5
5
5 · 10
50
4
4 : 4
1
2
2 : 2
1
6
6 : 2
3
8
8 : 4
2
12
12 : 6
2
4 : 2 _
2
14 a) _48 = _
8 : 2 = 4
3
3 : 3
_
_ _ _
b) _8 = _
8 : 4 = 2 c) 4 = 4 : 2 = 2
1
_
_ _ = _
= _ e) _8 = _
3
d) _6 = _
8 : 2 = 4 f) 12 = 12 : 4
6 : 3 2
9
9 : 3
3
12 : 3
12
8
9
1
15Für Brüche ohne vorgegebenen Nenner oder
Zähler gibt es viele Möglichkeiten.
a)
b)
1
2
2
4
4
8
21
24
20
3
4
3
6
1
4
b) _4 = _2
2
c) _6 = _3
30
54
85
153
4
2
1
1 1
1
a) _2 ; _ 4 ; _
16
b)Man findet den nächsten Bruchteil, indem
man den Nenner mit sich selbst multipliziert:
1
16 · 16 = 256; also _
256
1
B: _
10
5
1
C: _
10 = _2
1
2 1
B: _ 6 = _ 3
4 2
C: _ 6 = _3
1
B: _ 8 = _ 2
a) A: _
10
b) A: _ 6
c) A: _ 8
3
4
1
4
1
_
= _ 20
5
8
1
b)kürzen mit 8: _
16 = _ 2 12
1
d)kürzen mit 12: _
36 = _ 3 8
_2
e) kürzen mit 4: _
20 = 5
8
4
D: _
10 = _5
25 1
f) kürzen mit 25: _
75 = _ 3 10
1
g)kürzen mit 10: _
90 = _ 9 12 2
h)kürzen mit 6: _
30 = _ 5
7
C: _ 8
1
_
4
2
_
5
1
_
2
3
_
5
7 _
3
__
10 4
5
5
1
2 _
2
_1 _
_
c) _6 < _
12 ; denn 6 = 12 ; 12 < 12
6
6
3
3
7
7
10 ; denn _ 5 = _
10 ; _
10 < _
d) _5 < _
10
1
1
_
4
1
_
3
5
__
12
7
__
12
2
_
3
5
_
6
1
b) _6 > _ 6
9
__
10
0
0
36
28
45
35
17a) _41 < _34
1
__
10
1
__
12
18
14
27
21
60
108
10
18
16a) kürzen mit 4:
5
11
9
7
12
1
c) kürzen mit 12: _
24 = _ 2 Seite 37
10
d)
5
9
d) _8 = _4 = _2
9
12
24
32
6
8
12
16
5
10
25
8 10 12 14 16 18 20 22 24
2
a) _4
4
_ = _
_ _
_ _ _
4 h) _
g) _
15 = 15 : 3 = 5 i) 18 = 18 : 6 = 3
12 = 12 : 3
b)6; 12; 18 und 24 sind Vielfache von 2 und
von 3.
7
1
_
_ _ = _
b) _4 = _
6
4 · 2 = 8 c) 2 = 2 · 3
c)
0
7
d) _2 = 3 _2
2
a)
9
1
c) _4 = 1 _4
= _
24 h) _6 = _
= _
i) _6 = _
= _
g) _8 = _
8 · 3
6 · 5 30
6 · 10 60
Die korrigierte Zahl ist fett markiert.
a)V8 = {8; 16; 24; 32; 40; …}
b)V12 = {12; 24; 36; 48; 60; …}
c)V15 = {15; 30; 45; 60; 75; …}
6
5
1
_
_ _ _
_ _ = _
32
d) _5 = _
5 · 4 = 20 e) 5 = 5 · 3 = 15 f) 8 = 8 · 4
a)V9 = {9; 18; 27; 36; 45; …}
b)V12 = {12; 24; 36; 48; 60; …}
c)V15 = {15; 30; 45; 60; 75; …}
c)V20 = {20; 40; 60; 80; 100; …}
e)V21 = {21; 42; 63; 84; 105; …}
3
5
b) _2 = 2 _2
11
__
12
9
3 5
3
10
_5 _
e) _4 < _6 ; denn _ 4 = _
12 und 6 = 12 ;
9
10
_
12 < _
12 3 15
4 3
4 16
20 und _ 4 = _
f) _5 > _ 4 ; denn _ 5 = _
20 ;
16
15
_
20 > _
20 18a) 8 m : 2 = 4 m
1
_
21 von
8 m sind 4 m.
47
1 Teilbarkeit und Brüche b)12 m : 4 m = 3 m
_41 von 12 m sind 3 m.
Lösungen
c)12 m : 4 = 3 m 3 m · 3 = 9 m
12 m sind 9 m.
Seite 38
d)16 m : 8 = 2 m
22a)T3 = {1;
_
34 von
_
81 von
16 m sind 2 m.
e) 24 kg : 8 = 3 kg 3 kg · 3 = 9 kg
_
38 von
24 kg sind 9 kg.
f)32 kg : 8 = 4 kg 4 kg · 5 = 20 kg
_
85 von
32 kg sind 20 kg.
19 a) _48 = _21
50
2
4
1
_
f) _
15 = 5
12
2
_
g) _
24 = 8
_
h) _
18 = 3
3
6
_
c) _
48 = 3
_
e) _
12 = 3
9
1
1
1
_
d) _
250 = 5
16
3
_
b) _
12 = 4
20a) 1 m = 10 dm
10 dm : 10 = 1 dm
_
101 von
1 m sind 1 dm.
b) 2 m = 20 dm
20 dm : 10 = 2 dm
_
101 von
2 m sind 2 dm.
c) 1 kg = 1000 g
1000 g : 10 = 100 g; 100 g · 7 = 700 g
_
107 von
1 kg sind 700 g.
d) 3 kg = 3000 g
3000 g : 4 = 750 g
_
41 von
3 kg sind 750 g.
e) 1 h = 60 min
60 min : 4 = 15 min
_
41 von
1 h sind 15 min.
f) 2 h = 120 min
120 min : 6 = 20 min
_
61 von
2 h sind 20 min.
