Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ-LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2016
Blatt 0
zur Bearbeitung am 11.04.2016
∀ bedeutet: “für alle“
∃ bedeutet: “es gibt (mindestens ein)“
Aufgabe:
(a) Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch?
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
∀x ∈ R ∶ x2 > 0
∀x, y ∈ R ∶ (x − y) ⋅ (x + y) = x2 − y 2
∃z ∈ Z ∶ z 2 = 49
∃x, y ∈ Q ∶ x2 + y 2 = 1
∀x ∈ N ∃y ∈ N ∶ y > x
∃y ∈ N ∀x ∈ N ∶ y > x
(b) Bilden Sie zu jeder der Aussagen aus (a) die Gegenaussage (Negation).
(c) Beweisen Sie die wahren Aussagen und widerlegen Sie die falschen Aussagen aus (a).
(d) Ergänzen Sie:
Um
Um
Um
Um
eine
eine
eine
eine
∀-Aussage zu beweisen,
∀-Aussage zu widerlegen,
∃-Aussage zu beweisen,
∃-Aussage zu widerlegen,
...
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...
...
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...
...
...
...
Ausblick:
In der Analysis-Vorlesung wird zum Beispiel die folgende Aussage eine wichtige Rolle
spielen:
∃x ∈ R ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 ∶ ∣xn − x∣ < ε
Dabei ist (xn )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Die Aussage kann wahr oder falsch sein, je nachdem welche Folge man
betrachtet. Genau genommen handelt es sich daher um eine “Aussageform“.
⇒ bedeutet: “daraus folgt“
⇔ bedeutet: “ äquivalent“
Aufgabe:
(a) Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch?
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
∀x ∈ R ∶ [x2 > 16 ⇒ x > 4]
∀x ∈ R ∶ [x > 4 ⇒ x2 > 16]
∀x ∈ R+ ∶ [x2 > 16 ⇔ x > 4]
∀x ∈ R ∶ [x > 0 ⇔ ∃y ∈ R ∶ y 2 = x]
∀x ∈ R ∶ [x ≥ 0 ⇔ ∃y ∈ R ∶ y 2 = x]
(b) Beweisen Sie die wahren Aussagen und widerlegen Sie die falschen Aussagen aus (a).
(c) Ergänzen Sie:
Um
Um
Um
Um
eine
eine
eine
eine
⇒-Aussage zu beweisen,
⇒-Aussage zu widerlegen,
⇔-Aussage zu beweisen,
⇔-Aussage zu widerlegen,
...
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...
...
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...
Ausblick:
In der Analysis-Vorlesung wird zum Beispiel die folgende Aussage eine wichtige Rolle
spielen:
∀a ∈ D ∶ [a ist eine lokale Extremstelle von f ⇒ f ′ (a) = 0]
Dabei ist f ∶ D → R eine differenzierbare Funktion mit Definitionsbereich D ⊆ R und f ′ die Ableitung von f . Die
Aussage ist immer (d.h. für jede solche Funktion f ) wahr.
Diese Übungsblätter finden Sie unter:
https://www.uni-koblenz-landau.de/de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/ana-sose16