Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Elektrostatik
5
2.1
Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Elektrisches Potential und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.4
Gaußscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
i
Kapitel 1
Einleitung
Die Einteilung der Physik erfolgte früher nach den Sinneswahrnehmungen:
• Sehen → Optik
• Hören → Akustik
• Tasten → Mechanik
• Temperaturempfinden → Thermodynamik
• Schmecken, Riechen → Chemie
Aber: Die Sinne können täuschen! Deshalb werden messbare Größen benötigt. Die heute gängige
Einteilung erfolgt eher gemäß der Wechselwirkungen (WW):
• Gravitation: schwach, langreichweitig
relevant für Sterne und Planeten ⇒ Astronomie
• elektrische u. magnetische WW: stark, langreichweitig:
Relaivitätstheorie zeigt, dass magnetische und elektrische Wechselwirkung nicht voneinan-
1
2
KAPITEL 1. EINLEITUNG
der trennbar sind. Endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit elektrischer Felder bewirkt Magnetismus und umgekehrt. Grundlagen für die WW zwischen den Atomen ⇒ (Quanten-)
Chemie, Festkörperphysik, Elektronik, Materialwissenschaften,...
• starke u. schwache WW: stark, kurzreichweitig:
⇒ Kernphysik, Elementarteilchenphysik
Das Messen benötigt Normen bzw. Definitionen für Einheiten. Das wichtigste Einheitensystem
ist das S.I. (système international des unités). Es besteht aus 7 Basiseinheiten, von denen 4 für
den Elektromagnetismus von Bedeutung sind:
• Länge: Meter; [l] = m
historisch: Urmeter aus Platin in Paris ≈ 10−6 -ter Teil der Distanz vom Äquator → Pol
Problem: thermische Fluktuation → Ersetzung durch: Legierung aus 90% Platin und 10%
Iridium mit einer relativen Genauigkeit von 10−7 Heute: Definition als das 1, 6507 · 106 -
fache der Wellenlänge des Lichts, das beim Übergang eines Elektrons von 5d5 → 2p10 in
86
Kr emittiert wird (rel. Genauigkeit 10−8 ). Der wichtigste Aspekt der Neuerung ist die
ausschließliche Abhängigkeit von Fundamentalkonstanten.
• Zeit: Sekunde; [t] = s
Definiert durch einen Übergang in Cäsium. Minute ist keine S.I.-Einheit.
• Gewicht: Kilogramm; [m] = kg
Urkilogramm in Paris. Das Kilogramm ist die einzige Einheit, die noch über ein Vergleichsobjekt definiert ist. Problem: von 1950-1990 50 µg verloren. Zählen von Atomen
sehr schwierig.
• Stromstärke: Ampère; [I] = A
Definition über die Anziehungskraft zweier unendlich langer Drähte, die sich im Vakuum
in einem Meter Abstand befinden.
• 3 weitere Größen, die in diesem Kurs nicht weiter von Interesse sind.
3
Alle anderen Einheiten können aus den Basiseinheiten zusammengestzt werden.
Frequenz: [ω, ν, f ] = Hz = 1s ; Hertz
Kraft: [F ] = N =
kg·m
;
s2
Energie: [E] = J =
Newton
kg·m2
;
s2
Joule
Ladung: [Q] = C = A · s; Coulomb
und viele mehr
Das S.I. System ist ein metrisches System. Das heisst alle verwendeten Einheiten setzten sich aus
den Grundeinheiten - oder einem dezimalen Vielfachen davon - zusammen. Wichtige Kurzformen
für dezimale Vielfache:
103 = k, kilo;
106 = M, Mega;
109 = G, Giga;
1012 = T , Tera; 1015 = P , Peta
10−3 = m, milli; 10−6 = µ, mikro; 10−9 = n, nano; 10−12 = p, piko; 10−15 = a, atto
Auch üblich: d für dezi (10−1 ) und c für centi (10−2 )
Zurück zu den Wechselwirkungen:
Gravitationsgesetz:
F1 = γ
m1 · m2 R2 − R1
·
2
R12
R12
F1 : Kraft(vektor) auf Massepunkt 1 durch die Anwesenheit der Masse 2
γ: Gravitationskonstante 6, 67 · 10−11
mn : Masse des Körpers n = 1 , 2
m3
kg s2
(1.1)
4
KAPITEL 1. EINLEITUNG
R12 : Betrag des Abstandes zw. 2 Körpern
R12 =
q
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
Gravitation ist immer attraktiv!
y
m1
R1
R2 − R1
m2
R2
x
(1.2)
Kapitel 2
Elektrostatik
2.1
Elektrische Ladung
• Unterscheidung von Ladungen:
Man unterscheidet zwei Typen von Ladungen, die per Konvention als ”positiv” bzw. ”negativ” bezeichnet werden. Gleiche Ladungen stoßen sich ab, ungleiche Ladungen ziehen
sich an. Wie viele andere Größen ist auch die Ladung quantisiert und die kleinstmögliche
Einheit ist die ”Elementarladung”:
e = 1, 602 · 10−19 C
• für die Materialwissenschaft relevant:
QElektron = −e
QProton = 1e
Manchmal auch das Positron: QPositron = +e.