21a) Kakao:
100 g : 10 = 10 g; 10 g · 3 = 30 g
Milch: 100 g : 5 = 20 g
Zucker: 100 g : 2 = 50 g
In 100 g Milchschokolade sind 30 g Kakao,
20 g Milch und 50 g Zucker enthalten.
b)Zucker: 1000 g : 5 = 200 g
Haselnüsse: 1000 g : 10 = 100 g
Haferflocken: 1000 g : 8 = 125 g;
125 g · 3 = 375 g
In 1000 g Müslischnitten sind 200 g Zucker, 100 g
Haselnüsse und 375 g Haferflocken enthalten.
((DUA-Ende!!))
48
Seiten 38, 39
3}
T9 = {1; 3; 9}
T27 = {1; 3; 9; 27}
Die Teilermenge der Zahl 3 ist in den Teilermengen der Zahl 9 und 27 enthalten. Das liegt daran, dass die Zahl 3 ein Teiler der Zahlen 9 und
27 ist.
Die Teilermenge der Zahl 9 ist in der Teilermenge der Zahl 27 enthalten.
Das liegt daran, dass die Zahl 9 ein Teiler der
Zahl 27 ist.
b)T81 = {1; 3; 9; 27; 81}
T243 = {1; 3; 9, 27; 81; 243}
23a)T120 = { 1;
2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20;
24; 30; 40; 60; 120}
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5
24a) 210 ist teilbar durch
•2, da Endziffer 0
•3, da Quersumme 3
•5, da Endziffer 0
•6, da teilbar durch 2 und 3
•10, da Endziffer 0.
T210 = { 1; 2; 3; 5; 6; 7; 10; 14; 15; 21; 30; 35;
42; 70; 105; 210}
b) 210 = 2 · 3 · 5 · 7
25a) Laura hat recht.
Mögliche Begründung: Die Zahl 4 ist ein Viel­
faches von 2. Wenn eine Zahl den Teiler 4 hat,
hat sie auch den Teiler 2.
Claudio hat auch recht.
Mögliche Begründung: Die Zahl 4 ist ein Vielfaches von 2. Wenn 2 bereits kein Teiler der Zahl
ist, ist 4 auch kein Teiler dieser Zahl.
b)Ist eine Zahl durch 9 teilbar, dann ist sie auch
durch 3 teilbar.
Ist eine Zahl nicht durch 3 teilbar, dann ist sie
auch nicht durch 9 teilbar.
c) Ist eine Zahl durch 6 teilbar, dann ist sie auch
durch 2 teilbar.
Ist eine Zahl nicht durch 2 teilbar, dann ist sie
auch nicht durch 6 teilbar.
26a)
blauer Punkt: Vielfache von 2 (ohne 2)
roter Punkt: Vielfache von 3 (ohne 3)
gelber Punkt: Vielfache von 5 (ohne 5)
grüner Punkt: Vielfache von 7 (ohne 7)
1 Teilbarkeit und Brüche 27 a) _38
b)
0
1
x
x
10
11
2
3
4
5
6
7
8
21
1
12
13
14
15
16
17
18
22
24
25
26
27
28
19
31
32
33
34
1
35
36
37
38
43
44
51
52
45
46
47
48
54
2
3
1
3
2
4
5
1
1
2 1
Für _ 4 und _2 erhält man _ 6 = _3 .
Es fällt auf, dass der neue Bruch immer zwischen den beiden gewählten Brüchen liegt.
d)Individuelle Lösung
49
53
1
1
1
2 1
Für _5 und _3 erhält man _ 8 = _4 .
50
1
1
1
2
1
10 = _5 .
Für _ 6 und _4 erhält man _
39
42
1
b) _6 < _ 5 < _4 < _3 < _5 < _ 2 < _5 < _ 3 < _4 < _5 < _ 6
29
41
f) _8
c) Individuelle Lösungen
Beispiele:
40
3
e) _4
28a) Siehe Abb. 1 unten
30
1
c) _4
In a) bis d) hilft es, das Quadrat weiter zu zerlegen. In e) und f) ist es günstig, zuerst die ungefärbten Bruchteile zu bestimmen.
23
1
1
d) _2
20
9
2
b) _8 = _4
55
56
57
58
59
1 1
1
Beispiel für die Brüche _ 6 ; _ 5 und _4 :
1 + 1 + 1 = 3; 6 + 5 + 4 = 15;
60
61
62
63
64
65
70
66
67
68
3
1
neuer Bruch: _
15 = _5 .
Entsprechend erhält man
69
71
72
73
74
75
76
77
78
79
81
82
83
84
85
86
87
88
89
91
92
93
94
95
96
97
98
99
3
1 1
1
3
1
1
Es fällt auf, dass man bei drei aufeinander
­folgenden Brüchen immer den mittleren Bruch
erhält.
90
1
•bei _ 4 ; _ 3 und _2 den Bruch _ 9 = _3 .
80
1 1
12 = _4 ;
•bei _ 5 ; _ 4 und _3 den Bruch _
Seite 39
7
_5 _7
29a) _
12 < 8 < 8 ;
5 _
15
7
14 _
21
_7 _
denn _
12 = _
24 ; 8 = 24 und 8 = 24
8
10
12
_2 _4
_2 _
_4 _
b) _
15 < 3 < 5 ; denn 3 = 15 und 5 = 15
100
9
3 5 11
10
_3 _
_5 _
c) _4 < _6 < _
12 ; denn 4 = 12 und 6 = 12
5 50
3 4 5
3 45 _
4 48
; = _
und _ 6 = _
d) _4 < _5 < _ 6 ; denn _ 4 = _
60 5 60
60
Es werden die Punkte nach den in a) aufgestellten Regeln verteilt. Es ist das gleiche Prinzip wie
beim Sieb des Eratosthenes.
c) Die Primzahlen bekommen keinen farbigen
Punkt: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31;
37; 41; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83;
89; 97.
