¨Ubungen zur Zahlentheorie

J. Wolfart
Sommersemester 2009
Übungen zur Zahlentheorie
1. Bestimmen Sie die größten gemeinsamen Teiler d der Zahlenpaare
(a, b) = (101, 1001) ,
(10001, 100001) ,
(89, 144)
und lösen Sie jeweils die Gleichung ax + by = d mit x, y ∈ Z .
2. Sei d der ggT von a, b ∈ Z und x, y ∈ Z seien spezielle Lösungen von ax + by = d .
Wie sieht die Gesamtheit aller Lösungen aus?
3. Man bestimme durch Division mit Rest im Polynomring R[x] den ggT der beiden
Polynome x7 − 1 und x4 + x3 + x2 + x + 1 .
4. Zeigen Sie: Wenn d der ggT der natürlichen Zahlen m, n ist, dann ist xd − 1 der ggT
der beiden Polynome xm − 1 und xn − 1 im Polynomring R[x] .
5. Man zeige: Wenn 2n − 1 eine Primzahl ist, dann auch n . Gilt die Umkehrung?
6. Man zeige: Wenn 2n + 1 eine Primzahl ist, dann ist n eine Zweierpotenz.
7. Sei p eine Primzahl und νp (a) die p–Ordnung von a ∈ Q , also die Multiplizität von p
in der Primfaktorzerlegung von a . Beweisen Sie: Wenn νp (a) 6= νp (b) für a, b ∈ Q , dann
ist νp (a + b) = min{νp (a), νp (b)} . Bleibt diese Aussage auch für νp (a) = νp (b) richtig?
8. Verifizieren Sie, dass für alle Primzahlen p und alle n ∈ N gilt
n
n
n
νp (n!) = [ ] + [ 2 ] + [ 3 ] + . . .
p
p
p
(Gaußklammer [a] : größte ganze Zahl ≤ a ) und zeigen Sie als Anwendung: Für alle
eine ganze Zahl. Bekommt man diese Aussage auch einfacher?
m, n ∈ N ist (m+n)!
m!n!
9. Fp bezeichne den Körper mit p Elementen ( p Primzahl). Bestimmen Sie die Anzahl der
Primpolynome in Fp [x] vom Grad 1 und vom Grad 2.
10. Beweisen Sie, dass der Polynomring Fp [x] unendlich viele Primpolynome besitzt.
Zur Klausur sind Sie zugelassen, wenn Sie
— etwa die Hälfte der Aufgaben richtig lösen
— regelmäßig und aktiv an den Übungen teilnehmen (Sonderregelungen nur nach Absprache).
Bitte vormerken: Die Abschlussklausur wird am Dienstag, den 14. Juli 09, von
8.15 bis 9.45 Uhr im Hörsaal I geschrieben.
Genauere Regeln für die Klausur werden noch bekanntgegeben.
Vorlesung jetzt immer in H15 !
11. Beweisen Sie: a) Jedes fünfte Glied der Fibonacci–Folge ist durch 5 teilbar.
b) Für jedes m ∈ N ist die Fibonacci–Folge periodisch modulo m .
12. Zeigen Sie, dass die Gleichungen x4 − 31y 4 = 3 und 8x6 − 21y 2 = 3 keine ganzzahligen
Lösungen x, y besitzen.
Tipp: Hätten sie ganzzahlige Lösungen, dann auch Lösungen in Z/mZ . Wie wär’s mit
m = 5 oder 7 ?
13. 17 chinesische Piraten haben eine Kiste mit Goldstücken erbeutet. Beim Versuch, jedem
Piraten gleichviele Münzen zuzuteilen, bleiben drei Münzen übrig. Um diese entbrennt
heftiger Streit, bei dem ein Pirat getötet wird. Ein erneuter Versuch, den Schatz nun in 16
gleiche Teile zu teilen, führt zu einem Rest von 5 Münzen; wieder geht im Streit einer der
Piraten über Bord. Nun gelingt es endlich, die Goldstücke gleichmäßig auf die verbliebenen
15 Piraten zu verteilen. Wieviele Münzen waren es mindestens?
14. Finden Sie die inverse Abbildung von
(Z/451Z)∗ → (Z/451Z)∗ : a 7→ a17 .