Positron ist Antiteilchen zu Elektron, d.h., Elektron und Positron zerstrahlen in Kollisionen
zu Energie. Positron postuliert von Dirac als Antiteilchen zum Elektron, da eine parasitäre
Lösung der Dirac Gleichung, die die Quantenmechanik und Relativitätstheorie vereinigt,
5
6
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
nicht wegdiskutiert werden konnte. Positronenspektroskopie misst freie Volumina in Festkrpern; wird insbesondere zur Untersuchung von Versetzungen und anderen Kristallfehlern
verwendet.
• Die Ladung ist eine strikte Erhaltungsgröße. Selbst auf kurzen Zeitskalen kommt es nicht
zu Schwankungen, wie z.B. bei der Energie, die im Rahmen der Unschärferelation, auf
kurzen Zeiten nicht erhalten sein muss.
Wechselwirkung zwischen Ladungen:
F1 = −
1 Q1 · Q2 R2 − R1
·
2
4π ε0 R12
R12
ε0 = 8, 854 · 10−12
(2.1)
C2
N · m2
Das Coulomb und Gravitationsgesetzt haben dieselbe Abhängigkeit vom Abstand der Partikel.
Deshalb hängt das Verhältnis der Stärke von Punktladungen nicht vom Abstand zweier
Punktladungen ab. Verhältnis der Stärke der Wechselwirkung des Coulomb-Potentials und der
Gravitation am Beispiel zweier Protonen:
|FG | = γ
⇒
m2p
2
R12
2
|FC |
1
e2
R12
= .... = 1, 24 · 1036
=
·
2
|FG |
4π ε0 R12
γ m2p
Es gilt das ”Superpositionsprinzip”
Fi =
X
j+i
−
1 Qi · Qj Rj − Ri
·
2
4π ε0 Rij
Rij
(2.2)
7
2.1. ELEKTRISCHE LADUNG
Beispiel 1: Berechnung der Gleichgwichtslage von Ladungen.
Q1 = −5
R1 = (0, 0, 0)
Q2 = −3
R2 = (10, 0, 0)
Gibt es eine Stelle, an der die Kraft auf eine dritte Ladung verschwindet?
y
Q1
Q2
x
Aus Symmetriegründen muss die gesuchte Ladung auf der x-Achse sitzen und im Bereich
0 < x < 10 liegen.
Kräftegleichgewicht, wenn alle Beträge der Kraft identisch sind:
Q1 · Q3
Q2 · Q3
1
1
2 =
4π ε0 (x1 − x3 )
4π ε0 (x2 − x3 )2
(2.3)
−5
−3
=
2
x3
(10 − x3 )2
Das Lösen der quadratischen Gleichung nach x3 liefert: x3 = 4, 36 und x3 = −34, 36.
Aus Symmetriegründen ist x = 4, 36 die richtige Lösung. Da
ging der Vektorcharackter des Coulombgesetzes verloren.
Rj − Ri
durch 1 ersetzt wurde,
Rij
8
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Das Superpositionsprinzip gilt auch für kontinuierliche Ladungsverteilungen.
Beispiel 2: Kraft eines homogen geladenen Drahtes auf eine Punktladung.
∆Q
Für einen homogen geladenen Draht ist die (Längen-) Ladungsdichte: λ =
= const. Unter∆x
teile Draht in Segmente der Länge ∆x, die jeweils die Ladung ∆Q tragen.
y
a
q
Rn + Ra
Ra
x
Draht
n Segmente:
Rn + Ra = (n · ∆x, −a, 0)
∆Q
Rn
Aus Symmetriegründen wird nur y-Komponente benötigt, weil sich Beiträge zu Ex von den
Segmenten n und −n gegenseitig auslöschen.
∞
X
∆Q
(n · ∆x, −a, 0)
q
√
Fq = −
2
2
2
4π ε0 n=−∞ n · ∆x + a
n2 · ∆x2 + a2
∆Q = ∆x λ
q X ∆x λ · (−a)
4π ε0 n (n2 · ∆x2 + a2 ) 23
Z ∞
∞
X
lim
∆x .... ⇒
dx .... gilt :
(Fq )y = −
mit
∆x→0
aqλ
(Fq )y =
4π ε
Einheiten :
= .... =
Z
∞
1
3
−∞
(x2 + a2 ) 2
x = x′ · a
[x] = m
qλ
·N
4π ε a
(2.5)
−∞
−∞
Substitution :
(2.4)
mit
dx
dx = a · dx′
[a] = m
Z ∞
N =
−∞
[x′ ] = 1
1
′2
1+x
′
23 dx
Wichtig: Die Substitution macht das Integral einheitenlos. Damit können wir das physikalische
Gesetz F ∝ 1/a ableiten, ohne irgendetwas rechnen zu müssen. N ist ein rein numerischer also
einheitenloser Ausdruck, der nicht von a abhängt.