10 _
14
30a) _
15 < 18 ;
10 2 6
14 7 6 7
denn _
15 = _3 = _9 und _
18 = _9 ; _ 9 < _ 9
6
6 _
35
35 _
18 _
18 _
7 _
7
_
_
b) _
24 < 40 ; denn 24 = 8 und 40 = 8 ; 8 < 8
Abb. 1
0
1
_
6
1
_
5
1
_
4
1
_
3
2
_
5
1
_
2
3
_
5
2
_
3
3
_
4
4
_
5
5
_
6
1
49
1 Teilbarkeit und Brüche 16
45
45 _
15
40 _
40 _
4 _
_
_
c) _
50 > 60 ; denn 50 = 5 = 20 und 60 = 20 ;
33Gesamtgewicht:
44 kg + 12 kg = 56 kg = 56 000 g
Gewicht Vorderrad: _
165 von 56 000 g
16
15
_
> _
20
20
20
42 _
_
d) 60 < 24 ;
25
21 _
_
30 < 30
20 5 25
42 21
denn _
60 = _
30 und _
24 = _6 = _
30 ;
31a)
11
von 56 000 g
Gewicht Hinterrad: _
16
56 000 g : 16 = 3500 g
3500 g · 5 = 17 500 g = 17,5 kg;
3500 g · 11 = 38 500 g = 38,5 kg
Auf dem Hinterrad lasten 38,5 kg und auf dem
Vorderrad 17,5 kg.
7
_
2
18 · 4 = 72 Kästchen, sodass ein Kästchen einem
Schüler bzw. einer Schülerin entspricht. Man
färbt also 24 Kästchen blau, 14 Kästchen rot,
12 Kästchen grün, 8 Kästchen lila, 6 Kästchen
grau, 4 Kästchen orange und 4 Kästchen
schwarz. Zwei halbe Kästchen ergeben ein
ganzes Kästchen.
3
_
5
_8_
15
_5
6
_7_
10
34Das Rechteck besteht aus insgesamt
10
__
5
Blau
Rot
Grün
b)Es gibt einen Weg in Pfeilrichtung, der beim
kleinsten Bruch anfängt, alle Brüche der Größe
nach durchläuft und beim größten Bruch endet.
Es gibt also keinen Weg, der zum Ausgangspunkt zurückführt, da man mit dem kleinsten
Bruch angefangen hat.
8
3
7
5
10
c) Anzahl der Pfeile:
8
7
_3
_
von _
15 aus: 5; von 5 aus: 4; von 10 aus: 3;
5
10
aus: 1
von _ aus: 2; von _
5
Summe: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
Man kann insgesamt 15 Pfeile einzeichnen.
32a) 6 kg = 6000 g;
_
41 davon
ist übrig:
6000 g : 4 = 1500 g = 1,5 kg
1,5 kg Kartoffeln sind übrig.
3 _21 kg
_
21 davon
b)
= 3500 g;
ist übrig:
3500 g : 2 = 1750 g
1750 g Äpfel sind übrig.
c) 30 € = 3000 ct, _34 davon ist übrig:
3000 ct : 4 = 750 ct; 750 ct · 3 = 2250 ct = 22,50 €
22,50 € sind übrig.
d) 1 _21 t = 1500 kg; _ 34 davon ist übrig:
1500 kg : 4 = 375 kg; 375 kg · 3 = 1125 kg
1125 kg Kirschen sind übrig.
e) 2 h = 120 min; _ 23 davon ist übrig:
120 min : 3 = 40 min; 40 min · 2 = 80 min
80 Minuten sind übrig.
Schwarz
35Gesamtgewicht der Backzutaten:
200 g + 3 · 100 g + 2 · 50 g = 600 g
Anteile der Zutaten:
200 2
4
Haferflocken: _
600 = _6 = _
12
100
1
2
Haselnüsse: _
600 = _6 = _
12
50
1
Sonnenblumenkerne: _
600 = _
12
50
1
= _
Butter: _
600 12
100
1
2
Zucker: _
600 = _6 = _
12
100
1
2
Honig: _
600 = _6 = _
12
Es bietet sich an, für das Streifendiagramm eine
Gesamtlänge von 12 cm zu wählen.
Haferflocken
Sonnenblumenkerne
Zucker
Honig
Haselnüsse
((DUA-Ende!!))
50
Grau
Orange
7
_ _ _
Anordnung der Brüche: _
15 < _5 < _
10 < 6 < 5 < 2
6
Lila
Butter
KV 1
Teilbarkeit und Brüche
Endziffernregeln
Forscherauftrag
Regel
1
Teilbarkeit durch 2
a) Unterstreicht alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind:
56
203 654
248 57 342
5890
Eine Zahl ist nur dann durch
teilbar, wenn sie die Endziffer
oder
b) Findet Ziffern für die Leerstellen, damit die Zahl durch 2
teilbar ist:
73
4
6 0
hat.
Versucht nun rechts eine Regel zu formulieren.
2
Teilbarkeit durch 5
a) Unterstreicht alle Zahlen, die durch 5 teilbar sind:
200 605
24 50 342
5895
b) Findet Ziffern für die Leerstellen, damit die Zahl durch 5
teilbar ist:
4
6 0
73
Eine Zahl ist nur dann durch
teilbar, wenn die
eine
oder
Ziffer
ist.
Versucht nun rechts eine Regel zu formulieren.
3
Teilbarkeit durch 10
a) Unterstreicht alle Zahlen, die durch 10 teilbar sind:
203 605
200 350 342
5890
b) Findet Ziffern für die Leerstellen, damit die Zahl durch 10
teilbar ist:
73
4
6 0
Eine Zahl ist nur dann durch
teilbar, wenn sie die Endziffer
hat.
Versucht nun rechts eine Regel zu formulieren.
4
Spezialauftrag: Teilbarkeit durch 4
a) Unterstreicht alle Zahlen, die durch 4 teilbar sind:
44
212 160
200 353 314
5890
Tipp: Achtet auf die letzten beiden Ziffern.
b) Findet Ziffern für die Leerstellen, damit die Zahl durch 4
teilbar ist:
73
4
6 0
Eine Zahl ist nur dann durch
teilbar, wenn die
Ziffern eine durch
teilbare Zahl
bilden.
Versucht nun rechts eine Regel zu formulieren.
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Autor: Sarah Bahnmüller
Einzelarbeit | 45 Minuten
1
1
KV 2
Teilbarkeit und Brüche
Quersummenregel
Forscherauftrag
1
Teilbarkeit durch 3
a) Kreuzt alle Zahlen an, die durch 3 teilbar sind.
b) Bildet die Quersumme der Zahlen.
