Vorkurs Mathematik Kapitel 2 – Wichtige

Vorkurs Mathematik
Kapitel 2 – Wichtige Rechenoperationen
Christoph Hindermann
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
11
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.1 Wiederholung: Die gebräuchlichsten Zahlenbegriffe
Natürliche Zahlen: ℕ bzw. ℕ0
ℕ ={1,2,3,. ..}
ℕ 0 ={0,1,2,3,...}
Ganze Zahlen: ℤ, Erweiterung der natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen
ℤ ={... ,−3,−2,−1 , 0, 1,2,3,...}
Rationale Zahlen: ℚ, Verhältnis zweier ganzer Zahlen ℤ1 und ℤ2
ℤ1
ℚ=
ℤ2
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
22
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.1 Wiederholung: Die gebräuchlichsten Zahlenbegriffe
Irrationale Zahlen: ℝ\ℚ (lies: die Menge der reellen Zahlen abzüglich der Menge der
rationalen Zahlen); unendliche, nichtperiodische Dezimalzahlen, nicht als Bruch zweier
Zahlen darstellbar (z.B. √(2) oder π).
I =ℝ ∖ ℚ
√(2)
1
1
Reelle Zahlen: ℝ, rationale und irrationale Zahlen
ℝ =ℚ ∪I
Komplexe Zahlen: ℂ, Erweiterung der reelen Zahlen um den Imaginärteil i, mit i=√(−1)
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
33
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.2 Indizierung von Variablen
Einfachindizierung
Oft werden Variablen mit einem Index versehen. Dies ermöglicht die eindeutige
Zuordnung von Daten.
{a i | i ∈ I } ist die Menge von Variablen ai, die in der Indexmenge
I ={ j , ..., n } , I ∈ ℕ enthalten sind.
Beispiel: j=1 => {ai |i ∈ I }={a1, a2, a 3, a4, a5, a 6, a7, a 8, a9, a 10}
n=10
Die Variable ai kann hier also 10 verschiedene Werte annehmen.
Indexierung wird häufig in Summen und Produkten vorgenommen.
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
44
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.2 Indizierung von Variablen
Doppelindizierung
Insbesondere in Datenmatrizen und Doppelsummen werden Elemente mit einer
Doppelindizierung versehen.
Beispiel: {a ij | i∈ I , j ∈ J } I , J ∈ ℕ
I =1,... ,3
J =1,. .. ,3
{
a11 a12 a13
=> aij = a 21 a22 a23
a 31 a32 a33
}
Beispiel: Eine Kaufhauskette besteht aus zwei
Kaufhäusern, die jeweils drei Abteilungen
haben (Textil, Elektronik, Reisen).
Textil
(j=1)
Elektronik
(j=2)
Reisen
(j=3)
Kaufhaus 1
(i=1)
aaijk
11
a12
a13
Kaufhaus 2
(i=2)
a21
a22
a23
Analog sind Mehrfachindizierungen aijk zu verstehen.
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
55
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.2 Indizierung von Variablen
Doppelindizierung
Insbesondere in Datenmatrizen und Doppelsummen werden die Elemente mit einer
Doppelindizierung versehen.
Analog: Welche Indizierung hat ein Schachbrett?
{a ij | i∈ { A , B ,C , D , E , F ,G , H }, j ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8}}
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
66
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.3 Summen- und Produktzeichen
Summenzeichen
Das Summenzeichen Σ steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Addition:
n
a m +a m+1 +a m +2 +...+a n−1 +a n=∑ ai , n≥m, n ∈ ℤ
i=m
Dabei ist:
● i der Summationsindex
● m die untere Summationsgrenze
● n die obere Summationsgrenze
● a das allgemeine Summenglied
i
n
1
Beispiel: Das arithmetrische Mittel (Mittelwert): x= ∑ x i
n i=1
Sie haben folgende Schulnoten in Mathe erhalten: x1=1; x2=2;x3=5;x4=5;x5=1.
Welche Note bekommen Sie auf dem Zeugnis?