9
2.2. ELEKTRISCHES FELD
2.2
Elektrisches Feld
Coulomb Gesetz: Fi ∼ Qi
Fi = Qi
X
j+i
|
1 Qj Ri − Rj
2
4π ε0 Rij
Rij
{z
}
(2.6)
elektrisches Feld am Ort Ri
Das elektrische Feld, das die Ladung am Ort Ri spürt - also das Feld, das von allen anderen
Ladungen erzeugt wird - ist lediglich eine Funktion des Ortes Ri der Ladung, aber nicht der
Ladung selbst an diesem Punkt.
Elektrisches Feld, das eine individuelle Ladung Qj am Ort R erzeugt:
E(R) =
R − Rj
Qj
4π ε0 |R − Rj |3
(2.7)
Man kann sehen, dass an jeder Stelle im Raum die Komponenten des E-Feldes kontinuierliche
Funktionen sind und differenzierbar, außer an der Stelle, an der eine Punktladung Qj sitzt - dort
divergiert das elektrische Feld - der Nenner der rechten Seite von Gleichung (2.7) ist null.
Qj ist positiv
positive Ladungen sind die Quellen des
elektrischen Feldes
Qj ist negativ
negative Ladungen sind die Senken des
elektrischen Feldes
Wie man aus Gleichung (2.6) ablesen kann, ist die Richtung des elektrischen Feldes so defi-
10
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
niert, dass es in Richtung der Kraft zeigt, die es auf eine positive Ladung ausübt. Damit laufen
die Feldlinien radialsymmetrisch aus einer positiven Punktladung heraus (Quelle) und in eine
negative Punktladung (Senke) hinein.
Allgemeine Eigenschaften von Feldlinien:
• Feldlinien haben keine Start- oder Endpunkte außer in Ladungen.
• Feldlinien kreuzen sich nicht, da das E-Feld an jedem Punkt im Raum (in dem keine
Punktladung sitzt) einen eindeutigen Wert hat und differenzierbar ist.
Dipole und Dipolfelder
Ein Dipol ist eine Ladungsverteilung, die aus zwei (oder auch mehreren) Ladungen besteht, die
in der Summe neutral ist (und kein verschwindendes erstes Moment hat, siehe unten), also im
Falle zweier Ladungen wiefolgt dargestellt werden kann:
−Q
+Q
d
Das Dipolfeld ergibt sich aus der Überlagerung der Felder der involvierten Ladungen. Es kann
wiefolgt skizziert werden:
11
2.2. ELEKTRISCHES FELD
Als idealen Dipol bezeichnet man den (hypothetischen) Grenzfall, in dem der Abstand zwischen
den Ladungen d → 0 geht und Q → ∞, sodass p = Q · d konstant bleibt. In vielen Situationen
kann man Dipole als ideal nähern, was deren mathematische Beschreibung ungemein vereinfacht,
z.B. die Wechselwirkung von Wassermolekülen in der Gasphase.
Eigenschaften von Dipolen:
• Die Kraft, die ein Dipol auf eine Probeladung ausübt, ist in der Regel nicht in Richtung
des Dipols gerichtet, d.h. der Dipol übt keine Zentralkraft aus.
• Das Feld eines Dipols hängt offensichtlich von seiner Orientierung bzw. Richtung ab Daher
ist er ein Vektor, der wiefolgt definiert ist (warum diese Definition sinnvoll ist sehen wir
X
später): p =
Qn Rn
z.B. bei H2 O
n
y
x
RO = 0; RH = (x0 , ±y0 , 0) ; p = QO ·0+QH ·((x0 , y0 , 0) + (x0 , −y0 , 0)) = 2QH x0 (1, 0, 0)
Der Dipol liegt also auf der x-Achse und entspricht dem Dipol, den man hätte wenn beide
H-Atome auf der x-Achse lägen.
