Numerik - Formelsammlung

Numerik - Formelsammlung
Jan-Cornelius Molnar, Version: 8. Juli 2009 16:13
1 Darstellung von Zahlen
Zahlen lassen sich als b-a-dische Brüche darstellen,
±an an−1 . . . a0 =
b
n
X
aj bj ,
b ∈ {2, 3, . . .} , aj ∈ 0, 1, . . . , b − 1.
j=0
Reelle Zahlen stellen wir als Fließkommzahlen dar

±a0 a1 . . . an E ±cm cm−1 . . . c0 =
b 
|
{z
} |
{z
}
Mautisse
m
P
cj bj
,
a0 ≠ 0.
j=0
z ∈ R, z̃Approximation.
Der relative Fehler ist gegeben durch,
eR =

aj b−j  bn=0
Der absolute Fehler ist gegeben durch,
eA = |z − z̃| ,
Exponent
n
X
|z − z̃|
,
|z|
z ∈ R, z̃Approximation.
|δx+δy |
Addition eA = δx + δy ≤ |δx| + δy , eR = x+y .
|
|
Multiplikation
eA = x · y + x · δy + δx · y + δx · δy − x · y = x · δy + δx · y + δx · δy δy x · δy + δx · y + δx · δy δy |δx|
|δx|
+
eR =
≤
+
xy y |x|
|x|
Funktionsauswertung
eA = f 0 (x) |δx|
0
|δx| f (x) |x|
eR =
f (x) .
|x|
1
δy .
y Numerische Differentiation
0
f (x) − f (x + h) − f (x) = |h| f 00 (ξ) ,
h
2
h
3ε
eA ≤ Cf 00 +
+ ε.
2
h
Minimal für h =
r
6ε
Cf 00
q
, eAmin = 2εCf 00 .
2 LGS
Im Folgenden sei stets A ∈ Rn×n , b ∈ Rn .
Die LU-Zerlegung,

u1,1


l
 2,1
(L/U) = 
 .
 ..