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
77
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.3 Summen- und Produktzeichen
Summenzeichen – Rechenregeln für Summen
n
∑ a=a+ a+a +a+ ...+ a=n a
i=1
Beispiel: Ein Kaufhaus hatte die letzten drei Monate jeweils 30 Millionen Euro Umsatz.
3
∑ 30=30 +30+ 30=3⋅30
i=1
n
n
j =k
j=k
∑ c a j =c ak + c a k+ 1+ c a k+ 2+ ...+c an =c (a k +a k+ 1+ ...+ an )=c ∑ a j
Beispiel: Ein Kaufhaus hatte folgende Umsätze (in €) in den letzten drei Monaten:
a1=10; a2=20; a3=30. Da Sie die Umsätze in Dollar ($) ausweisen wollen,
müssen Sie mit dem Wechselkurs umrechnen (2 $/€).
3
3
j=1
j =1
∑ 2 a j =2⋅10 +2⋅20 +2⋅30=2(10+20 +30)=2 ∑ a j
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
88
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.3 Summen- und Produktzeichen
Summenzeichen – Rechenregeln für Summen
n
n
n
j =k
j= k
j=k
∑ a j + b j=∑ a j + ∑ b j
Beispiel: Kaufhaus A hatte die letzten zwei Monate jeweils 20 Millionen Euro Umsatz.
Kaufhaus B hatte die letzten zwei Monate 10 bzw. 30 Millionen Euro Umsatz.
2
2
2
j=1
j=1
j=1
∑ a j + b j=(20 +10)+(20+30)=(20+20)+(10+ 30)=∑ a j +∑ b j
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
99
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.3 Summen- und Produktzeichen
Summenzeichen – Rechenregeln für Summen
Doppelsummen
n
o
∑ ∑ aij=a11 +a 12+ a13 +...+a 1 o +a 21+...+ a2 o + ...+a n 1+...+ ano
i=1 j=1
Beispiel: Eine Kaufhauskette besteht aus zwei Kaufhäusern, die jeweils drei Abteilungen
haben (Textil, Elektronik, Reisen). Folgende Umsätze (in Mill. €) ergaben sich:
Textil
Elektronik
Reisen
Kaufhaus 1
10
5
6
Kaufhaus 2
18
1
3
2
j=1
j=2
j=3
i=1
a11
a12
a13
i=2
a21
a22
a23
3
∑ ∑ aij=a11 +a 12+ a13 +a 21+ a22 +a 23=10+ 5+6+18+1+2
i=1 j=1
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
10
10
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.3 Summen- und Produktzeichen
Summen – Aufgaben
Berechnen Sie!
10
a)
∑i
i =1
8
b)
∑ 6i
i =5
10
c)
∑ (i + 2)
i=1
5
d)
∑ (m+i )
i =0
Gegeben Sei folgende Tabelle von n2 Zahlen:
a 11
a 21
⋯
ai1
⋯
an 1
a 12
a 22
ai 2
an 2
a13
a 23
⋯
ai 3
⋯
an3
⋯ a1 j ⋯ a1n
⋯ a2 j ⋯ a2n
⋯ '
⋯ a ij ⋯ a in
⋯
⋯ a nj ⋯ a nn
Geben Sie unter Verwendung des Summenzeichens folgende Summen an:
a) Summe aller Elemente der 2. bis (n-k)-ten Spalte!
b) Summe aller Elemente der k-ten bis n-ten Zeile!
c) Summe aller Elemente auf der Hauptdiagonalen (Elemente für die i=j gilt)!
d) Summe aller Elemente auf der Hauptdiagonalen und sämtliche Elemente darunter.
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
11
11
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.3 Summen- und Produktzeichen
Produktzeichen
Das Produktzeichen Π steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Multiplikation:
n
a k⋅a k+ 1⋅ak +2⋅...⋅an −1⋅an =∏ ai , n≥k , k , n ∈ ℤ
i=m
Dabei ist:
● i der Multiplikationsindex
● k die untere Multiplikationsgrenze
● n die obere Multiplikationsgrenze
● a das allgemeine Glied
i
Beispiel: Das geometrische Mittel x
geo
=
√∏
n
n
i=1
xi
Das BIP sei in den letzten drei Jahren um 3%, 4,5% sowie 1% gewachsen.