• Einheit des Dipols: [p] = C · m
”typische” molekulare Dipolmomente: ≈ 1, 6 · 10−29 Cm
Angabe sehr unpraktisch ⇒ Einfhrung der Einheit Debye D
12
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
[p] = 1 D = 3, 336 · 10−30 Cm
in der Gasphase:
pCO = 0, 11 D
|
pH2 O = 1, 8 D (gas)/ 2, 3 D (liq)
{z
pNaCl = 8, 5 D
}
Wir sehen, dass für die kondensierten Phasen (fest, flüssig) dieser Moleküle (die jeweils eine
abgeschlossene Elektronenschale haben und daher miteinander weder eine kovalente noch
eine metallische Bindung miteinander eingehen) die Schmelztemperatur und Siedetemperatur stark mit dem Dipolmoment ansteigen. Der Dipol ist damit eine wichtige Größe zum
Verständnis der Materialeigenschaften dieser und vieler anderer Substanzen.
• Da der Dipol die Einheit C·m (statt [Q]=C) hat, muss sein E-Feld für große Abstände wie
1/R3 abfallen - statt 1/R wie bei einer Punktladung.
Anmerkung für Fortgeschrittene: Eine Ladungsverteilung, die sich aus zwei identischen aber
entgegengesetzt gerichteten Dipolen zusammensetzt, hat keinen (endlichen) Dipol. Die Ladungsverteilung wird dann in führender Ordnung als Quadrupol beschrieben, der die Einheit C·m2 hat
und ähnlich wie das Trägheitsmoment in der Mechanik ein 2. Moment darstellt. Ein Quadrupol
wird - wie das Trägheitsmoment auch - über eine Matrix (genau genommen einen Tensor zweiter
Stufe) beschrieben. Das Feld eines Quadrupols muss aus Einheitengründen mit 1/R4 abfallen.
Elektrisches Feld einer homogen geladenen Platte
Das Feld eines geladenen Rings auf seiner Symmetrieachse ergibt sich zu:
E(Achse) = Ex · ex
Ex =
1
Q·x
√
3
4π ε0
R2 + x2
Wir betrachten nun einen Ring endlicher Breite ∆R als Teil einer Ebene. Diese Ebene habe eine
konstante (Flächen-)Ladungsdichte.
σ=
∆Q
= const.
∆A
13
2.2. ELEKTRISCHES FELD
y
R + ∆R
R
X
x
Die Ladung auf einem Ring ergibt sich damit zu:
2
2
∆Q = σ πRaußen
− πRinnen
= σπ (R + ∆R)2 − R2




= σπ R2 + 2R · ∆R + O ∆R2 −R2 
| {z }
Ordnung
≈ 2π R · ∆R · σ,
(2.8)
sprich die Fläche eines Rings in der Ebene ist Umfang mal Breite - von Korrekturen der Ordung
Breite/Umfang abgesehen. ⇒ Beitrag zum Feld durch einen Ring mit Radius R und Breite ∆R:
∆E =
x R · ∆R
1
(2π σ) · √
3
4π ε0
R2 + x2
(2.9)
Nun muss über unendlich viele solcher Ringe addiert werden. Wir führen wie vorher auch schon
den Übergang von einer Summation zu einem Integral via
X
Ringe
∆R...... →
Z
0
∞
dR.........
14
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
durch.
Ex
σ
=
2 ε0
Z
∞
0
√
xR
R2 + x2
3 dR
R
dR
Substitution : r = ; dr =
macht Integrationsvariable einheitenlos
x
Z ∞ x
σ
r
=
√
3 dr
2 ε0
0
1 + r2
|
{z
}
rein numerischer Ausdruck N = 1
σ
=
2 ε0
⇒ Feld der Platte wird nur über die Oberflächenladungsdichte definiert, also
E∼σ
[σ] =
Q
R2
Felder homogen geladener Platten:
≈
d
A = π · L2
15
2.2. ELEKTRISCHES FELD
An den Ecken des Kondensators im Bereich der Ordnung d kommt es zur Ausbildung signifikanter
Störfelder. Ist d >> L ergibt sich ein Dipol.
Felder an Metalloberflächen
Metalle haben freie Ladungsträger, die sich so lange bewegen bis kein E-Feld mehr im Metall
besteht.
E-Feld bewirkt Ladungsfluss, sodass
die
transversale
Komponente
Feld einer Ladung vor Metalloberfläche
verQ
schwindet.
E-Feld
Metall
E-Feld
Metall
• im Metall keine Feldlinien
• ABER: Feldlinien laufen in die Ladung
Metall
⇒ auf Metallen stehen Feldlinien senkrecht
Das Feld vor einer Metallplatte sieht also ähnlich aus wie das Feld eines realen Dipols, der
aus zwei Ladungen besteht. In der Tat sind die Felder sogar identisch, was relativ zwanglos
mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes, einer alternativen Formulierung des Coulombschen Gesetzes,
gezeigt werden. Die Punktladung sitzt also in einem Feld, das genauso groß ist wie das Feld einer
entgegengesetzten “Spiegelladung” im Metall. Daher werden Ladungen von Metalloberflächen
angezogen.
