¨Ubungen zur Vorlesung SS 2006 Elektrodynamik (Theoretische

Übungen zur Vorlesung
SS 2006
Elektrodynamik (Theoretische Physik III)
Blatt 6
Abgabedatum: 20.06.2006
Aufgabe 16
(Votier) Polarisation H-Atom
3 Punkte
Das zeitlich gemittelte elektrostatische Potential eines neutralen Wasserstoffatoms lautet:
φ(r) =
e r + a − 2r
e a
4πǫ0 r · a
(1)
(a) Berechnen Sie aus dem vorgegebenen Potential die Ladungsdichte ρ(r). Interpretieren
Sie das Ergebnis. Ermitteln Sie die Gesamtladung innerhalb einer Kugel mit Radius R.
Hinweis: Benutzen Sie den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten für r 6= 0. Entwickeln
Sie φ für r → 0. Ergänzen Sie damit Ihr Resultat (vgl. Aufgabe 3 bzw. Gleichung 2.61).
2r
Zwischenergebnis: ρ(r) = c1 δ(r) + c2 e− a
(b) Beim Anlegen eines elektrischen Feldes E0 wird in erster Näherung die Ladungswolke
des Elektrons starr gegen das Proton um den Vektor r0 verschoben.
(1) Berechnen Sie das Dipolmoment p des Wasserstoffatoms im Feld E0 .
(2) Ermitteln Sie die Rückstellkraft. Drücken Sie diese für r0 /a ≪ 1 durch das Dipolmoment p aus. Geben Sie die vom elektrischen Feld E0 auf das Proton ausgeübte
Kraft und damit p(E0 ) an.
(3) Bestimmen Sie die relative Dielektrizitätskonstante ǫr für ein Dielektrikum aus N
homogen im Volumen V verteilten Wasserstoffatomen.
Aufgabe 17
(Votier) Dielektrische Kugel
3 Punkte
Eine dielektrische Kugel mit Radius R wird in ein homogenes elektrisches Feld E0 = E0 ez
gebracht. Aus Aufgabe 4 (bzw. Gleichung 2.166 aus der Vorlesung) ist bekannt, dass die
Lösung der Laplace-Gleichung gegeben ist durch:
φ(r) =
∞ X
l
X
l=0 m=−l
Alm r l + Blm r −l−1 Ylm (θ, ϕ).
(2)
Da das o.g. Problem azimutale Symmetrie aufweist, gilt φ(r) = φ(r, θ) und damit m ≡ 0.
(a) Wie lassen sich die Yl0 durch die Legendre-Polynome ausdrücken (vgl. Gleichung 2.155)?
Berechnen und skizzieren Sie das resultierende Feld innerhalb und außerhalb der Kugel.
Hinweis: φ ist bei r = 0 regulär und bei r = R stetig, limr→∞ φ = −E0 z, Dn ist bei
r = R stetig.
(b) Bestimmen Sie die Polarisation und das Dipolmoment der Kugel.
1
Aufgabe 18
(Schriftlich) Biot-Savart-Gesetz
3 Punkte
Die Maxwellgleichungen für das Magnetfeld eines elektrischen Leiters lauten
divB = 0 ,
rotB = µ0 j.
(3)
(a) Ein divergenzfreies Vektorfeld B(r) lässt sich schreiben als (vgl. Zerlegungssatz, Aufgabe 10)
Z
′ ′
1
3 ′ rotr B(r )
d r
.
(4)
B(r) = rotr
4π
|r − r ′ |
Leiten Sie damit das Biot-Savart-Gesetz für eine Stromdichteverteilung j(r) her und
vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus der Vorlesung bekannten Gesetz:
dB =
µ0 I dl × x
.
4π |x|3
(5)
(b) Bestimmen Sie die Kraft zwischen zwei unendlich langen, geraden, parallelen Leitern
im Abstand r, die vom Strom I durchflossen werden. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit
der Definition des Ampere.
Hinweis: Differentielle Lorentz-Kraft: dF = I(dl × B)
(c) Berechnen Sie das Feld einer vom Strom I durchflossenen, kreisförmigen Leiterschleife
mit Radius R entlang ihrer Rotationsachse.
Anmerkung: Mit einer Anordnung von zwei dieser Leiterschleifen kann ein großes Gebiet
mit homogener Flussdichte B erzeugt werden. Wissen Sie, wie?
2