Was ist die durchschnittliche Wachstumsrate?
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
12
12
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.3 Summen- und Produktzeichen
Produktzeichen – Rechenregeln für Produkte
n
n
∏ cai =c ∏ a i
i=1
n
i=1
Beispiel: Nach statistischer Korrektur fällt auf, dass das BIP-Wachstum doch jedes
Jahr doppelt so hoch war wie ursprünglich angenommen.
√∏
3
3
i=1
√
3
3
2 a i=√ 2 a1⋅2 a2⋅2 a 3= 2
n
n
n
i=1
i=1
i =1
3
3
ai
∏
i=1
∏ ai bi =(∏ a i)⋅(∏ bi )
Beispiel: Für n=2 gilt:
Vorkurs Mathematik
2
2
2
i=1
i =1
i=1
∏ ai bi =(a1⋅b 1)⋅(a 2⋅b 2)=( a1⋅a 2)⋅(b 1⋅b2 )=(∏ ai )⋅(∏ bi )
Wichtige Rechenoperationen
13
13
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.3 Summen- und Produktzeichen
Produktzeichen – Rechenregeln für Produkte
n
n
2
∏ a =(∏ a i)
i=1
2
i
i=1
2
Beispiel: Für n=2 gilt:
i=1
Vorkurs Mathematik
n
2
∏ a =(a1⋅a 1)⋅(a 2⋅a 2)=(a 1⋅a 2)⋅(a 1⋅a2 )=(∏ ai )
2
i
i=1
Wichtige Rechenoperationen
14
14
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.3 Summen- und Produktzeichen
Produktzeichen – Aufgaben
Lösen Sie folgende Produktzeichen auf!
10
a)
∏i
i =1
5
b)
∏ (i+1) x
6
c)
i=2
Vorkurs Mathematik
∏ ( 2 k −7)
j =1
5
d)
∏x
i =0
13
i
e)
∏ 5 j2 x j −7
j=0
Wichtige Rechenoperationen
15
15
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.1 Multiplikation und Binomische Formeln
Fakultät
n
Fakultät schreibt man als Produkt folgendermaßen: n !=∏ i
i=1
Dieser Ausdruck steht für das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen: n !=1⋅2⋅...⋅n
Binomische Formeln
2
2
2
2
(a+b) =a + 2 ab+ b
(a−b) 2=a 2−2 ab+ b2
2
(2 x + z ) =4 x +4 xz + z
Beispiele:
( a+ b)(a−b)=a 2−b 2
Vorkurs Mathematik
2
(t 2−2 f )2 =t 4−4 t 2 f + 4 f 2
2
2
(5 a+ 5 b)(5 a−5 b)=25 a −25 b
Wichtige Rechenoperationen
16
16
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.1 Multiplikation und Binomische Formeln – Aufgaben
Lösen Sie folgende binomische Formeln auf!
2
a) (2 x +1)
2
2
b) (a + 2 b)
Vorkurs Mathematik
c) (2 b+ 1)( 2 b−1)
d) ( 2−k )
2
Wichtige Rechenoperationen
17
17
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.2 Division und Brüche
Ein Bruch ist der Quotient
a
, mit a , b ∈ ℤ und b≠0 ; a heißt Zähler, b heißt Nenner.
b
Erweitern und Kürzen eines Bruches
a
a⋅f a , mit a , b ∈ ℤ , f ∈ ℝ , b , f ≠0 und a :q q a , mit a , b ∈ ℤ , q ∈ ℝ , b , q≠0
=
= =
b⋅f b
b :q b b
q
Merke: “Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.”
Multiplikation und Division von Brüchen
a
a b a⋅b
a b b a d a⋅d
⋅ =
: = = ⋅ =
sowie
b d b⋅d
b d b b c b⋅c
d
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
18
18
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.2 Division und Brüche
Ein Bruch ist der Quotient
a
, mit a , b ∈ ℤ und b≠0 ; a heißt Zähler, b heißt Nenner.
b
Addition von Brüchen
a c a±c
a c a⋅d c⋅b a⋅d±c⋅b
bzw. ± =
mit b⋅d als Hauptnenner.