16
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Bewegung einer Punktladung in einem externen E-Feld
Zwei planparallele Platten sind auch als Plattenkondensatoren bekannt. Diese finden unzählige
Anwendung in elektronischen Geräten. Eine ist die gezielte Ablenkungen von Elektronen oder
anderen Ladungsträgern auf einen Schirm oder ein Target. Die Grundzüge der Dynamik dieser
Ladungen werden hier kurz angerissen.
• Braunsche Röhre, Kathodenstrahlröhre
v
Schirm
e−
Lk
Ls
Die Überlegungen sind analog zum freien Fall ode zum schiefen Wurf in der Mechanik.
Typische Fragestellung: Wie hängt die Position an der die Ladung auf den Schirm trifft
von Ey , vx , Lk , Ls ab?
Anfangsbedingungen:
v = (vx , 0)
a=
⇒ Zeit im Kondensator :
q
· (0, Ey )
m
tkond =
Lk
vx
Beim Austritt:
L 2
1 q
k
y =
Ey ·
2 | m{z }
vx
}
| {z
a
t2
L q
k
Ey ·
vy =
m
vx
(2.10)
(2.11)
17
2.3. ELEKTRISCHES POTENTIAL UND ENERGIE
2.3
Elektrisches Potential und Energie
Aus der Mechanik wissen wir, dass die Arbeit ∆U, die an einem Massepunkt verrichtet wird,
wenn dieser um einen (kleinen) Vektor ∆r verschoben wird, sich zu
∆U = −F · ∆r
(2.12)
= − |F| |∆r| · cos α
errechnet. Sind ∆r und F entgegengesetzt, verrichten wir also Arbeit an dem Massepunkt, sind
sie jedoch parallel verrichtet der Massepunkt Arbeit an uns.
∆r
α
F
Wenn ∆r parallel zu ex ist
∆U = −Fx (x, y, z) ∆x
(2.13)
Es gibt Kräfte bzw. Wechselwirkungen, für die es eine eindeutige Funktion gibt, sodass
∆U .
Fx = − lim
∆x→0 ∆x y,z=const
(2.14)
Kräfte, deren drei Komponenten sich als Ableitungen einer Stammfunktion U(x, y, z) gemäß
Gleichung 2.14 schreiben lassen (implizit ∆x → 0), heißen konservative Kräfte:
Fx
∆U = − lim −
∆x→0
∆x y,z=const
∂
U(x, y, z).
= −
∂x
(2.15a)
(2.15b)
18
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Hierbei ist Gleichung (2.15b) die Kurzschreibweise zu Gleichung (2.15a). Man spricht von einer
partiellen Ableitung einer Funktion, wenn eine Ableitung gemäß Gleichung (2.15) gebildet wird.
Analog gilt z.B. für eine partielle Ableitung nach der y Komponente:
∂ U(x, y, z) = lim
∆y→0
U(x, y + ∆y, z) − U(x, y, z)
.
∆y
Nicht alle Kräfte lassen sich (in offensichtlicher Weise) als Ableitungen von einer skalaren Funktion schreiben. Beispiele sind alle Kräfte, die von der Geschwindigkeit abhängen, wie z.B. die
Stoke’sche Reibungskraft, oder - wie wir später sehen - die Kraft auf eine bewegte Ladung in
einem Magnetfeld.
Die Stammfunktion einer konservativen Kraft heißt potentielle Energie
• 1. Beispiel:
Betrachten wir einen Massepunkt im Schwerefeld der Erde, das wir in der Nähe der Erdoberfläche als konstant annehmen können. Das Schwerefeld bewirkt eine Kraft der Größe
F = −m · g · ez , wobei m die Masse ist, g ≈ 9.8 m/s2 ist die Erdbeschleunigung, ez ein
Einheitsvektor senkrecht zur Erdoberfläche.
g
F = −m g · ez
Die potentielle Energie, die diese Kraft bewirkt, ist
U(x, y, z) = m · g · z + U0 ,
wobei z die Höhe des Massepunktes bezeichnet.
”Beweis”:
Fz
sowie:
Fx
∆U ∂U
= − lim
=−
∆z→0 ∆z ∂z
x,y=const
∂U
=0
=−
∂x
= −m · g
19
2.3. ELEKTRISCHES POTENTIAL UND ENERGIE
Analoge Betrachtungen wie für ... gilt für ein Teilchen vor einer homgen geladenen Platte.
