Großer Umordnungssatz und Folgerungen

Großer Umordnungssatz
Sei {ai,j }i,j∈N eine Doppelfolge komplexer Zahlen und
ϕ : N 7→ N × N eine bijektive Abbildung. Dann sind folgende
Aussagen äquivalent:
(i) Es existiert ein 0 < K ∈ R, so dass für alle m, n ∈ N gilt
m X
n
X
|aij | < K
i=0 j=0
(ii) Alle Zeilensummen Zi =
∞
P
|aij | konvergieren absolut und
j=0
∞
P
Zi konvergiert.
i=0
(iii) Alle Spaltensummen Sj =
∞
P
(iv)
j=0
∞
P
k=0
∞
P
i=0
Sj konvergiert.
aϕ(k) konvergiert absolut.
|aij | konvergieren absolut und
Erläuterungen
Bemerkung 1
Die Bezeichnungen „Zeilensummen“ bzw. „Spaltensummen“
beziehen sich auf das unendliche quadratische Schema
unendliches quadratisches Schema
a00
a10
a20
a01
a11
a21
a02
a12
a22
a30
..
.
a31
..
.
a32
..
.
ai0
..
.
ai1
..
.
ai2
..
.
a03
a13
a23
..
.
..
.
..
.
..
.
...
...
...
a0j
a1j
a2j
...
...
...
...
..
.
..
.
..
.
a3j
..
.
...
..
.
..
.
..
.
aij
..
.
Erläuterungen
Folgerung 1
Ist eine der Aussagen (i), (ii) oder (iii) wahr, dann bedeutet (iv),
dass alle Umordnungen der Doppelreihe und auch die beiden
iterierten Reihen gegen den gleichen Wert S konvergieren.
S=
∞ X
∞
X
aij =
i=0 j=0
∞ X
∞
X
aij =
j=0 i=0
∞
X
aϕ(k)
k=0
Summation entlang der Diagonalen
Summiert man entlang der Diagonalen, in denen die Summe der
Indizes konstant ist, so kann man die Summe mit der Formel
∞ X
∞
X
i=0 j=0
berechnen.
aij =
∞ X
n
X
n=0 k=0
an−k,k
Diagonalsummation
i+j
0
%
j\i
0
0
a00
1
a10
2
a20
%
1
a01
%
4
a30
a40
%
..
.
%
a13
...
a23
...
..
.
...
..
.
%
a32
%
..
.
%
4
a04 . . .
%
a22
a31
%
..
.
%
%
4
%
3
a03
a12
a21
3
%
%
%
2
2
a02
a11
%
3
1
..
.
%
..
.
..
.
..
.
Entlang einer Diagonalen fällt der Zeilenindex und der Spaltenindex
steigt, die Summe aus beiden ist aber konstant.
Folgerung 2
Produkte unendlicher Reihen
Sind die Reihen
∞
X
an
und
n=0
∞
X
bn
n=0
beide absolut konvergent, dann kann man das Produkt der Reihen
mit der Formel
∞
X
n=0
berechnen.
an
∞
X
n=0
bn =
∞ X
n
X
n=0 k=0
an−k bk
Beweis der Folgerung 2
Im quadratischen Schema . . .
a0 b0
a1 b0
a2 b0
a0 b1
a1 b1
a2 b1
a0 b2
a1 b2
a2 b2
a3 b0
..
.
a3 b1
..
.
a3 b2
..
.
ai b 0
..
.
ai b1
..
.
ai b2
..
.
a0 b3
a1 b 3
a2 b 3
..
.
..
.
..
.
..
.
...
...
...
a0 bj
a1 bj
a2 bj
...
...
...
...
..
.
..
.
a3 bj
..
.
...
..
.
..
.
..
.
ai bj
..
.
..
.
P
|bj |
|a0 | ∞
Pj=0
∞
|a1 | j=0 |bj |
P
|a2 | ∞
j=0 |bj |
P∞
|a3 | j=0 |bj |
..
.
P∞
|ai | j=0 |bj |
..
.
sind zeilenweise die ai und spaltenweise die bj konstant und können
in der Zeilensumme bzw. Spaltensumme ausgeklammert werden.
Die verbliebenden Reihen sind in jeder Zeile und Spalte dieselbe
und nach Voraussetzung absolut konvergent, so dass die
Voraussetzungen (ii) und (iii) des großen Umordnungssatzes erfüllt
sind.