(Tipp: Die Quersumme von 123 ist 1 + 2 + 3 = 6.)
Zahl
Teilbar durch 3 ?
15
24
26
53
54
231
232
870
Regel
Eine Zahl ist nur dann durch
teilbar, wenn ihre
Quersumme
.
c) Findet Ziffern für die Leerstellen, damit die Zahl durch 3
teilbar ist. 73
4
6 0
Versucht nun rechts eine Regel zu formulieren.
2
Teilbarkeit durch 9
a) Kreuzt alle Zahlen an, die durch 9 teilbar sind.
b) Bildet die Quersumme der Zahlen.
Zahl
Teilbar durch 9 ?
27
29
45
48
54
783
784
945
Eine Zahl ist nur dann durch
teilbar, wenn ihre
Quersumme
.
c) Findet Ziffern für die Leerstellen, damit die Zahl durch 9
teilbar ist. 73
4
6 0
Versucht nun rechts eine Regel zu formulieren.
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Autor: Sarah Bahnmüller
Einzelarbeit | 45 Minuten
1
KV 3
Teilbarkeit und Brüche
ABC-Mathespiel: Teilbarkeitsregeln
Name des Spielers:
Spielanleitung:
1. Ein Schüler zählt das Alphabet durch, ein anderer ruft „stopp“. Für die einfache Spielvariante
buchstabiert ihr von A bis M, für die schwierige Spielvariante von N bis Z.
2. Schreibe die Zahl zum passenden Buchstaben in das Anfangsfeld hinein.
3. Fülle die Zeile aus und rufe „fertig“. Danach darf jeder Spieler noch sein Feld fertig ausfüllen.
4. Kontrolliere und zähle für eine richtige Antwort einen Punkt.
… teilbar
durch 2?
Anfangszahl:
Zahl …
… teilbar
durch 5?
… teilbar
durch 3?
… teilbar
durch 9?
Punkte
Einfache Spielvariante:
A = 235
B = 648
C = 663
D = 395
E = 702
F = 501
G = 2375
H = 8090
I = 6318
J = 3905
K = 12 945
L = 86 790
M = 319 432
Schwierige Spielvariante:
N = 1097
O = 22 221
P = 42 694
Q = 1 000 000
R = 5 Millionen
S = 40 683 943
T = 7 M 5 HT 3 H
U = 999 333
V = 18 189 972
W = 32 M 345
X = 6M 6T 2H
Y = 9 Milliarden
Z = 81 818 818
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Autor: Sarah Bahnmüller
Partner- oder Gruppenarbeit | 30 Minuten
KV 4
Teilbarkeit und Brüche
Zahlenspiel für 3 bis 5 Spieler (1)
Schneidet die 120 Karten aus. Mischt die Karten, verteilt sie gleichmäßig und legt sie offen vor euch hin.
Wer die 2 hat, ruft „2“ aus und legt die Karte verdeckt vor sich hin. Alle anderen Spielerinnen und Spieler
legen die Karten, auf denen eine gerade Zahl steht, verdeckt in die Mitte des Tischs.
Wer die 3 hat, ruft sie aus und legt sie verdeckt vor sich hin. Alle Karten mit Zahlen, die ohne Rest durch 3
teilbar sind, werden verdeckt in die Mitte gelegt.
Immer mit der kleinsten noch offenen Zahl geht es so lange weiter, bis alle Karten verdeckt sind.
Wer am Ende die meisten verdeckten Karten besitzt, hat Glück gehabt und soll erklären, welche Art von
Zahlen auf seinen Karten steht.
2
22
42
62
82
102
3
23
43
63
83
103
4
24
44
64
84
104
5
25
45
65
85
105
6
26
46
66
86
106
7
27
47
67
87
107
8
28
48
68
88
108
9
29
49
69
89
109
10
30
50
70
90
110
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Gruppenarbeit | 30 Minuten
1
KV 5
Teilbarkeit und Brüche
Zahlenspiel für 3 bis 5 Spieler (2)
11
31
51
71
91
111
12
32
52
72
92
112
13
33
53
73
93
113
14
34
54
74
94
114
15
35
55
75
95
115
16
36
56
76
96
116
17
37
57
77
97
117
18
38
58
78
98
118
19
39
59
79
99
119
20
40
60
80
100
120
21
41
61
81
101
121
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Gruppenarbeit | 30 Minuten
1
KV 6
Teilbarkeit und Brüche
Das Glücksprinzip
Es war einmal ein Schuldirektor. Er war ein sehr weiser und mathematikbegeisterter Mann. Er mochte seine
Schülerinnen und Schüler sehr und überlegte sich ein Prinzip, mit dem er jedes Schuljahr den Klassen einen
Klassenausflug spendieren konnte. In der Schule war sein Vorgehen unter dem Stichwort „Glücksprinzip“
bekannt. Doch wenn man genauer hinsah, entdeckte man ein System dahinter.
Einmal im Jahr ließ er sein gesamtes Schulpersonal, 30 Personen, durch die Schulgänge laufen und die
Klassenzimmertüren nach folgendem Plan markieren:
Die erste Person machte an jedes Klassenzimmer ein Kreuz, die zweite an jedes zweite Klassenzimmer, die
dritte an jedes dritte Klassenzimmer usw. Am Ende eines Schuljahres erhielten diejenigen Klassen einen
Ausflug geschenkt, deren Klassenzimmer genau zwei Kreuze an der Tür hatte.
Durchschaust du das Prinzip?
a) Welche Klassen haben Glück und bekommen einen Ausflug? Notiere die Zimmernummern.
b) Welche Klassen würden einen Ausflug bekommen, wenn die Schule 40 Klassenzimmer und 40 Angestellte
hätte?
c) Was haben die Klassenzimmer gemeinsam? Denke an die Teiler einer Zahl.
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Autor: Sarah Bahnmüller
Illustration: Tom Menzel
Partnerarbeit | 25 Minuten
1
KV 7
Teilbarkeit und Brüche
Brüche darstellen
1
Färbe den angegebenen Bruchteil und bestimme den Bruchteil, der noch zum Ganzen fehlt.
a)
Färbe
1
4
blau:
Zum Ganzen fehlt:
b) Färbe
3
4
grün:
Zum Ganzen fehlt:
c) Färbe
5
8
rot:
Zum Ganzen fehlt:
2
Zähle die Teile und bezeichne anschließend einen davon.