± =
±
=
b b
b
b d b⋅d d⋅b
b⋅d
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
19
19
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.2 Division und Brüche – Aufgaben
Kürzen Sie soweit wie möglich!
a)
35
55
b)
8
28
c)
18
30
15
77
d)
12
72
e)
f)
36
48
g)
64
16
h)
88
16
i)
42
14
j)
105
231
Berechnen Sie!
a)
1 2
⋅
3 7
b)
1 7
⋅
2 4
c)
2 6
⋅
3 5
d)
3 1
⋅
8 2
e)
5 7
⋅2
7 5
f)
3 7 5
⋅ ⋅
5 6 9
1 3
g) 1 ⋅3 ⋅3
3 8
Dividieren Sie!
a)
2 4
:
3 7
b)
1 1
:
2 3
c)
1 2 4
: :
7 7 3
d)
5 2 7
: :
2 7 5
Addieren bzw. subtrahieren Sie!
a)
1 1
+
2 3
b)
2 5
+
3 6
c)
2 1
−
7 14
Vorkurs Mathematik
d)
3 2
−
5 35
1
1
e) 4 −1
5
45
f)
8
3
−
11 7
g)
4
5 3
− +
15 21 14
Wichtige Rechenoperationen
20
20
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.3 Potenzen
Das n-fache Produkt einer Zahl mit sich selbst ergibt die n-te Potenz dieser Zahl:
a⋅a⋅a⋅a⋅...⋅a=a n mit a als Basis und n als Exponenten
Wichtige Identitäten
1
0
und
x
=1
n
x
Potenzgesetze
−n
x =
Für jede beliebige Basis x , y ∈ ℝ ∖ { 0} und p , q ∈ ℚ gilt:
x p y p=(xy ) p
p
x
x
=(
)
p
y
y
p
x p x q=x p +q
p
x
p−q
=x
xq
Vorkurs Mathematik
(x p )q= x( p⋅q)
Wichtige Rechenoperationen
21
21
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.3 Potenzen – Aufgaben
Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke so, dass keine Brüche vorkommen!
(2 c 2)3
a)
4 c5
2
−10 x 2⋅y 3
b)
5 x 3⋅y 2
-3 - 2
(x ⋅y )
f)
( y⋅x -2 )3
-2 -1
[( ) ]
-2
g)
x -1
c) - 2
y
a⋅b
a 2⋅b 3
-2
( )
(
)(
d)
a 3⋅b2
b 4⋅a 2
e)
2
h)
(
2 x - 3⋅y 2
2 x⋅y - 1
36 x -2⋅y -1
x -3⋅(2 y - 2) 2
⋅
(3 x - 2) 2⋅y - 2
2 x 3⋅y - 2
-2
)
)
Vereinfachen Sie die Ausdrücke unter Benutzung der Potenzierungsregel!
a) 4
1 /2
7
-5
b) ( 3 a )⋅( 2 a )
Vorkurs Mathematik
c) (16
1/ 16 4
)
1 /9 6
d) (125 )
Wichtige Rechenoperationen
22
22
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.4 Wurzeln
n
√ x=x1 / n , x≥0, n∈ℕ , mit x als Radiant und n als Wurzelexponenten.
+
Für x ∈ ℝ , n∈ℕ und m∈ℕ gilt
√n x m= x
m
n
.
Wurzelgesetze
Für beliebige x , y> 0 n , m∈ℕ und p , q ∈ ℚ gilt:
n
p m
pm +qn
mn
nm
√ x ⋅√ x = x = √ x
√n x p÷ m√ x q= nm√ x pm−qn
q nm
m n
p
√n ( √p xn ) p= √n x pq p
√ x ⋅√ y =√( xy )
√n x p = n x p
y
√n y p
q
pm +qn
√( )
Vorkurs Mathematik
Ausführlich:
n
p m
√ x ⋅√ x = x
p
n
q
q
m
x
x
=x
mp qn
+
nm nm
x
q
m
(“Wichtige Identität”)
p q
+
n m
(Potenzgesetze)
mp qn
+
nm nm
(Hauptnenner)
x x =x
p q
+
n m
p
n
=x
mp + qn
nm
Wichtige Rechenoperationen
23
23
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.4 Wurzeln – Aufgaben
Vereinfachen Sie die Wurzelausdrücke!