···
..
.
ln,1
···
..
.
u1,n
.
.
.
un,n









ln,n−1
A heißt positiv definit, falls hx, Axi ≥ 0, ∀ x ∈ Rn .
Spaltenmaximumsstrategie. Wähle p so, dass api ≥ aji , ∀ j ≥ i.
Relatives Spaltenmaximum Strategie. Wähle p so, dass
P
|api |
maximal ist.
|apj |
Pn
j=1
aij .
A heißt streng diagonaldominant, falls |aii | >
Eine Abbildung k·k : Rn → R heißt Norm, falls positiv Definit, homogen und Dreiecksun-
j≠i
gleich.
Seien k·kn und k·km Normen, die M Matrixnorm ist gegeben durch,
kAkn,m := max
x ∈ Rm kAxkn
.
x ≠ 0 kxkm
Sei A ∈ Rn×n invertierbar. κ(A) = A−1 kAk heißt Konditionszahl bzgl. k·k.
2
2.1 Sätze Allgemein
A positiv definit ⇒ Jede HU-Matrix Am ist positiv definit.
A regulär ⇒ Jede HU-Matrix Am ist regulär.
Vertauschen von Spalten oder Zeilen allein zerstört im Allgemeinen Regularität bzw. Sym-
metrie.
2.2 Sätze LU
A = LU existiert a alle HU-Matritzen sind regulär.
Sei A streng diagonaldominant, dann ist auch A(k) als Matrix nach k − 1 Schritten diago-
naldominant.
Sei A streng diagonaldominant, dann ist die LU-Zerlegung ohne Pivotisierung anwendbar
und die rel. Spaltenmaximumsstrategie liefert das aktuelle Element als Pivotelement.
2.3 Beispiele für Matrixnormen
(a) Die Matrixnorm zur k·k1 -Norm heißt Spaltensummennorm,
kAk1 := max
j=1,...,m
n
X
aij .
i=1
(b) Die Matrixnorm zur k·k∞ -Norm heißt Zeilensummennorm,
kAk∞ := max
i=1,...,n
m
X
aij .
j=1
(c) Die Matrixnorm zur k·k2 -Norm heißt Spektralnorm,
kAk2 = max
q
q
|λ| : λ ist Eigenwert von A> A = kA> Ak2 .
3
2.4 Sätze für Matrixnormen
Ist A ∈ Rn×n symmetrisch, so ist kAk2 = max {|λA |}, sonst kAk2 = max
np
o
|λA> A | .
Sei A invertierbar und λ EW von A, dann ist λ1 EW von A−1 .
n×n
Seien A, B ∈ R
, A invertierbar und A−1 kBk < 1 für eine Norm. Dann ist A + B
invertierbar und
(A + B)−1 =
−1 A .
1 − kA−1 k kBk
Sei A ∈ Rn×n invertierbar, 0 ≠ b ∈ Rn und A−1 ∆A < 1. Dann gilt für x̃ = x + ∆x,
k∆xk
κ(A)
≤
kxk
1 − κ(A) k∆Ak
kAk
k∆bk
k∆Ak
+
.
kbk
kAk
2.5 Cholesky Zerlegung
Sei A ∈ Rn×n symmetrisch und positiv definit, dann existiert die Cholesky-Zerlegung A =
LL> , mit einer linken unteren Dreiecksmatrix L.
3 Interpolation
Den Raum der Polynome vom Grad ≤ n bezeichnen wir mit Pn .
Lagrangeinterpolation zu (xi , yi ), i = 0, . . . , n
n
X
p(x) =
yi Lj (x)
j=0
Qn
k=0
n≠j
Lj (x) = Qn
k=0
k≠j
(x − xk )
(xj − xk )
,
Lj (xi ) = δij .
Newtoninterpolation zu (xi , yi ), i = 0, . . . , n
n
X
p(x) =
aj qj (x),
j=0
j−1
qj (x) =
Y
(x − xk ),
j = 0, . . . , n.
k=0
4
Sei pi,j ∈ Pj das Interpolationspolynom zu (xk , yk ) k = i, . . . , i + j. Dann gilt für j ≥ 1
pi,j =
(x − xi )pi+1,j−1 (x) − (x − xi+j )pi,j−1 (x)
.
xi+j − xi
(1)
Formel der dividierten Differenzen Für p(x) = c0 +c1 (x −x0 )+. . .+cn (x −x0 ) · · · (x −
xn−1 ),
ci,j =
ci+1,j−1 − ci,j−1
,
xi+j − xi
mit ck = c0,k und ci,0 = yi .
3.1 Sätze Lagrangeinterpolation
Seien (xi , yi ) ∈ R2 , xi paarwweise verschieden. Dann hat, finde p ∈ Pn mit p(xi ) = yi
genau eine Lösung.
3.2 Approximationseigenschaften
Sei p ∈ Pn Interpolationspolynom mit p(xi ) = f (xi ), i = 0, . . . , n, xi paarweise verschie-
den, f ∈ Cn+1 (R). Dann gilt
p(x) − f (x) =
1
(n+1)
f
(ξ)(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ) .
(n + 1)!
4 Numerische Integration
Eine Quadraturformel zu den Stützstellen xi und den Gewichten ωi ist gegeben durch,
Q(f ) =
n
X
ωi f (xi ).
i=0
Lagrangedarstellung
Q(f ) =
n
X
ωi f (xi ),
i=0
ωi =
Zb Y
n
a
j=0
j≠i
x − xj
dx.
xi − xj
5
Abgeschlossenen Newton-Cotes-Formeln
x0 = a,
xn = b,
Zusammengesetzte Trapezregel
i = 0, . . . , m
y
m Zi
X
Zb
f (x) dx =
h=
b−a
,
m
f (x) dx = . . . .
i=1 yi−1
a
Zusammengesetzte Simpsonregel
yi = a + 2ih,
Zb
f (x) dx =
i = 0, . . . ,
y
m Zi
X
m
2
h=
b−a
,
m
f (x) dx = . . . .
i=1 yi−1
a
Q heißt symmetrisch, falls
xm−j − xj = a + b, und ωm−j = ωj ,
b−a
.
h
h
2i − 1
b−a
h
, xn = b − , x i = a +
h, h =
.
2
2
2
n
yi = a + ih,
h=
Offene Newton-Cotes-Formeln
x1 = a +
xi = a + i · h,
Q heißt exakt auf Pm , falls
Rb
a
j = 0, . . . , m.
p(x) dx = Q(p), ∀ p ∈ Pm .
4.1 Sätze
Sei Q exakt auf Pm . Dann gilt für f ∈ C m+1 ([a, b])
Zb
m
Zb Y
1
(m+1) f (x) dx − Q(f ) ≤
f
(x − xj ) dx.
∞
(m
+
1)!
a
a j=0
Eine symmetrische Quadraturformel die auf P2l ,
exakt.
Eine Newton-Cotes-Formel
m
X
Q(f ) =
ωi f (xi ),
i=0
der Stufe m ist
6
Ï
l ∈ N0 exakt ist, ist auch auf P2l+1
(i) symmetrisch,