15. Finden Sie alle natürlichen Zahlen n mit der Eigenschaft ϕ(n) = n/3 .
16. Zeigen Sie
ϕ(n)
ϕ(n)
=1
und
lim
=0.
n
n
Tipp: Beides folgt aus der Existenz unendlich vieler Primzahlen. Für die zweite Aussage
nutzen Sie Eulers Idee
Beweis der Unendlichkeit der Primzahlmenge, um einzusehen,
Q zum
1
dass das Produkt (1 − p ) über alle Primzahlen gegen 0 konvergiert.
lim
17. Zeigen Sie: Zu jeder ungeraden Primpotenz ps gibt es ϕ(ϕ(ps )) Primitivwurzeln.
18. Beweisen Sie: Für jede Primzahl p ist (p − 1)! ≡ −1 mod p .
19. Zerlegen Sie das Polynom x8 − 3 ∈ F13 in Primfaktoren!
20. Bestimmen Sie die Periodenlänge der Dezimalbruchentwicklungen der Brüche
1
27
,
1
29
und
1
+1
10n
für alle n .
21. Die natürliche Zahl n sei aus m verschiedenen ungeraden Primfaktoren zusammengesetzt, a ∈ Z sei zu n teilerfremd, und die Kongruenz x2 ≡ a mod n besitze eine Lösung.
Wieviele Lösungen hat die Kongruenz dann in Z/nZ ?
22. p sei eine Primzahl > 2 . Zeigen Sie, dass die Kongruenz x4 ≡ −1 mod p genau dann
lösbar ist, wenn p ≡ 1 mod 8 ist.
23. Beweisen Sie: Für alle Primzahlen p > 2 ist jede Primitivwurzel ein quadratischer
Nichtrest. Unter welchen Bedingungen an p ist umgekehrt jeder quadratische Nichtrest
gleichzeitig Primitivwurzel? Kennen Sie solche Primzahlen?
24. Fortsetzung: Sei p eine Primzahl von der Form 22 + 1 (eine sogenannte Fermatprimzahl, vgl. Aufgabe 6), hier mit n > 0 . Zeigen Sie, dass 3 dann eine Primitivwurzel für p
ist! Randbemerkung: Für n = 0, . . . , 4 sind es tatsächlich Primzahlen, für n > 4 sind alle
bisher untersuchten Zahlen dieser Bauart zusammengesetzt.
n
25. p′ ≡ 1 mod 4 sei eine Primzahl und p := 2p′ + 1 sei ebenfalls eine Primzahl (ob es
unendlich viele solcher Primzahlpaare gibt, ist schon wieder ein offenes Problem). Beweisen
Sie, dass 2 eine Primitivwurzel mod p ist. Unter welchen Bedingungen an p′ ist auch 5
eine Primitivwurzel?
26. Seien wieder p′ und p Primzahlen mit p := 2p′ + 1 , jetzt aber p′ ≡ 3 mod 4 . Zeigen
′
Sie 2p ≡ 1 mod p und leiten Sie daraus ab, dass 211 − 1 und 223 − 1 keine Mersenne–
Primzahlen sein können (vgl. Aufgabe 5).
27. Man zeige: Für jede Primzahl p > 3 ist 3 quadratischer Rest mod p genau dann,
wenn p ≡ ±1 mod 12 , und quadratischer Nichtrest genau dann, wenn p ≡ ±5 mod 12 .
200
1001
) , ( 257
) , ( 65537
) , ( 10001
).
28. Berechnen Sie die Legendresymbole ( 169
257
65537
29. Beweisen Sie, dass zur Berechnung eines Jacobisymbols ( na ) nur O(log n) Schritte
benötigt werden.
30. Zeigen Sie, dass Carmichael–Zahlen quadratfrei sind (d.h. keine Quadrate > 1 als
Teiler besitzen) und mindestens drei Primfaktoren besitzen.
