Großer Umordnungssatz Sei {ai,j }i,j∈N eine Doppelfolge komplexer Zahlen und ϕ : N 7→ N × N eine bijektive Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) Es existiert ein 0 < K ∈ R, so dass für alle m, n ∈ N gilt m X n X |aij | < K i=0 j=0 (ii) Alle Zeilensummen Zi = ∞ P |aij | konvergieren absolut und j=0 ∞ P Zi konvergiert. i=0 (iii) Alle Spaltensummen Sj = ∞ P (iv) j=0 ∞ P k=0 ∞ P i=0 Sj konvergiert. aϕ(k) konvergiert absolut. |aij | konvergieren absolut und Erläuterungen Bemerkung 1 Die Bezeichnungen „Zeilensummen“ bzw. „Spaltensummen“ beziehen sich auf das unendliche quadratische Schema unendliches quadratisches Schema a00 a10 a20 a01 a11 a21 a02 a12 a22 a30 .. . a31 .. . a32 .. . ai0 .. . ai1 .. . ai2 .. . a03 a13 a23 .. . .. . .. . .. . ... ... ... a0j a1j a2j ... ... ... ... .. . .. . .. . a3j .. . ... .. . .. . .. . aij .. . Erläuterungen Folgerung 1 Ist eine der Aussagen (i), (ii) oder (iii) wahr, dann bedeutet (iv), dass alle Umordnungen der Doppelreihe und auch die beiden iterierten Reihen gegen den gleichen Wert S konvergieren. S= ∞ X ∞ X aij = i=0 j=0 ∞ X ∞ X aij = j=0 i=0 ∞ X aϕ(k) k=0 Summation entlang der Diagonalen Summiert man entlang der Diagonalen, in denen die Summe der Indizes konstant ist, so kann man die Summe mit der Formel ∞ X ∞ X i=0 j=0 berechnen. aij = ∞ X n X n=0 k=0 an−k,k Diagonalsummation i+j 0 % j\i 0 0 a00 1 a10 2 a20 % 1 a01 % 4 a30 a40 % .. . % a13 ... a23 ... .. . ... .. . % a32 % .. . % 4 a04 . . . % a22 a31 % .. . % % 4 % 3 a03 a12 a21 3 % % % 2 2 a02 a11 % 3 1 .. . % .. . .. . .. . Entlang einer Diagonalen fällt der Zeilenindex und der Spaltenindex steigt, die Summe aus beiden ist aber konstant. Folgerung 2 Produkte unendlicher Reihen Sind die Reihen ∞ X an und n=0 ∞ X bn n=0 beide absolut konvergent, dann kann man das Produkt der Reihen mit der Formel ∞ X n=0 berechnen. an ∞ X n=0 bn = ∞ X n X n=0 k=0 an−k bk Beweis der Folgerung 2 Im quadratischen Schema . . . a0 b0 a1 b0 a2 b0 a0 b1 a1 b1 a2 b1 a0 b2 a1 b2 a2 b2 a3 b0 .. . a3 b1 .. . a3 b2 .. . ai b 0 .. . ai b1 .. . ai b2 .. . a0 b3 a1 b 3 a2 b 3 .. . .. . .. . .. . ... ... ... a0 bj a1 bj a2 bj ... ... ... ... .. . .. . a3 bj .. . ... .. . .. . .. . ai bj .. . .. . P |bj | |a0 | ∞ Pj=0 ∞ |a1 | j=0 |bj | P |a2 | ∞ j=0 |bj | P∞ |a3 | j=0 |bj | .. . P∞ |ai | j=0 |bj | .. . sind zeilenweise die ai und spaltenweise die bj konstant und können in der Zeilensumme bzw. Spaltensumme ausgeklammert werden. Die verbliebenden Reihen sind in jeder Zeile und Spalte dieselbe und nach Voraussetzung absolut konvergent, so dass die Voraussetzungen (ii) und (iii) des großen Umordnungssatzes erfüllt sind.