Pm ,
für m ungerade,
(ii) exakt auf

Pm+1 , für m gerade.
Sei Q eine auf Pk exakte Integrationsformel für [a, b]. Dann gilt für f ∈ C k+1 ([a, b])
Zb
Zb
f (x) dx =
Q(f ) −
K(t)f (k+1) (t) dt ,
a
a


Zb
m
1 X

k
k
K(t) =
 ωi (xi − t)+ − (x − t)+ dx 
k! i=0
a


b
m
Z
1 X

=
 Q x , (x − t)k+ − (x − t)k+ dx 
k! i=0
a
5 Algorithmen
Im Folgenden sei stets A ∈ Rn×n , b ∈ Rn .
Gauß-Elimination Ax = b.
Für i = 1 . . . n − 1 (Spalten)
Für j = i + 1, . . . , n (Zeilen)
aij
lij =
aii
Für j = i + 1, . . . , n
ajk = ajk − lji · aik
bj = bj + lji bi
Aufwand MulDiv ≈
1 3
n
3
+ O(n2 ).
b
ann
Für j = n − 1, n − 2, . . . , 1
Rückwertsauflösen. xn =
xj =


n
X
1 
bj −
ajk xk 
aji
k=j+1
Aufwand MulDiv
1
(n2
2
+ n).
LU-Zerlegung A = LU .
7
Für i = 1, . . . , n − 1
Für j = i + 1, . . . , n
aji
aji =
aii
Für k = i + 1, . . . , n
ajk = ajk − aji · aik
Aufwand MulDiv =
1 3
n
3
1
− 3 n.
Vorwärtsauflösen.
y1 = b 1
Für i = 2, . . . , n
yi = bi −
i−1
P
aij yj
j=1
Rückwärtsauflösen.
xn =
yn
ann
Für i = n − 1, . . . , 1
xi =
Aufwand
(n−1)n
2
1
aii
+
n
P
yi −
!
aij xj
j=i+1
n(n+1)
2
≈ n2 .
LU-Zerlegung A = P LU mit Pivotisierung
Für i = 1, . . . , n − 1.
Bestimme einen Pivot-Index pi ∈ {i, . . . , n}.
Falls pi ≠ i: Vertausche Zeilen i, p (*)
Für j = i + 1, . . . , n
aji
aji =
aii
Für k = i + 1, . . . , n
ajk = ajk − aji aik
Bandmatritzen.
Aufwand ≈ nm1 m2 .
Cholesky Zerlegung.
8
l11 =
√
a11
Für i = 2, . . . , n
Für j = 1, . . . , i − 1
!
j−1
P
1
lij =
lik ljk
aij −
ljj
k=1
v
u
i−1
P 2
t
lik .
lii = aii −
k=1
Aufwand n Wurzeln +
1 3
n
6
+ O(n2 ) MulDiv ≈
1 3
n .
6
Newton-Interpolation.
Für i = 0, . . . , n
ci = yi
Für j = 1, . . . , n
Für i = n, n − 1, . . . , j
ci − ci−1
ci =
xi − xi−j
Aufwand MulDiv
n(n−1)
.
2
Horner Schema p(x) =
. . . (cn (x − xn−1 ) + cn−1 ) (x − xn−2 ) + . . .
p = cn
Für k = n − 1, n − 2, . . . , 0
p = p(x − xk ) + ck
Aufwand MulDiv n.
9
+ c0 .