Äquipotentiallinien sind Bereiche konstanter potentieller Energie.
g
• 2. Beispiel:
U(x, y)
y
x
1 2
kr
2
1
=
k x2 + y 2 + z 2
2
U =
∂U
= −k · x
∂x
∂U
Fy = −
= −k · y
∂y
∂U
= −k · z
Fz = −
∂z
Fx = −
(2.16)
Daraus folgt die Newtonsche Bewegungsgleichung:
m ẍ = −k x
m ÿ = −k y
m z̈ = −k z
⇒ in kompakter Vektorschreibweise: m r̈ = −k r
20
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Die Lösung der Bewegungsgleichung ist Inhalt der Dynamik.
Zentralpotential
Hängt eine potentielle Energie U(x, y, z) nur vom ”Abstand” r =
Potential ”Zentralpotential”
p
x2 + y 2 + z 2 ab, heißt das
Spezialfälle von Zentralpotentialen:
U = const. · r n
n=
2
entspricht dem harmonischen Oszillator
(2.17)
n = −1 elektrisches Pot. einer Punktladung/Gravitationspotential
Kräfte aus Zentralpotentialen:
∂
U(r)
∂x
dU ∂r
= −
dr ∂x
Fx = −
(2.18)
U hängt nur von einer Variablen, nämlich r ab. r selbst hängt jedoch von 3 Variablen ab (⇒
partielle Ableitung).
Nebenrechnung (mit U aus 2.17):
dU
= n · const · r n−1
dr
∂ p 2
∂r
=
x + y2 + z2
∂x
∂x
11
· 2x
=
2r
x
=
r
y, z = const
Einsetzen in 2.18 liefert für die Kraft
x
⇒ Fx = − n · const · r n−1 ·
r
2.3. ELEKTRISCHES POTENTIAL UND ENERGIE
21
Zwei Spezialfälle:
• n = 2; const=
k
2
k 2−1 x
⇒ Fx = − 2 · r
= −k x
2
r
• n = −1; const=
(2.19)
Q1 · Q2
4 π ε0
Fx
Fy
Fz
Q1 · Q2 (−1)−1 x
= − (−1) ·
r
4 π ε0
r
Q1 · Q2 1 x
=
4 π ε0 r 2 r
y
′′
′′
=
r
z
′′
′′
=
r
⇒
F=
Q1 · Q2 1 r
4 π ε0 r 2 r
(2.20)
(2.21)
⇒ Die potentielle Energie zweier Ladungen ist
U(r) =
Q1 · Q2 1
4 π ε0 r
(2.22)
Definiere das Potential, das eine elektrische Ladung Q hat, die im Ursprung sitzt als:
U=
Q 1
4 π ε0 r
(2.23)
22
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Äquipotentiallinie ⊥ E
Q
E-Feld
[U] =
J
[Energie]
= = Volt
[Ladung]
C
S.I.-Einheit
Die abgeleitete Einheit eV also ”Elektronenvolt” ist gängig aber keine S.I.-Einheit. Sie ermöglicht
aber schnelles Umrechnen in S.I. Einheiten:
1 eV = 1 e · 1 V
Das eV ist eine sinnvolle Einheit für viele elementare Prozesse. Eine Energie von 13.6 eV bedarf es, um atomaren Wasserstoff zu ionisieren. Die Energie elektromagnetischer Strahlung im
sichtbaren Bereich liegt bei 1.6 eV bis 3.4 eV. Die thermische Energie bei Raumtemperatur
(T = 300 K) ist circa 1/40 eV.
23
2.4. GAUSSSCHER SATZ
2.4
Gaußscher Satz
Das Feld einer Punktladung genügt der Gleichung:
|E| =
1 Q
4 π ε0 r 2
Desweiteren berechnet sich die Oberfläche einer Kugel, deren Punkte vom Mittelpunkt den
Abstand r haben zu: A = 4 π r 2 . Deshalb ist das Produkt aus E = |E| (auf der Kugeloberfläche,
also bei konstantem r) und A:
E·A = =
=
Q
ε0
1 Q
4 π ε0 r 2
· 4 π r2
(2.24)
eine Konstante.
Nun ist E ein Vektor. Ebenso kann man einen Flächenvektor A definieren, der senkrecht auf
einer Oberfläche eines Objektes (Volumens) steht und von innen nach außen zeigt, z.B. würde
man die Oberfläche eines “Deckel” eines Kubus mit Kantenlänge a, der entlang der kartesischen
Koordinaten ausgerichtet ist, mit ADeckel = a2 ez bezeichnen. Die Oberfläche des “Bodens” wäre
dann ABoden = −a2 ez .
Für gekrümmte Oberflächen, wie die einer Kugel, kann man nur kleine Oberflächensegmente
betrachten, die man (meist) lokal als nicht gekrümmt annähren kann. Als Beispiel diene die
Oberfläche der Erde, die lokal flach erscheint. Bei einer Kugel ist das Oberflächensegment parallel
zu r, wenn der Schwerpunkt der Kugel im Koordinatenzentrum liegt. Also ist dA parallel zu r.
