Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ-LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2016
Blatt 12
Abgabetermin: 11.07.2016
Aufgabe 46
(1+2+1=4 Punkte)
f ∶ R → R, f (x) = x3
Gegeben sei die Funktion:
b
Weiterhin sei b > 0 fest. Ziel dieser Aufgabe ist die Berechnung des Integrals ∫ f (x) dx.
0
n
(a) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
∀n ∈ N ∶ ∑ k 3 = 41 n4 + 21 n3 + 41 n2
k=0
(b) Für n ∈ N betrachten wir die äquidistante Partition Zn des Intervalls [0, b], also:
Zn = (Zn,k )k=0,...,n
mit
Zn,k = 0 + k ⋅
b−0
(k = 0, . . . , n)
n
Berechnen Sie U (f, Zn ) und O(f, Zn ) in Abhängigkeit von b und n.
(c) Folgern Sie aus (b), dass f auf [0, b] integrierbar ist und bestimmen Sie den Wert des
b
Integrals ∫ f (x) dx in Abhängigkeit von b.
0
Aufgabe 47
(2+2=4 Punkte)
f ∶ R ∖ {0} → R, f (x) =
Gegeben sei die Funktion:
1
x
b
Weiterhin sei b > 1 fest. Ziel dieser Aufgabe ist die Berechnung des Integrals ∫ f (x) dx.
1
(a) Für n ∈ N betrachten wir die durch
Zn = (Zn,k )k=0,...,n
mit
Zn,k = bk/n (k = 0, . . . , n)
gegebene Partition Zn des Intervalls [1, b].
Zeigen Sie, dass:
U (f, Zn ) = n ⋅ (b1/n − 1) ⋅ b−1/n
und O(f, Zn ) = n ⋅ (b1/n − 1)
für alle n ∈ N
(b) Folgern Sie aus (a), dass f auf [1, b] integrierbar ist und bestimmen Sie den Wert des
b
Integrals ∫ f (x) dx in Abhängigkeit von b.
1
bx −1
x→0 x
Hinweis: Mit dem Satz von l’Hospital können Sie lim
bestimmen. Wenn Sie in diesen
Grenzwert die Nullfolge für x einsetzen, so erhalten sie den Grenzwert lim O(f, Zn ). Der
n→∞
Grenzwert der Untersummen ergibt sich dann daraus recht einfach.
1
n
Aufgabe 48
(2+2=4 Punkte)
(a) Gegeben sei die Funktion:
f ∶ R → R, f (x) = {
1 , falls x ∈ Q
}
0 , falls x ∈ R ∖ Q
und ein beliebiges Intervall [a, b] ⊂ R (mit a < b).
Zeigen Sie, dass f nicht integrierbar auf [a, b] ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass alle Untersummen von f auf [a, b] den gleichen Wert haben (welchen?) und dass auch alle Obersummen den gleichen Wert haben (welchen?).
(b) Gegeben sei nun die Funktion:
g ∶ R → R, g(x) = {
1 , falls x ∈ Z
}
0 , falls x ∈ R ∖ Z
und ein beliebiges Intervall [a, b] ⊂ R (mit a < b).
b
Zeigen Sie, dass g integrierbar auf [a, b] ist und bestimmen Sie ∫ g(x) dx.
a
Hinweis: Zeigen Sie, dass alle Untersummen von f auf [a, b] den gleichen Wert haben (welchen?) und dass man mit geeigneten Obersummen beliebig nahe an diesen Wert herankommt.
(Beachten Sie dabei, dass nur endlich viele ganze Zahlen in [a, b] liegen können.)
Aufgabe 49
((2+2)+1=5 Punkte)
Gegeben sei ein Intervall [a, b] ⊂ R und eine monoton wachsende Funktion f ∶ [a, b] → R.
(a) Für n ∈ N betrachten wir die äquidistante Partition Zn des Intervalls [a, b], also:
Zn = (Zn,k )k=0,...,n
mit
Zn,k = a + k ⋅
b−a
(k = 0, . . . , n)
n
(i) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt:
O(f, Zn ) − U (f, Zn ) = (f (b) − f (a)) ⋅
b−a
n
(ii) Fertigen Sie eine Skizze an, in der Sie
O(f, Zn ) − U (f, Zn )
als Flächeninhalt darstellen. (Wählen Sie dazu eine geeignete Funktion f sowie
ein n ∈ N.) Begründen Sie dann die Gleichheit aus (i) auch mit Hilfe Ihrer Skizze.
(b) Folgern Sie aus (a), dass f integrierbar auf [a, b] ist.
Anmerkung: Für monoton fallende Funktionen lässt sich völlig analog zeigen, dass sie stets
integrierbar sind.
Diese Übungsblätter finden Sie unter:
https://www.uni-koblenz-landau.de/de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/ana-sose16