Advent, Advent ein Lichtlein brennt

Knobelaufgabe Mathematikwettbewerb SS 2013
Wettbewerbsfrage:
In dieser Aufgabe dreht sich alles um die Zahl 2013. Warum nur?
Nein, das war noch nicht die Wettbewerbsaufgabe.
Diese lautet vielmehr:
Es sind laa...aange Listen gesucht.
Jede solche Liste soll 2013 ganze Zahlen enthalten, die der Größe nach sortiert sind (kein
Listeneintrag ist kleiner als der vorige)
und
• deren Summe 2013 ist
und
• deren Produkt 2013 ist.
Wie viele solcher Listen gibt es?
Zusatzfrage:
Welches ist die größte natürliche Zahl, die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:
• sie hat genau 2013 natürliche Zahlen als Teiler und
• sie ist durch 2013 teilbar.
(Anmerkung: bei den Teilern sind 1 und die Zahl selbst mitgezählt.)
Zusatzfrage zur Zusatzfrage: Wie lauten die beiden ersten Ziffern dieser Zahl? Wie die beiden
letzten Ziffern?
Lösung
Wettbewerbsfrage:
Die Primfaktoren von 2013 lauten 3, 11 und 61. Somit enthält eine erste gefundene Liste, die die ProduktBedingung erfüllt, die Zahlen 3, 11 und 61 je einmal und 2010-mal die Zahl 1. Da die Liste aber auch negative
Zahlen enthalten darf, müssen wir auch die Zahlen -1, -3, -11 und -61 ins Boot nehmen.
Es gilt nun, darauf zu achten, dass die Anzahl der Minuszeichen in der Liste gerade ist (da das Endergebnis der
Produktbildung positiv sein muss). Weiterhin müssen genau so viele (-1)er verwendet werden, dass die Summe
2013 ergibt.
Es ist zu beachten, dass die Zahl -61 nicht vorkommen kann, da man sonst für die Summenbildung mehr als 2010
Einsen benötigen würde.
Daraus ergeben sich die 4 folgenden Listen:
1. -1 (36-mal), 1 (1974-mal), 3, 11, 61
2. -11, -1 (25-mal), 1 (1985-mal), 3, 61
3. -3, -1 (33-mal), 1 (1977-mal), 11, 61
4. -11, -3, -1 (22-mal), 1 (1988-mal), 61
Zusatzfrage:
Ich zitiere hier die Lösung von Herrn Steffen Keller:
Sei 𝑧𝑧 die gesuchte Zahl und 𝑡𝑡 = 2013 die Anzahl ihrer Teiler.
Ihre Primfaktorzerlegung lautet dann:
𝑛𝑛
𝑎𝑎
𝑧𝑧 = � 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑖𝑖
𝑖𝑖=0
mit 𝑝𝑝𝑖𝑖 ≠ 𝑝𝑝𝑗𝑗 für 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 und 𝑎𝑎𝑖𝑖 aus ℕ, oBdA gelte 𝑝𝑝𝑖𝑖 < 𝑝𝑝𝑖𝑖+1 .
Anzahl der Teiler 𝑡𝑡:
𝑛𝑛
𝑡𝑡 = �(𝑎𝑎𝑖𝑖 + 1)
𝑖𝑖=0
Da 𝑡𝑡 = 2013 = 3 ⋅ 11 ⋅ 61 = (𝑎𝑎0 + 1) ⋅ (𝑎𝑎1 + 1) ⋅ (𝑎𝑎2 + 1), besteht 𝑧𝑧 nur aus 3 Primfaktoren der Häufigkeiten 2,
10 und 60.
Also gilt:
𝑧𝑧 = 32 ⋅ 1110 ⋅ 6160
Zusatzfrage zur Zusatzfrage:
Die ersten Ziffern sehr großer Zahlen lassen sich beispielsweise mithilfe des 10-er Logarithmus (lg) ermitteln. Es
gilt in diesem Beispiel:
lg(𝑧𝑧) = lg(32 ⋅ 1110 ⋅ 6160 ) = 2lg (3) + 10lg (11) + 60lg (61) = 118,48795946 …
Somit erhält man die ersten Ziffern dieser großen Zahl, indem man 100,48795946… berechnet.
Wir erhalten:
Also lauten die ersten beiden Ziffern 30.
100,48795946… = 3,0758 …
Die letzten beiden Ziffern lassen sich über die Modulo-Rechnung ermitteln. Es gilt:
Sie lauten demnach 09.
32 ⋅ 1110 ⋅ 6160 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 100) = 9 ⋅ 1 ⋅ 1 = 9