Sn - Cornelsen Verlag

Das große Tafelwerk
Mathematik
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interaktiv 2.0
067-1
Definition des Integrals mit Ober- und Untersummen
Es sei f eine auf a, b definierte beschränkte Funktion.
Das Intervall a, b werde durch reelle Zahlen xi, i = 0, 1, …, n mit a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b
in n Teilintervalle zerlegt.
Es sei Mi die kleinste obere Schranke und mi die größte untere Schranke der Funktionswerte von f im
Teilintervall xi-1, xi.
Sn =
n

M i ( xi  xi 1)
heißt Obersumme, sn =
n
 m (x  x
i
i
i 1 )
heißt Untersumme der Funktion f für die
i 1
i 1
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vorgenommene Zerlegung.
Die Funktion f heißt integrierbar auf a, b genau dann, wenn gilt:
(1) Für jede Folge von Zerlegungen des Intervalls a, b mit der Eigenschaft, dass die Längen der
längsten Teilintervalle von Zerlegung zu Zerlegung eine Nullfolge bilden, konvergieren die
Folgen (Sn) und (sn) der Ober- und der Untersummen der Funktion f zur n-ten Zerlegung gegen
denselben Grenzwert.
(2) Der gemeinsame Grenzwert der Folgen (Sn) und (sn) hängt nicht von der speziellen
Zerlegungsfolge ab, solange diese die Eigenschaft (1) hat.
Definition des bestimmten Integrals
Ist eine Funktion f auf dem Intervall a, b integrierbar, so heißt der gemeinsame Grenzwert der
Folgen (Sn) und (sn) der Ober- und Untersummen das bestimmte Integral der Funktion f auf dem
Intervall a, b. Man schreibt dann:
b
 f ( x) dx  lim S
a
n
n
 lim sn
n 
Für a = b und a > b setzt man fest:
b
a

a
f ( x)dx  0 und

a
a

f ( x)dx   f ( x)dx , falls a > b ist.
b
Bemerkung: Aus dieser Definition ergibt sich recht anschaulich, dass das bestimmte Integral als
Flächeninhalt, genauer als Flächenbilanz, d. h., als gewichtete Summe von Flächenstücken gedeutet
werden kann, denn die Bildung der Unter- und Obersummen ist ja nichts anderes als eine immer
genauere Ausschöpfung bzw. Überdeckung der Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der
x-Achse durch Rechtecksflächen.
Manchmal wird das bestimmte Integral deshalb von vornherein als Flächenbilanz definiert. Das ist
zunächst viel einfacher, weil man sich nicht mit Zerlegungsfolgen und Eindeutigkeits- und
Konvergenzfragen befassen muss. Dieses Vorgehen ist aber von einem streng mathematischen
Standpunkt aus nicht ausreichend, weil dabei zunächst ungeklärt ist, ob und auf welche Weise einer
teilweise von einem Funktionsgraphen begrenzten Fläche stets ein wohldefinierter Flächeninhalt
zugeordnet werden kann. Die Definition mit Ober- und Untersummen liefert gerade darauf die
Antwort: Der fragliche Flächeninhalt kann definiert werden als der Wert des bestimmten Integrals
(falls dieses existiert).
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