Wir können also Gleichung 2.24 auch schreiben, indem wir kleine Oberflächensegmente betrachten und dann jeweils deren Beiträge dA · E über die gesamte Kugeloberfläche summieren. Das
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KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
resultierende Integral schreibt man formal wiefolgt:
I
Dabei bedeutet das Symbol
H
E dA =
1
Qeingeschlossen .
ε0
(2.25)
dA... eine Summation bzw. Integration über eine geschlossene
Oberfläche, also über die Hülle eines Volumens.
⇒ ∆A · r = ∆A · r · cos α,
wobei α der Winkel zwischen ∆A und r ist. Auf der Kugeloberfläche, deren Schwerpunkt im
Ursprung des Koordinatensystems liege, ist cos α = 1.
Man kann den Ausdruck dA · E auch als “Fluss” des Vektorfeldes E durch die Oberfläche
bezeichnen. Betrachten wir als Beispiel wieder unseren Kubus und nehmen ein konstantes EFeld der Form E0 · ez an, also eins das parallel zur z-Achse ist. Die Feldlinien treten dann durch
den Boden ein, wo dA · E negativ ist und sie treten durch den Deckel wieder aus, wo dA · E
positiv wäre. Insgesamt treten also gleich viele Feldlinien ein wie aus. Durch die Seiten geht kein
H
“Fluss”, weil in diesem Beispiel E · ex = 0 bzw. E · ey = 0. In diesem Beispiel würde dA · E = 0
gelten, sprich es gibt keinen resultierenden Fluss in den Kubus, denn es fließt durch den Boden
soviel hinein, wie durch den Deckel wieder hinausfließt. Der Begriff “Fluss” stammt im Übrigen
aus der Strömungslehre, in der man den Begriff dann durchaus wörtlich nehmen darf.
Betrachten wir wieder den allgemeinen Fall. Dazu gibt es einige Anmerkungen:
Anmerkungen:
• Gleichung 2.25 gilt auch, wenn die Ladung nicht im Zentrum der Kugel sitzt (ohne Beweis).
• Gleichung 2.25 gilt auch, wenn die Oberfläche eine beliebige Form hat (wieder ohne Beweis).
• Gleichung ist isomorph (mathematisch identisch) zum Coulomb-Gesetz.
• Eine radialsymmetrische Verteilung ρ (R) = ρ (|R|) kann so behandelt werden, als sei die
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2.4. GAUSSSCHER SATZ
gesamte Ladung im Schwerpunkt der Ladungsverteilung vorhanden.
Es sei angemerkt, dass alles, was wir hier gesagt haben, ebenso für das Gravitationsgesetzt gilt,
das abgesehen von Konstanten mit dem Coulomb-Gesetz identisch ist. Insbesondere der letzte
Punkt unserer Anmerkungen spielt im Gravitationsgesetz eine wichtige Rolle: Die Gravitationswirkung eines Planeten, den man in aller Regel als kugelsymmetrisch annehmen kann, entspricht
der Wirkung einer “Punktmasse”, sprich der Gesamtmasse des Planeten, die im Schwerpunkt
des Planeten vereinigt ist. Dies gilt auch, wenn die Objekte sich sehr nahe an Planeten befinden,
wie z.B. Satelliten.
Würde das Coulomb-Gesetz von 1/r 2 abweichen, könnte man das Konzept von Punktmassen,
oder analog Punktladungen, nicht vornehmen. So ist die Anziehungskraft zwischen zwei homogenen, nichtgeladenen Kugeln auf der Erde nicht einfach eine Funktion des Abstandes ihrer
Schwerpunkte, weil die dominierende van-der-Waals Kraft mit 1/R6 statt mit 1/R2 abfällt.
Aus Gleichung 2.25 folgt, dass der Gesamtfluß von elektrischen Feldlinien durch eine geschlossene
H
Oberfläche gleich null ist, wenn sie keine Ladung umschließt. Ist dA · E positiv bzw. negativ
muss die von der Oberfläche eingeschlossene Ladung in ihrer Summe jeweils positiv bzw. negativ sein. Deshalb haben wir vorher davon gesprochen, dass positive Ladungen die Quellen des
elektrischen Feldes sind und negative Ladungen ihre Senken. Ebenso bekommt der Satz, dass
elektrische Felder Start- und Endpunkte nur in Ladungen haben, eine tiefere Bedeutung.
Betrachte den links gezeichneten (infinitesimal) dünnen Diskus. Für ihn gilt:
I
E dA = 0
Jeder ”Fluss” des Feldes, der in ein Volumen geht (E dA), geht auch wieder
unverändert heraus, da keine Ladung
im (Diskus-) Volumen enthalten ist.