31. Die (inzwischen durch Mihailescu gelöste) Catalansche Vermutung besagt, dass die
Gleichung x2 − y 3 = 1 in den natürlichen Zahlen > 0 nur die Lösung (x, y) = (3, 2)
besitzt. Zeigen Sie: Aus der Gültigkeit der abc–Vermutung würde folgen, dass die Gleichung
jedenfalls nur endlich viele Lösungen besitzen kann.
32. Gibt es nichtkonstante teilerfremde Polynome a(x) , b(x) , c(x) ∈ R[x] , welche
a2 + b2 = c2 erfüllen? Und wenn ja, wie konstruiert man sie?
33. Man zeige: Wenn sich n und m ∈ N jeweils als Quadratsumme a2 + b2 in Z schreiben
lassen, dann auch ihr Produkt nm .
34. Ermitteln Sie alle Primzahlen π des Rings Z[i] der ganzen Gaußschen Zahlen mit
Betrag |π| < 10 . Multiplikation mit ±1 oder ±i führt natürlich wieder auf Primzahlen,
darum genügt es, Primzahlen mit Realteil > 0 und Imaginärteil ≥ 0 zu ermitteln.
35. Ein Nachtrag zu den multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen: µ bezeichne die
Möbiusfunktion und ζ die Riemannsche Zetafunktion. Beweisen Sie
ζ(s)
−1
=
∞
X
µ(n)
n=1
für alle s > 1 . Hinweis: Eulerprodukt ζ(s) =
Q
ns
p (1
− p−s )−1
36. Sei p > 3 prim, n durchlaufe alle quadratischen Reste mod p . Man zeige
X
n ≡ 0 mod p .
Tipp: Bedenken Sie, dass ein
P quadratischer Nichtrest m 6≡ −1 mod p existiert und berechnen Sie zunächst (1 + m) n .
37. Gibt es Quadratzahlen c2 , c ∈ N , die sich in mehr als einer Weise als c2 = a2 + b2
schreiben lassen? (Vertauschung von a und b oder Vorzeichenwechsel zählt nicht!) Wenn
ja, finden Sie das kleinste solche c .
38. Benutzen Sie den Satz von Kronecker zu einem neuen Beweis dafür, dass rationale
Zahlen periodische Dezimalbruchentwicklungen besitzen.
Achtung! Wer aus den Hausaufgaben 1 bis 34 noch keine 70 Punkte erwirtschaftet
hat, wird für die letzten beiden Übungsblätter — Aufgaben 35 bis 42 — zu besonders
großem Lösungseifer aufgefordert, sonst gibt’s keine Klausurzulassung. Gegebenenfalls ist
persönliche Rücksprache bei mir erforderlich.
Klausur: Spielregeln
Verboten ist die Verwendung von Mobiltelefonen, Laptops, Bücher und Skripten. Am
besten gar nicht erst mitbringen! Wenn Sie den Tag nicht ohne Ihr Handy verbringen
können, dann dieses ausschalten und tief in eine verschlossene Tasche versenken. Jeder
Betrugsversuch hat Ausschluss aus der Klausur und Note 6 zur Folge. Jeder Teilnehmer
muss bis zum Ende der Klausur auf seinem Platz bleiben. Toilettenbesuch nur einzeln und
unter Zurücklassung allen Materials.
Erlaubt ist ein eigenhändig handschriftlich hergestellter DIN A4 –Spickzettel, beidseitig
beschrieben (keine Kopie!).
Mitzubringen sind mindestens zwei funktionsfähige Stifte als Schreibzeug sowie ausreichend Papier, am besten auch Bleistift und Radiergummi, ebenso Personalausweis, Studentenausweis oder Goethecard. Diese sichtbar auf den Tisch legen! Ein einfacher (nicht
programmierbarer) Taschenrechner kann mitgebracht werden.
Sitzordnung: Jede zweite Reihe bleibt frei, zwischen Ihnen und Ihren nächsten Nachbarn
sind mindestens drei Plätze frei zu halten.