3
Färbe den angegebenen Bruchteil.
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Autor: Sarah Bahnmüller
Einzelarbeit | 15 Minuten
1
KV 8
Teilbarkeit und Brüche
Speisekarte: Brüche am Zahlenstrahl
Stelle dir ein Menü aus Vorspeise, Hauptspeise und Nachspeise zusammen und löse die Aufgaben.
Vorspeise:
Welche Brüche sind markiert?
a)
Welche Brüche sind markiert?
a)
b)
b)
Hauptspeise:
Zeichne einen geeigneten Zahlenstrahl.
2
7
1
3
;
c) 1
1
2
a)
b)
;
4
7
2
6
;
;
3
4
;
5
7
2
3
;
;
1
2
;
7
7
5
6
;
Zeichne einen geeigneten Zahlenstrahl.
a)
(Tipp: Länge = 6 cm)
b)
1
4
c)
; 2;
7
4
(Tipp: Länge = 8 cm)
1 4 1 3
; ; ;
6 6 4 4
3 5 1 3 2
; ; ; ;
12 6 3 4 6
3 11 7
; ; ;11;
5 15 5
3
1
2
15
Nachspeise:
Finde die Fehler und korrigiere sie.
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Finde die Fehler und korrigiere sie.
Autor: Sarah Bahnmüller
Illustration: Tom Menzel
Einzelarbeit | 30 Minuten
1
KV 9
Teilbarkeit und Brüche
Gemischte Zahlen
1
Welche gemischte Zahl ist dargestellt?
a)
b)
=
=
3
3
2
+
2
3
1+
=
2
3
=
a)
Schreibe als Bruch und als gemischte Zahl.
b)
3
Schreibe als gemischte Zahl
a)
8
3
2
2
3
=
b)
5
4
c)
=
c)
8
7
=
d)
11
5
=
e)
12
8
=
f)
19
9
=
4
Schreibe als Bruch.
a) 2
3
4
d) 7
8
11
2
3
g) 11
5
8
4
3
4
d)
Beachte
1 2 3
= = =…
1 2 3
2 4 6 8
2= = = = =…
1 2 3 4
3 6 9 12
3= = = =
=…
1 2 3
4
1=
b) 5
5
8
=
e) 9
5
15
=
f)
17
=
h) 15
5
9
=
i)
8
=
=
c) 3
5
11
=
3
7
=
6
11
=
Verwandle in Minuten.
1
3
h=
b) 2
1
4
h=
c)
5
4
h=
a) 1
60 min +
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Beachte
1
2
1 h
= 60 min + 30 min
= 90 min
Einzelarbeit | 25 Minuten
1
KV 10
Teilbarkeit und Brüche
Übungen zum Erweitern
1
a) Welche Brüche haben denselben Wert wie die folgenden Brüche? Die Skizze dient dir als Hilfe.
Ergänze jede Reihe um ein weiteres Glied.
1
2
=
=
2
5
=
=
b)
c) Wähle einen eigenen Bruch und gehe ebenso vor wie in Teilaufgabe a).
=
2
=
Ergänze die folgenden Sätze: genau – das Gleiche – halb – größer – doppelt – kleiner
Bei 4 nimmt man
so viele Stücke wie bei 2 . Die Stücke sind aber
Deshalb ist 2
wie 4 .
10
5
3
10
Ein Bruch passt nicht in die Reihe. Streiche ihn. Warum passt er nicht?
a)
3
4
b)
1 3
;
5 15
4
so groß.
5
; 15 ; 6 ; 6 ; 30
20
8
;
12
5
; 2
20 10
40
; 7
35
Richtig oder falsch? Du erhältst einen Lösungssatz.
wahr
falsch
Beim Erweitern wird der Bruchteil größer.
Wahrheit
Vertrauen
Beim Erweitern werden die Stücke größer.
bleibt
ist
gut
besser
Kontrolle
als
Beim Erweitern werden die Stücke kleiner.
Beim Erweitern erhältst du mehr Stücke.
Beim Erweitern wird der Zähler multipliziert und der Nenner bleibt gleich.
Beim Erweitern bleibt der Bruchteil gleich groß.
war
ist
besser.
am besten.
Lösungssatz:
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Einzelarbeit | 25 Minuten
1
Teilbarkeit und Brüche
KV 11
Kreisteile
Färbe die Kreise unterschiedlich ein und schneide die Kreisteile aus.
Material: Schere
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Einzelarbeit | 15 Minuten
1
KV 12
Teilbarkeit und Brüche
Vergleichen von Bruchteilen
Bei Karins Geburtstag blieb eine ganze Menge Kuchen übrig.
Obstkuchen:
5
12
Cremetorten:
Sahnetorten:
1
Himbeerkuchen
7
12
3
4
Schokocremetorte
5
8
Walnusstorte
1
2
Käsesahnetorte
3
4
Pfirsichtorte
Kirschkuchen
2
3
Moccatorte
Legt die Bruchteile mit Kreisteilen nach. Begründet eure Antworten.
a) Von welchem Obstkuchen blieb mehr übrig?
b) Von welcher Cremetorte blieb mehr übrig?
c) Warum ist Frage a) leichter zu beantworten als Frage b)?
d) Erklärt mithilfe der unten abgebildeten Kreise, warum
3
4
größer ist als
5
8
.
Zeichnet und färbt dazu die Kreisteile ein.
2
a) Von welcher Sahnetorte ist am meisten übrig, von welcher am wenigsten?
b) Welcher der drei Bruchteile an Sahnetorten kann man (ohne Kreisteile) leicht vergleichen?
c) Ersetzt die Viertel- und Drittelstücke durch Zwölftelstücke. Zeichnet und färbt.
Erklärt, warum
3
4
größer ist als
2
3
.
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Illustration: Dorothee Wolters
Partnerarbeit | 30 Minuten
1
1
KV 13
Teilbarkeit und Brüche
Bruchteile von Größen
1
a)
Wandle in die angegebene Einheit um.