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KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
E dA = positiv
negativ
Wenn wir über einen Dipol integrieren, sodass beide Ladungen von unserer
Oberfläche eingeschlossen sind, gilt:
+
−
Qeing. = +e + (−e)
= 0
⇒
I
E dA = 0
Weitere Konsequenzen des Gauss’schen Satzes sind:
• Eine Kugel mit homogener Oberflächenladung hat kein inneres E-Feld. Das Konzept des
Massenpunktes bzw. Ladungspunkt bezieht sich also nur auf die Massen/Ladungen, die
einen kleineren Abstand vom Ursprung haben als man selbst.
• Induzierte Ladungen in Metallen sitzen auf Oberflächen. Ansonsten hätte man elektrische
Feldlinien innerhalb eines Metalls, was aber nicht erlaubt ist, weil dann Ladungen anfangen
zu fließen, die das E-Feld kleiner machen.
Anwendungen: Berechnung elektrischer Felder von hochsymmetrischen Strukturen
1. Beispiel: Feld einer homogen geladenen Kugel.
Die Kugel habe den Radius R und die konstante Ladungsdichte ρ =
∆Q
.
∆V
Berechne das innere E-Feld einer homogen geladenen Kugel mit der Ladungsdichte Aus Symmetriegründen: E ↑↑ r (Kugel im Zentrum)
⇒
I
E dA = E · A = E · 4 π r 2
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2.4. GAUSSSCHER SATZ
Berechnung der eingeschlossenen Ladung für r ≤ R:
Qeing. = ρ · V
4π 3
= ρ·
·r
3
Eingesetzt in den Gaußschen Satz:
1
4π 3
E ·4πr =
·ρ·
·r
ε0
3
ρ
·r
E =
3 · ε0
2
Innerhalb der Kugel steigt das Feld linear an. Außerhalb muss es gemäß des Coulombgesetzes
abfallen. Daher ergibt sich folgendes Bild:
|E|
RKugel
Interessant: Im Ursprung ist E = 0, was aber aus Symmetriegründen sowieso unvermeidbar war.
Eine Einheitenanalyse hätte uns schon ahnen lassen müssen, dass E ∝ ρr sein muss, da das
innere Feld gemäß Gauß nicht vom äußeren Radius abhängen kann. ([ρ] = C/m3 )
2. Beispiel: Homogen geladener Draht
Der als undendlich dünne genäherte Draht habe eine homogene (Linien-) Ladungsdichte λ =
∆Q
= const.
∆Z
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KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
z
r
Wenn der Draht durch den Ursprung (0, 0, 0) geht
und auf der z-Achse liegt mit R = (x, y, z) ⇒
E (R) = E ·
1
·
(x, y, 0)
| {z }
x2 + y 2
| {z }
radialer Vektor
Abstand von z-Achse
p
z
ADeckel = π · r 2 · ez
Da E ↑↑ ex
⇒ kein Fluss durch den Deckel
ADeckel = −ABoden
|ASeite | = (2 π · r) · |{z}
∆z
| {z }
Umfang
⇒
⇒
I
Höhe
ASeite ↑↑ E
E dASeite = ASeite · E(r) = (2 π r · ∆z) · E(r)
Qeing. = λ · ∆z
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2.4. GAUSSSCHER SATZ
(2 π r · ∆z) · E(r) =
Gleichsetzen liefert:
⇒ E(r) =
λ · ∆z
ε0
λ
2 π ε0 r
Siehe hier Gleichung 2.5, in der wir den Abstand vom Draht mit a statt mit r bezeichnet haben.
Die numerische Konstante N , die wir in Gleichung 2.5 haben, ist also N = 2.
Die Berechnung des E-Feldes hat sich durch den Gauß’schen Satz stark vereinfacht - und kann
nun mit etwas Übung in zwei Zeilen geschehen, statt über die Berechnung eines (komplizierten)
Integrals. Allerding mussten wir dazu etwas Mathematik lernen.
3. Beispiel: Feld einer homogen geladene Platte
Die als unendlich dünn genäherte Platte liege in der xy Ebene und habe eine konstante Flächen∆Q
ladungsdichte σ =
∆A
⇒ E ↑↑ ez
:
z>0
E ↑↓ ez
:
z<0
⇒ E · ∆ADeckel = E · ADeckel
E · ∆ABoden = |E| · |ABoden |
Es findet kein Fluss durch die Seiten statt
E · ∆ASeite = 0
I
E dA = E · ADeckel + E · ABoden
A = ABoden = ADeckel
Qeing. = σ · A
eingeschlossene Ladung:
⇒ 2A·E =
1
·σ·A
ε0
oder
E=
σ
2 ε0
Dies ist auch ein Ergebnis, das wir vorher nur mit sehr viel mehr Aufwand erzielen konnten.