a)
√2 a 2⋅x 4
b)
√3 −27⋅x 3
c)
√
3
125
8
d)
√4 8 a 2⋅√4 2 a 2
e)
1
3
( √ 8)
2
Vereinfachen Sie die folgenden Wurzelausdrücke unter Benutzung von
Wurzeleigenschaften oder von Beziehungen zwischen rationalen Exponenten und
Wurzeln!
a)
5
3 5
√ 17 ⋅√17
2
g)
2 x ⋅y
3
√ x ⋅y
2
2
b)
3
2
h)
3
√( x ⋅y )
√3 x
3
2
4
2
( √ x)
2
i)
c)
√ 3 x⋅√ 6
a+ b
√a+b
Vorkurs Mathematik
√
d)
x
2
j)
√ a+ b
2
a +b
2
√√ x
k)
e)
(
√ x+
√ 18 x 2⋅y
√8 x
1
√x
f)
√ 25 a 2
√5a
)√
⋅ x
Wichtige Rechenoperationen
24
24
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.5 Logarithmen
Ist a y = x , a ∈ R + ∖ {1 } ; x ∈R + ; y ∈R so heißt y=log a(x ) Logarithmus x zur Basis a.
Anmerkungen
1. Logarithmus ist ein Synonym für Exponent.
y
2. Der Potenzwert x in a = x heißt auch Numerus.
3. Der Numerus muss stets positiv sein, denn es gibt zu einer positiven Basis a keine
Hochzahl, so dass die entstehende Potenz Null oder negativ wird.
Alternative Definition
Der Logarithmus von x zur Basis a ist derjenige (eindeutig bestimmbare) Exponent y, mit
dem man a potenzieren muss, um x zu erhalten.
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
25
25
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.5 Logarithmen
Ist a y = x , a ∈ R + ∖ {1 } ; x ∈R + ; y ∈R so heißt y=log a(x ) Logarithmus x zur Basis a.
Häufig verwendete Logarithmen
Dekadischer Logarithmus, a =10 :
log 10 x=log x
Natürlicher Logarithmus, a =e≈ 2.7182 : log e x=ln x
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
26
26
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.5 Logarithmen
Ist a y = x , a ∈ R + ∖ {1 } ; x ∈R + ; y ∈R so heißt y=log a(x ) Logarithmus x zur Basis a.
Logarithmengesetze
+
Für jede beliebige Basis a ∈ R ∖ {1 } und die stets positiven Numeri x und y gilt:
log a ( xy )=log a x+log a y
log a ( x / y)=log a x−log a y
log a x r =r⋅log a x (r ∈ℝ)
Speziell gilt:
x
log 10 = x
ln e x =x
log a (1 / x)=−log a x
n
log a ( √ x )=log a x1 / n=1/n log a x
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
27
27
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.4 Elementare Rechenoperationen
2.4.5 Logarithmen – Aufgaben
Fassen Sie folgende Ausdrücke so zusammen, dass nur noch ein logarithmierter
Ausdruck steht!
a) log x −3 log y
b) 1/ 2 log x + 2 log x
Vorkurs Mathematik
c) 2 log x −3 log y +1 / 2 log z
Wichtige Rechenoperationen
28
28
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.5 Algebraische Ausdrücke
Klassifizierung von algebraischen Ausdrücken
Ganze rationale Ausdrücke
(Polynome)
Gebrochen rationale Ausdrücke
Algebraische Ausdrücke
Addition,
Subtraktion,
Multiplikation
Addition,
Subtraktion,
Multiplikation,
Division
Addition,
Subtraktion,
Multiplikation,
Division,
Wurzeln
Umformungen
Umformungen auf algebraischen Ausdrücken werden mittels Ausklammern, Kürzen,
der Anwendung der Binomischen Formeln etc. vorgenommen. Siehe Übungsaufgaben!