1
5
km =
m
1
10
kg =
g
3
5
km =
m
3
10
kg =
g
4
5
km =
m
1
100
kg =
g
5
5
km =
m
7
100
kg =
g
6
5
km =
m
100
100
kg =
g
m
4
1000
10
5
km =
1
10
2
Was ist mehr?
3
Achte auf die Maßeinheiten.
b)
von einem Ganzen oder
1
3
vom Ganzen? Begründe ausführlich.
a)
1
2
m=
dm;
1
2
m2 =
dm2;
1
2
m3 =
b)
3
4
m=
cm;
3
4
h=
min;
3
4
Tag =
c)
3
20
€=
ct;
min;
2
20
cm2 =
mm2
d)
7
100
7
100
m2 =
dm2
4
Gib das Ergebnis als Bruchteil und in der kleineren Einheit an.
m3 =
3
20
7
100
dm3;
a) Wie viel mehr sind
7
10
b) Wie viel weniger sind
€ als
3
4
h=
€=
1
10
1
2
ct;
dm3
h
€?
kg als 1 kg?
c) Wie viel mehr sind 4 Stunden als
d) Wie viel mehr ist
kg =
kg als
2
5
1
8
Tag?
kg?
e) Wie viel weniger sind 4 dm als
1
2
m?
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Illustration: Petra Götz
Einzelarbeit | 25 Minuten
g
1
KV 14
Teilbarkeit und Brüche
Was kann ich? 1
1
Vervollständige.
a) V
2
= {14;
;
;
; …}
b)
T24 = {
}
Kreuze an, wenn die Zahl durch … teilbar ist.
teilbar durch
2
5
10
3
9
224
1455
3960
3
Welcher Bruchteil ist dargestellt? Welcher Bruchteil fehlt noch zum Ganzen?
a)
b)
c)
Dargestellt:
Es fehlen:
4
Dargestellt:
Dargestellt:
Es fehlen:
Es fehlen:
a) Welche Brüche sind dargestellt?
A=
;B=
;C=
b) Zeichne einen geeigneten Zahlenstrahl und trage folgende Brüche ein.
5
a)
6
a)
3
4
;
1
8
;
1
2
5
8
;
Fülle die Lücken.
15
35
=
7
b)
8
48
=
1
c)
7
12
b)
5
6
=
60
7
9
d)
=
72
Berechne den Bruchteil.
1
5
von 20 m
Checkliste: Ich kann ...
von 24 h
Aufgabe
Vielfachen- und Teilermengen bestimmen,
1
Teilbarkeitsregeln anwenden,
2
Brüche aus Darstellungen ablesen,
3
Brüche am Zahlenstrahl ablesen und eintragen,
4
Brüche erweitern und kürzen,
5
Brüche vergleichen und ordnen
6
Bruchteile von Größen benennen.
7
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Autor: Sarah Bahnmüller
Einzelarbeit | 45 Minuten
1
KV 15
Teilbarkeit und Brüche
Was kann ich? 2
1
Vervollständige.
a) V
2
={
; 32;
;
; ….}
b)
T
= {1;
;
;
;
; 18}
Kreuze an, wenn die Zahl durch … teilbar ist.
teilbar durch
2
5
10
3
9
5092
12 345
100 267 980
3
Wo sind
6
8
richtig dargestellt? Kreuze an und begründe.
b)
a)
4
c)
a) Welche Brüche sind dargestellt?
A=
; B=
; C=
; D=
; E=
5 3 1 4
; ;
6 12 6 3
b) Zeichne einen Zahlenstrahl und trage folgende Brüche ein. 1 ;
5
Hier wurde falsch erweitert oder gekürzt. Finde den Fehler und verbessere ihn.
a)
5
12
6
Die Insel Reichenau ist 400 ha groß. Auf
=
24
60
b)
8
48
=
1
20
c)
3
5
7
12
=
30
60
der Fläche wird Gemüse angebaut.
7
9
d)
1
20
=
50
72
sind mit Blumen bedeckt.
b) Blumenfläche in ha:
a) Gemüsefläche in ha:
Checkliste: Ich kann ...
Aufgabe
1
Teilbarkeitsregeln anwenden,
2
Brüche aus Darstellungen ablesen,
3
Brüche am Zahlenstrahl ablesen und eintragen,
4
Brüche erweitern und kürzen,
5
Brüche vergleichen und ordnen,
6
Bruchteile von Größen benennen.
7
Vielfachen- und Teilermengen bestimmen,
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Autor: Sarah Bahnmüller
Einzelarbeit | 45 Minuten
1
KV 16
Teilbarkeit und Brüche
Was kann ich? 3
1
Vervollständige.
a) kgV (12; 9) =
2
b) T
= {1;
;
;
; 6;
; 15;
.}
Fülle die Lücken so, dass die Zahl durch … teilbar ist. Gib alle Möglichkeiten an.
teilbar durch
2
5
10
3
9
509
=
=
=
=
=
1240
=
=
=
=
=
3
a) Zeichne eine Figur und färbe
4
a) Welche Brüche ;
links von
4
7
1
2
1
5
davon blau.
5 11 15 1 3
;
;
; ;
4 12 31 6 7
b) Ergänze zum Ganzen. =
1
4
liegen auf dem Zahlenstrahl
?
zwischen
1
2
und 1?
b) Welcher Bruch liegt genau in der Mitte?
A=
5
a)
6
Beim vollständigen Kürzen wurden hier Fehler gemacht. Verbessere.
35
91
=
5
14
b)
25
150
=
Sven behauptet, dass die Brüche
5
30
c)
5 7 8
; ;
6 8 9
7
12
=
35
60
14
19
d)
=
7
19
gleich groß sind, da alle Nenner um 1 größer sind als ihre
Zähler. Was meinst du dazu? Begründe.
Checkliste: Ich kann ...
