Topologie - Blatt 6: Trennungsaxiome und Kompaktheit

Topologie
M. Eisermann / A. Thumm
WiSe 2014 / 2015
Blatt 6: Trennungsaxiome und Kompaktheit
1. T RENNUNGSAXIOME : B EISPIELE UND G EGENBEISPIELE
1.1. Die Menge N mit koendlicher Topologie erfüllt T1 aber nicht T2 .
1.2. Man finde jeweils einen topologischen Raum (X, T ), wobei die Menge X endlich
und so klein wie möglich sein soll, sodass gilt:
(a) T4 aber nicht T3 .
(b) T4 und T3 aber nicht T2 .
V 1.3. Für jeden topologischen Raum (X, T ) sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) X ist ein T1 –Raum.
(b) Jede einpunktige Menge {x} ⊂ X ist abgeschlossen.
(c) Jede Menge A ⊂ X ist der Durchschnitt all ihrer Umgebungen.
1.4. Für jeden topologischen Raum (X, T ) sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) X ist ein T2 –Raum.
(b) Die Diagonale ∆ ⊂ X × X ist abgeschlossen.
(c) Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Umgebungen von x ist {x}.
V 1.5. Ein topologischer Raum (X, T ) ist genau dann ein T3 –Raum, wenn für jeden
Punkt a ∈ X die abgeschlossenen Umgebungen eine Umgebungsbasis bilden.
Genau dann ist (X, T ) ein T4 –Raum, wenn für jede abgeschlossene Menge A ⊂ X
die abgeschlossenen Umgebungen eine Umgebungsbasis bilden.
1.6. Genau dann ist (X, T ) ein T5 –Raum, wenn jeder Teilraum Y ⊂ X ein T4 –Raum ist.
1.7. Sei (X, T ) normal. Genau dann existiert f : X → [0, 1] mit f −1 (0) = A, wenn
A abgeschlossen ist und zudem eine Gδ –Menge, also abzählbarer Durchschnitt
offener Mengen. Somit ist ein topologischer Raum (X, T ) genau dann perfekt
normal, wenn er normal ist und jede abgeschlossene Menge eine Gδ –Menge ist.
2. KOLMOGOROVIZIERUNG UND H AUSDORFFIZIERUNG
V 2.1. Zwei Punkte eines Raumes X heißen topologisch ununterscheidbar, wenn sie
dieselben Umgebungen besitzen. Dies ist eine Äquivalenzrelation auf X und der
zugehörige Quotient X̄ ist ein T0 -Raum mit der folgenden universellen Eigenschaft:
Für jede stetige Abbildung f : X → Y in einen T0 -Raum existiert genau eine stetige
Abbildung f¯ : X̄ → Y mit f¯ ◦ q = f , wobei q : X → X̄ die Quotientenabbildung ist.
2.2. Man finde eine Äquivalenzrelation auf X, für die der Quotient X̄ ein T2 -Raum mit
der folgenden universellen Eigenschaft ist:
Für jede stetige Abbildung f : X → Y in einen T2 -Raum existiert genau eine stetige
Abbildung f¯ : X̄ → Y mit f¯ ◦ q = f , wobei q : X → X̄ die Quotientenabbildung ist.
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Stand 25. November 2014
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3. T OPOLOGISCHE G RUPPEN
V 3.1. Sei (G, ·, 1, ι) eine Gruppe und T eine Topologie auf G. Wir versehen G × G mit
der Produkttopologie. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
(a) Produkt · : G × G → G und Inversion ι : G → G sind stetig.
(b) Die Abbildung α : G × G → G mit (a, b) 7→ a−1 b ist stetig.
(c) Die Abbildung β : G × G → G mit (a, b) 7→ ab−1 ist stetig.
In diesem Fall ist ι ein Homöomorphismus, ebenso jede Links- bzw. Rechtstranslation λa , ρa : G → G mit λa (x) = a · x bzw. ρa (x) = x · a. Ferner sind äquivalent:
{1}: Die Teilmenge {1} ist abgeschlossen in (G, T ), es gilt also G r {1} ∈ T .
T0 : Zu a 6= b in G hat einer eine Umgebung, die den anderen nicht enthält.
T1 : Zu a 6= b in G hat jeder eine Umgebung, die den anderen nicht enthält.
T2 : Zu a 6= b in G existieren disjunkte Umgebungen. (Hausdorff–Eigenschaft)
3.2. Der euklidische Raum R2 lässt sich zu einer topologischen Gruppe machen, ebenso
die Teilräume X = R × Z und Y = Z × R. Gilt dies auch für Z = X ∪Y ? (Skizze!)
3.3. Die Cantor–Menge C ⊂ [0, 1] ist homogen, das heißt, zu je zwei Punkten a, b ∈ C
∼
existiert ein Homöomorphismus h : C −
→
C mit h(a) = b (und sogar h ◦ h = idC ).
Manchmal ist es leichter, mehr zu beweisen. Ist C eine topologische Gruppe?
4. KOMPAKTHEIT: E RSTE E IGENSCHAFTEN
4.1. Sei X ein topologischer Raum und (xn )n∈N eine Folge in X, die gegen x∞ ∈ X
konvergiert. Ist dann die Menge A = { xn | n ∈ N } ∪ {x∞ } kompakt in X?
V 4.2. Die Hausdorff–Eigenschaft benötigt möglichst viele offene Mengen, um je zwei
Punkte durch disjunkte Umgebungen zu trennen. Kompaktheit benötigt möglichst
wenige offene Mengen, damit jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung
enthält. Kompakte Hausdorff–Räume (X, T ) sind im perfekten Gleichgewicht:
(a) Jede echt feinere Topologie T 0 ) T ist hausdorffsch aber nicht kompakt.
(b) Jede echt gröbere Topologie T 0 ( T ist kompakt aber nicht hausdorffsch.
V 4.3. Ein kompakter Raum ist genau dann metrisierbar, wenn er hausdorffsch und
zweitabzählbar ist.
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