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
29
29
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.5 Algebraische Ausdrücke
Ganze rationale Ausdrücke (Polynom n-ten Grades)
Der ganze rationale Ausdruck mit der Variable x
2
a0 +a1⋅x+ a2⋅x +...+a n⋅x
n
heißt Polynom n-ten Grades (n∈ℕ).
ai ∈ℝ heißen die Koeffizienten des Polynoms; jeder einzelne Summand wird als Glied
bezeichnet.
Der höchste Exponent determiniert den Grad des Polynoms.
Addition und Multiplikation von Polynomen findet gliedweise statt.
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
30
30
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.5 Algebraische Ausdrücke
Ganze rationale Ausdrücke (Polynom n-ten Grades) – Faktorzerlegung von Polynomen
Zerlegung eines Polynomes in ein Produkt von Polynomen.
4
2
2
Beispiel: 2 x −5 x −12=(2 x +3)⋅( x−2)⋅(x +2)
Grund: Kürzen von Brüchen, Lösen von Gleichungen
Methode: Man findet Zerlegungen, indem man vom Distributivgesetz Gebrauch macht, um
gemeinsame Faktoren zu finden und auszuklammern.
Binomische Formeln können gegebenenfalls als Hilfsmittel dienen.
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
31
31
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.5 Algebraische Ausdrücke
Faktorzerlegung von Polynomen zweiten Grades
p-q-Formel
Polynom: x 2 +bx+ c
2
x +bx+ c=( x+ p)⋅( x+ q)
2
Beispiel: 2 x −12 x +10=0 | : 2
2
x −6 x+5=0 | p−q−Formel
Sofern die Normalform x 2 + px +q=0 vorliegt,
lautet die p-q-Formel zur Bestimmung der
Nullstellen:
2
p
p
x 1,2=− ± ( ) −q
2
2
√
x 1,2=3± √ (9−5)
x 1=5
x 2 =1
2
x −6 x+5=( x−5)( x−1)
2
2 x −12 x +10=2( x−5)( x−1)
Bei Polynomen deren Grad größer als 2 ist, muss man den Grad erst durch geeignete
Polynomdivision reduzieren [wird hier nicht behandelt].
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
32
32
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.5 Algebraische Ausdrücke
Aufgabe
Bestimmen Sie die Nullstellen, indem Sie das Polynom in seine Faktoren zerlegen!
4
2
2
2 x −5 x −12=(2 x +3)⋅( x−2)⋅(x +2)
4
2
2 x −5 x −12=0
Ansatz:
2
2
Substitution (x =z):
2 z −5 z−12=0
Normalform:
z −2,5 z−6=0
Nullstellen:
z 1 =4
2
Faktoren (mit z):
Substitution ( x 2 =z):
z 2=−
3
2
3
3
z 2−2,5 z−6=(z−4)( z+ ) bzw. 2 z 2 −5 z−12=2( z−4)( z+ )
2
2
3
3
2( z−4)( z+ )=2(x 2 −4)( x 2 + )
2
2
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
33
33
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.5 Algebraische Ausdrücke
Aufgabe
Bestimmen Sie die Nullstellen, indem Sie das Polynom in seine Faktoren zerlegen!
4
2
2
2 x −5 x −12=(2 x +3)⋅( x−2)⋅(x +2)
2
Substitution (x =z):
Anwendung Bin. Formel:
Einklammern:
3
3
2( z−4)( z+ )=2(x 2−4)( x 2 + )
2
2
3
3
2( x 2−4 )(x 2+ )=2( x−2)(x +2)( x 2+ )
2
2
3
2( x 2−4 )(x 2 + )=( x−2)(x +2)(2 x 2 +3)
2
4
2
2
2 x −5 x −12=(2 x +3)⋅( x−2)⋅(x +2)
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
34
34
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
2.5 Algebraische Ausdrücke
Polynome – Aufgaben
Lösen Sie folgende Polynomgleichungen!
a)
b)
c)
d)
e)
3
2
0=x −5 x −6 x
1 4
x +12=0
3
2
2
3
( x −1) = x −1
2 x 3− x 2+6 x=3 x 2
y
1
2
−2
1+ y =− y
9
3
(
)
Vorkurs Mathematik
Wichtige Rechenoperationen
35
35