Aufgabe
Vielfachen- und Teilermengen bestimmen,
1
Teilbarkeitsregeln anwenden,
2
Brüche aus Darstellungen ablesen,
3
Brüche am Zahlenstrahl ablesen und eintragen,
4
Brüche erweitern und kürzen,
5
Brüche vergleichen und ordnen
6
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Autor: Sarah Bahnmüller
Einzelarbeit | 45 Minuten
KV 17
Teilbarkeit und Brüche
Bergsteiger: Teilbarkeit und Brüche – zu den Schülerbuchseiten 36 – 39
32
33
19
18
29
31
17
13, 14
11
28 a – c
10
9
27
34
8
7
22
26
3
1, 2
© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2016 | www.klett.de | Alle Rechte
vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
Autor: Sarah Bahnmüller
Illustration: Tom Menzel
Einzelarbeit/Partnerarbeit | 90 Minuten
1
Lösungen der Kopiervorlagen
1 Teilbarkeit und Brüche
Endziffernregeln, KV 1
1
a) 56, 654, 248, 342, 5890
b) 730; 732; 734; 736; 738
Der erste Platzhalter kann durch die Ziffern 0 bis 9 ersetzt werden. Für den zweiten gilt:
40; 42; 44; 46; 48
600; 610; 620; 630; 640; 650; 660; 670; 680; 690
Regel: Eine Zahl ist nur dann durch 2 teilbar, wenn sie die Endziffer 0; 2; 4; 6 oder 8 hat.
2
a) 200; 605; 50; 5895
b) 730; 735
Der erste Platzhalter kann durch die Ziffern 0 bis 9 ersetzt werden. Für den zweiten gilt:
40; 45
600; 610; 620; 630; 640; 650; 660; 670;680; 690
Regel: Eine Zahl ist nur dann durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist.
3
a) 50; 200, 350, 5890
b) 730
Der erste Platzhalter kann durch die Ziffern 0 bis 9 ersetzt werden. Für den zweiten gilt: 40
600; 610; 620; 630; 640; 650; 660; 670;680; 690
Regel: Eine Zahl ist nur dann durch 10 teilbar, wenn sie die Endziffer 0 hat.
4
a) 44; 212; 160; 200
b) 732; 736
Die letzten beiden Ziffern sind alle Vielfachen von 4.
400; 404; 408; 412; 416; 420; 424; 428; 432; 436; 440; 444; …; 496
600; 620; 640; 680
Regel: Eine Zahl ist nur dann durch 4 teilbar, wenn die letzen beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
Quersummenregel, KV 2
1
a) + b)
Zahl
Teilbar durch 3 ?
Quersumme
15
1+5=6
24
2+4=6
26
2+6=8
53
5+3=8
54
5+4=9
231
2+3+1=6
232
2+3+2=7
8 + 7 + 0 = 15
870
c) 732; 735; 738
Die Quersumme aus 4 + + muss eine durch 3 teilbare Zahl ergeben.
Individuelle Lösung, zum Beispiel:
411; 423; 462
630; 660; 690
Regel: Eine Zahl ist nur dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
LKV 1
2
a) + b)
Zahl
Teilbar durch 9 ?
Quersumme
27
2+7=9
29
2 + 9 = 11
45
4+5=9
48
4 + 8 = 12
54
5+4=9
783
7 + 8 + 3 = 18
784
7 + 8 + 4 = 19
9 + 4 + 5 = 18
945
c) 738
Die Quersumme aus 4 + + muss eine durch 9 teilbare Zahl ergeben.
Individuelle Lösung, zum Beispiel:
432; 441; 477
630
Regel: Eine Zahl ist nur dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
ABC-Mathespiel: Teilbarkeitsregeln, KV 3
Anfangszahl:
A
…teilbar
durch 2?
n
…teilbar
durch 5?
j
…teilbar
durch 3?
n
…teilbar
durch 9
n
Anfangszahl:
N
…teilbar
durch 2?
n
…teilbar
durch 5?
n
…teilbar
durch 3?
n
…teilbar
durch 9
n
B
j
n
j
j
O
n
n
j
j
C
n
n
j
n
P
j
n
n
n
D
n
j
n
n
Q
j
j
n
n
E
j
n
j
j
R
j
j
n
n
F
n
n
j
n
S
n
n
n
n
G
n
j
n
n
T
j
j
j
n
H
j
j
n
n
U
n
n
j
j
I
j
n
j
j
V
j
n
j
j
J
n
j
n
n
W
n
j
n
n
K
n
j
j
n
X
j
j
n
n
L
j
j
j
n
Y
j
j
j
j
M
j
n
n
n
Z
j
n
n
n
(j = ja, n = nein)
Zahlenspiel für 3 – 5 Spieler (1) und (2), KV 4 und KV 5
Individuelle Lösungen
Das Glücksprinzip, KV 6
a) 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29
b) Zu den Zimmernummern in Teilaufgabe a) kommen noch Zimmernummer 31 und 37 hinzu, wenn es 40
Klassenräume geben würde.
c) Die Zahlen haben alle nur zwei Teiler, die 1 und sich selbst. Diese Zahlen nennt man Primzahlen.
LKV 2
Brüche darstellen, KV 7
1
a)
b)
c)
2
3
LKV 3
Zum Ganzen fehlt:
3
4
Zum Ganzen fehlt:
1
4
Zum Ganzen fehlt:
3
8
Speisekarte: Brüche am Zahlenstrahl, KV 8
Vorspeise
Vorspeise
a) A =
2
6
; B=
4
6
; C=
5
6
b) A =
1
6
; B=
4
6
; C=1
4
6
a) A =
1
6
b) A =
3
12
; B=
4
6
; B=
Hauptspeise
Hauptspeise
a)
a)
b)
b)
c)
c)
Nachspeise
Zum Beispiel:
Nachspeise
Zum Beispiel:
; C=1
3
6
; C=
1
6
11
12
;D=1
3
12
Gemischte Zahlen, KV 9
1
b)
6
6
6
6
2
a)
4
3
=1
1
3
3
a) 2
c) 1 +
e) 1 +
1
7
4
8
1
6
2
1
6
b)
23
10
2
3
b) 1 +
1
7
1
1
2
d) 2 +
1
f)
2+
=2
1
4
1
5
1
9
3
10
1
2
2
c)
1
4
1
5
1
9
LKV 4
8
5
=1
3
5
d)
31
8
=3
7
8
4
d)
g)
11
4
8
85
11 11
2
35
3
3
a)
77
11
33
11
b)
e)
h)
40
5
45
8
8
8
135
5
140
15
15
15
135
5
140
9
9
9
33
5
11
11
119
3
7
7
88
6
11
11
c)
f)
i)
38
8
122
7
94
11
5 a) 60 min + 20 min = 80 min
b) 120 min + 15 min = 135 min
c)
5
4
h=1
1
4
h; 60 min + 15 min = 75 min
Übungen zum Erweitern, KV 10
1
2
1
a)
2
Bei
=
4
10
2
4
b)
4
6
12
a)
5
20
4
8
b)
2
5
=
4
10
4
10
8
20
= z. B.
nimmt man doppelt so viele Stücke wie bei
Gleiche wie
3
= z. B.
