Logik für Informatiker Musterlösung Aufgabenblatt 7

Universität Koblenz-Landau
SS ’06
Institut für Informatik
Bernhard Beckert
· www.uni-koblenz.de/~beckert
Claudia Obermaier · www.uni-koblenz.de/~obermaie
Cristoph Gladisch
· www.uni-koblenz.de/~gladisch
Übung zur Vorlesung
Logik für Informatiker
Musterlösung Aufgabenblatt 7
Aufgabe 24
Zeigen Sie mit Hilfe des Tableaukalküls, daß die folgenden Formeln allgemeingültig sind:
(1) F1 = A ∧ (B ∨ C) → (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
Lösung:
Die Formel ist genau dann allgemeingültig, wenn ihr Negat
¬F1 = ¬(A ∧ (B ∨ C) → (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) unerfüllbar ist. Wir konstruieren ein
Tableau für ¬F1 :
1
A ∧ (B ∨ C)
¬((A ∧ B) ∨ (A ∧ C))
¬(A ∧ B)
¬(A ∧ C)
A
B∨C
HH
H
B
C
H
H
H
H
¬A
?
¬B
?
¬A
?
¬C
?
Da alle Zweige des Tableaus geschlossen sind, ist F1 allgemeingültig.
(2) F2 = ¬(A ∧ B) → ¬A ∨ ¬B
Lösung:
Die Formel ist genau dann allgemeingültig, wenn ihr Negat
¬F2 = ¬(¬(A ∧ B) → ¬A ∨ ¬B) unerfüllbar ist. Wir konstruieren ein Tableau für
¬F2 :
1
¬(A ∧ B)
¬(¬A ∨ ¬B)
¬¬A
¬¬B
A
B
H
H
¬A
?
¬B
?
Aufgabe 25
Untersuchen Sie mit Hilfe des Tableaukalküls, ob
(1) (P → Q) ∧ (Q → R) |= P → R gilt.
Lösung:
(P → Q) ∧ (Q → R) |= P → R gilt genau dann, wenn
(P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R) allgemeingültig ist. Wir konstruieren ein Tableau
für ¬((P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)):
2
1
(P → Q) ∧ (Q → R)
¬(P → R)
P
¬R
P →Q
Q→R
HH
¬P
?
Q
H
H
¬Q
?
R
?
Da das Tableau zu ¬((P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)) geschlossen ist, gilt
(P → Q) ∧ (Q → R) |= P → R.
(2) (P ∨ Q) ∧ ¬P |= Q gilt.
Lösung:
(P ∨ Q) ∧ ¬P |= Q gilt genau dann, wenn (P ∨ Q) ∧ ¬P → Q allgemeingültig ist.
Wir konstruieren ein Tableau für ¬((P ∨ Q) ∧ ¬P → Q):
1
(P ∨ Q) ∧ ¬P
¬Q
P ∨Q
¬P
H
P
?
Q
?
Da das Tableau zu ¬((P ∨ Q) ∧ ¬P → Q) geschlossen ist, gilt (P ∨ Q) ∧ ¬P |= Q.
Bernhard Beckert: Zi. B218, Tel. 287-2775, [email protected]
Claudia Obermaier : Zi. B219, Tel. 287-2773, [email protected]
Christoph Gladisch: [email protected]
Materialien: http://www.uni-koblenz.de/~beckert/Lehre/Logik/
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