Die Klausur wird aus sechs Aufgaben bestehen, jede Aufgabe bringt bei komplett richtiger
Lösung 20 Punkte. In den ersten beiden Aufgaben sind nur die Ergebnisse anzugeben, und
nur diese zählen, Rechenweg egal. Also einfach Resultat auf das Blatt eintragen, fertig. Bei
den vier letzten ist eine Begründung bzw. ein Beweis gefragt, den Sie auf die Rückseite
oder auf ein Extrablatt schreiben; bitte auf alle Blätter Ihren Namen!!
Bewertung: Bis zu 120 Klausurpunkte können in der Klausur erreicht werden. Notenpunkte und Noten ergeben sich daraus wie folgt. Nicht bestanden ist die Klausur mit
Klausurpunkten 0–15 16–25 26–35 36–40 41–45
Notenpunkten
0
1
2
3
4
Noten
6
5
5
5
5
Bestanden ist sie mit (Zeilen geben wieder Klausurpunkte, Notenpunkte, Note an)
46–50 51–55 56–60 61–65 66–70 71–75 76–80 81–85 86–90 91–95 96–120
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
Die Klausurergebnisse werden nach Korrektur an meiner Zimmertür — Robert–Mayer-Str.
6–8, 2. OG, Zi. 205 — und auf meiner Homepage anonymisiert für ca. 10 Tage aushängen.
Übungsscheine alter Art (z.B. für Studierende nicht-modularisierter Studiengänge) gibt es
dann direkt bei mir, ebenso kann ich Modulbescheinigungen für L–Studiengänge ausstellen (Vordruck ausgefüllt mitbringen, gibt es zum Herunterladen auf der ZPL–Homepage);
meine Sprechstunden sind an meiner Zimmertür bzw. in meiner Homepage zu finden. Modulbescheinigungen für Bachelors stellt Fr. Weiglhofer im Prüfungsamt der Mathematik
aus (wie oben Zi. 215).
Der wichtigste Tipp für die Klausur: Lesen Sie die Aufgaben genau! Nichts ist ärgerlicher,
als wenn man nachher merkt, dass man die Aufgabe falsch verstanden hat und z.B. die
falsche Richtung der Behauptung bewiesen hat..... Bedenken Sie, dass viele Klausuraufgaben kleine Varianten alter Hausaufgaben sein werden!
Gilt alles genauso für die Nachklausur, wenn diese denn stattfindet — sie wird bei geringem Bedarf durch mündliche Prüfungen ersetzt. Ankündigung auf meiner Homepage folgt
noch. Es sei darauf hingewiesen, dass sowohl in den Bachelor– wie in den L3–Modulen
maximal drei Prüfungsversuche möglich sind, dass diese aber innerhalb von 15 Monaten
absolviert sein müssen. Das heißt nicht, dass es nächstes Jahr wieder eine Zahlentheorie–
Veranstaltung geben wird; für den letzten Versuch müssen Sie dann gegebenenfalls ein
Modul mit anderem Inhalt nehmen.
39. log bezeichne ausnahmsweise mal den Zehnerlogarithmus. Beweisen Sie, dass
a) für alle natürlichen Zahlen n mit Ausnahme der Zehnerpotenzen log n irrational ist,
b) {hlog ni | n ∈ N} dicht im Einheitsintervall liegt.
P −k!
40. Für alle natürlichen m > 1 ist
transzendent. Warum?
km
41. Die Untermenge M von {1, 2, . . . , 2n} besitze n+1 Elemente. Zeigen Sie mit Hilfe des
Dirichletschen Schubfachschlusses, dass in M zwei zueinander teilerfremde Zahlen liegen.
(Geht auch per Induktion, ist aber mühsamer.)
42. Unter den gleichen Voraussetzungen wie in 41. beweise man, dass in M zwei Zahlen
k 6= m existieren mit k | m . Wenn Sie die richtigen Schubfächer finden, ist’s ganz einfach!
Grübel, grübel....
Die Lösungen der Aufgaben 39 bis 41 sind abzugeben vor der Vorlesung am Freitag, 3.
Juli 09.