2
5
c) individuelle Lösungen
. Die Stücke sind aber halb so groß. Deshalb ist
das
.
, denn die richtige Erweiterung von
, denn die richtige Erweiterung von
1
5
3
4
mit 3 ist
mit 4 ist
4
20
9
12
.
.
f; f; w; w; f; w
wahr
falsch
Beim Erweitern wird der Bruchteil größer.
Wahrheit
Vertrauen
Beim Erweitern werden die Stücke größer.
bleibt
ist
Beim Erweitern werden die Stücke kleiner.
Beim Erweitern erhältst du mehr Stücke.
Beim Erweitern wird der Zähler multipliziert und der Nenner bleibt gleich.
Beim Erweitern bleibt der Bruchteil gleich groß.
gut
besser
Kontrolle
als
war
ist
besser.
am besten.
Lösungssatz: Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser
Kreisteile, KV 11
Individuelle Lösungen
Vergleichen von Bruchteilen, KV 12
1
a) Kirschkuchen
b) Schokocremetorte
c) Beide Brüche haben den gleichen Nenner, sodass man direkt vergleichen kann.
d)
2
b)
c)
3
4
nimmt mehr Fläche ein und ist deshalb größer als
5
8
.
a) am meisten: Pfirsichtorte; am wenigsten: Käsesahnetorte
1
2
3
4
und
=
3
4
9
12
;
2
3
=
8
12
9
12
nimmt eine größere Fläche ein als
LKV 5
2
5
8
12
.
Bruchteile von Größen, KV 13
1
a)
2
1
3
200 m
600 m
800 m
1000 m
1200 m
2000 m
b)
vom Ganzen ist mehr als
100 g
300 g
10 g
70 g
1000 g
4g
1
10
. Wenn man das Ganze nur in drei Teile teilt, ist ein Teil größer, als wenn
man das Ganze in 10 Teile teilt.
3
a) 5 dm; 50 dm2, 500 dm3
b) 75 cm; 45 min, 18 h
c) 15 ct, 9 min; 10 mm2
d) 70 dm3, 7 ct, 7 dm2
6
10
4
a)
d)
1
10
€ = 60 ct
b)
kg = 100 g
e)
1
kg = 250 g
4
1
m = 1 dm
10
c) 1 h = 60 min
Was kann ich? 1 Teilbarkeit und Brüche, KV 14
1
a) V14 = {14; 28; 42; 56; …}
b) T24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
2
teilbar durch
2
5
10
3
9
224
1455
3960
3
a) Dargestellt:
Es fehlt:
4
a) A =
2
5
7
8
1
8
; B=
Es fehlen:
3
5
7
12
5
12
b) Dargestellt:
; C=
6
5
=1
2
4
c) Dargestellt:
2
4
Es fehlen:
=
=
1
2
1
5
b)
15
35
3
7
5
a)
6
a) 20 : 5 = 4; 4 · 1 = 4
1
5
=
b)
8
48
=
1
6
c)
=
35
60
b) 24 : 6 = 4; 4 · 5 = 20
5
6
von 20 m sind 4 m.
LKV 6
7
12
von 24 h sind 20 h.
d)
7
9
=
56
72
1
2
Was kann ich? 2 Teilbarkeit und Brüche, KV 15
1
a) V16 = {16; 32; 48; 64; ….}
b) T18 = {1; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18}
2
teilbar durch
2
5
10
3
9
5092
12 345
100 267 980
3
a)
c)
b)
a) und c) sind richtig:
4
a) A =
2
3
;B=
=
25
60
5
3
6
8
3
4
=
=1
2
3
b) Falsch, die Kreisteile sind unterschiedlich groß.
;C=4
1
3
;D=6
2
3
;E=7
b)
5
12
5
a)
6
a) Gemüsefläche in ha: 240
b)
8
48
=
1
6
c)
7
12
=
35
60
d)
7
9
=
56
72
b) Blumenfläche in ha: 20
Was kann ich? 3 Teilbarkeit und Brüche, KV 16
1
a) kgV (12; 9) = 72
b) T30 = {1; 2 ; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
2
2
teilbar durch
5
10
3
509
= 2; 4; 6; 8; 0
= 5; 0
=0
= 1; 4; 7
=4
1240
= 0 bis 9
= 0 bis 9
= 0 bis 9
= 2; 5; 8
=2
3
individuelle Lösungen, zum Beispiel:
a)
1
5
b)
1
4
4
=
6
24
7
24
<
4
7 2
1
4
1
2
a) links von
b) A =
<
1
3
:
=
15
31
;
1
6
;
3
7
zwischen
8
24
LKV 7
9
1
2
und 1 :
11
12
;
4
7
5
a)
35
91
=
5
13
b)
c) Hier wurde erweitert, anstatt gekürzt.
7
12
falsch:
5
6
=
60
72
<
7
8
=
63
72
<
8
9
=
=
5
30
=
1
6
ist bereits vollständig gekürzt.
d) Hier wurde nur der Zähler durch 2 geteilt.
6
25
150
14
19
ist bereits vollständig gekürzt.
64
72
Es fehlt zwar immer nur ein „Teil“ bis zum Ganzen, aber dieses Teil ist unterschiedlich groß. Daher können die
Brüche nicht gleich groß sein.
Bergsteiger: Teilbarkeit und Brüche – zu den Schülerbuchseiten 36 – 39, KV 17
Die Lösungen zu den Bergsteigeraufgaben befinden sich im Kommentarteil unter den Lösungen zu
Basiswissen und Anwenden. Nachdenken.
LKV 8
