Algebraische Topologie: ¨Ubungsblatt 3

Helge Glöckner
Sven-Ake Wegner
Uni Paderborn
SS 2010
Algebraische Topologie: Übungsblatt 3
Gruppenübung
Aufgabe G 1. Es sei X eine beliebige Menge. Wir betrachten die Menge D := R(X)
aller Funktionen f : X → R, derart daß f (x) 6= 0 für nur endlich viele x. Zeigen Sie,
daß D in RX dicht ist (bezüglich der Produkttopologie).
Aufgabe G2.
S Es sei (X, O) ein topologischer Raum und (Xi )i∈I eine Überdeckung von
X, also X = i∈I Xi . Für i ∈ I versehen wir Xi mit der von X induzierten Topologie
und bezeichnen mit λi : Xi → X die Inklusion, d.h. λi (x) = x. Zeigen Sie:
(a) Ist Xi offen in X für jedes i ∈ I, so ist O die finale Topologie bzgl. (λi )i∈I .
(b) Ist I eine endliche Menge und ist Xi abgeschlossen in X für jedes i ∈ I, so ist O
die finale Topologie bzgl. (λi )i∈I .
`
(c) Die Abbildung q : i∈I Xi → X, (x, i) 7→ x ist stetig und surjektiv. Unter den
Annahmen von (a) bzw. (b) ist q eine Quotientenabbildung.
Aufgabe G 3. Wir betrachten den topologischen Raum R × {0, 1} und identifizieren
all diejenigen Punkte, die übereinanderliegen und eine negative x-Koordinate haben:
R × {1}
6 6 6 6 6 6 6
? ? ? ? ? ? ?
R × {0}
x=0
Hierfür schreibt man häufig R×{0,1} /(x,0)∼(x,1), x<0 . Formal betrachten wir den Quotienten R×{0,1} /∼ , wobei ∼ der Durchschnitt aller Äquivalenzrelationen auf R × {0, 1} ist,
unter denen (x, 0) und (x, 1) für alle x < 0 äquivalent sind.
(a) Finden Sie eine explizite Beschreibung für ∼. Man nennt ∼ die von der Relation
R = {((x, 0), (x, 1)); x < 0} erzeugte Äquivalenzrelation. Wie kann man allgemein
für eine beliebige Relation R ⊆ A × A die von R erzeugte Äquivalenzrelation
(noch) beschreiben?
(b) Zeigen Sie, daß der mit der Quotiententopologie ausgestattete Raum
nicht Hausdorff’sch ist.
R×{0,1} /
∼
Aufgabe G 4. Es sei I eine überabzählbare Menge. Wir betrachten die Menge der
Funktionen von I nach R mit abzählbarem Träger, d.h.
V := f : I → R ; f (i) 6= 0 für höchstens abzählbar viele i ∈ I ⊆ RI .
Zeigen Sie, daß V in RI nicht abgeschlossen ist, aber der Grenzwert jeder Folge in V ,
die in RI konvergiert, in V liegt (d.h. V ist folgenabgeschlossen in RI ).
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Hausübung
Aufgabe H 1. Auf dem Rechteck [0, 2π] × [0, 1] definieren wir eine Äquivalenzrelation
∼ durch “identifizieren der linken mit der rechten Seite”:
1 0
0
2π
D.h. wir betrachten den Raum [0,2π]×[0,1] /(0,t)∼(1,t) . Betrachten Sie zusätzlich den Zylinder S1 × [0, 1] und finden Sie eine Abbildung f : [0, 2π] × [0, 1] → S1 × [0, 1] die zu einem
Homöomorphismus
f¯: [0,2π]×[0,1] /(0,t)∼(1,t) → S1 × [0, 1]
faktorisiert. Insbesondere ist
[0,2π]×[0,1] /
(0,t)∼(1,t)
also Hausdorff’sch.
Aufgabe H 2. Es sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie, daß X genau dann
Hausdorff’sch ist, wenn jedes konvergente Netz in X einen eindeutig bestimmten Grenzwert besitzt.
Ausgabe dieses Aufgabenblattes am 03.05.2010.
Abgabe dieses Aufgabenblattes zu Beginn der Übung am 10.05.2010.
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