Vorlesung 2 2.1 Banachräume
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2.1. BANACHRÄUME
Vorlesung 2
2.1
Banachräume
In einem normierten Raum können wir wie folgt einen Konvergenzbegriff einführen:
Definition. Eine Folge {xn }n=1,2,... aus einem linearen Raum normierten Raum (X, k · k) konvergiert (in
der Norm) gegen ein Element x ∈ X, in Zeichen
xn → x
oder
x = lim xn ,
n→∞
wenn
lim kxn − xk = 0
n→∞
richtig ist.
Übung. Zeigen Sie:
(i) Für alle x, y ∈ X gilt die inverse Dreiecksungleichung
kxk − kyk ≤ kx − yk.
(ii) Zeigen Sie hiermit: Falls xn → x, dann auch kxn k → kxk.
Definition. Die Folge {xn }n=1,2,... heisst Fundamentalfolge oder Cauchy-Folge, wenn es zu jeder positiven
Zahl ε ein natürliche Zahl N (ε) gibt, so dass
kxn − xm k ≤ ε
für alle n, m ≥ N (ε)
erfüllt ist.
Übung. Zeigen Sie: Jede konvergente Folge ist auch Cauchy-Folge und besitzt ein eindeutig bestimmtes
Grenzelement.
Die Umkehrung diese Aussage ist im Allgemeinen nicht richtig. So ist z.B. der Raum Q der rationalen Zahlen
nicht vollständig: So ist beispielsweise
x1 = 1,
zwar eine Cauchy-Folge, konvergiert aber gegen
xn+1 =
1
xn
+
2
xn
√
2 6∈ Q. Daher die folgende
Definition. Ein normierter Vektorraum heisst Banachraum, wenn jede Fundamentalfolge eine in diesem
Raum konvergent Folge ist und somit ein eindeutig bestimmtes Grenzelement besitzt.
Das einfachste Beispiel eines Banachraums ist der reelle Zahlenraum R selbst: Die geforderte Vollständigkeit
ist ja gerade die Vollständigkeit der reellen Zahlen. In anderen Worten, der in der ersten Vorlesung bewiesene
Satz von der Äquivalenz aller Normen in einem n-dimensionalen Raum nimmt folgende Form an.
Satz. Jeder N -dimensionale normierte Vektorraum ist ein Banachraum. Sämtliche Normen sind untereinander äquivalent.
In der ersten Vorlesung haben wir die normierten Folgenräume ℓp kennengelernt. Jetzt wollen wir uns von
ihrer Vollständigkeit überzeugen.
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KAPITEL I. FUNKTIONALANALYTISCHE STUKTUREN
Satz. Der Raum ℓp , 1 ≤ p ≤ ∞, ist bez. der Norm k · kℓp ein Banachraum.
Beweis. (Triebel [18], Beweis zu Satz 2.1)
Wir betrachten nur den Fall p < ∞. Es seien xn = (xjn )j=1,2,... Elemente einer Fundamentalfolge, d.h.
kxn − xm k ≤ ε
für alle n, m ≥ N (ε)
für die Norm der Differenzfolgen, aber dann auch für jede Komponente
|xjn − xjm | ≤ ε
für alle n, m ≥ N (ε),
für alle j = 1, . . . , n.
Jede der Komponentenfolgen {xjn }n=1,2,..., ⊂ R konvergiert wegen der Vollständigkeit von R gegen ein
Element xj . Die Minkowski-Ungleichung (für endliche Reihen) liefert für festes N ∗
p1
∗
N
X
j=1
|xj − xjn |p =
p1
∗
N
X
j=1
|(xi − xjm ) + (xjm − xjn )|p ≤
p1
∗
N
X
j=1
|xj − xjm |p +
p1
∗
N
X
j=1
|xjm − xjn |p .
Die zweite Summe auf der rechten Seite kann durch geeignete Wahl von m, n ≥ N (ε) kleiner oder gleich ε
gemacht werden. Durch eventuelle Vergrößerung von m können wir anschliessend erreichen, dass auch die
erste Summe rechts kleiner oder gleich ε werden. Das bedeutet aber, dass die linke Seite unabhängig von
der Wahl von N ∗ durch hinreichende Wahl von n ≥ N (ε) stets kleiner oder gleich 2ε ist. Somit gilt xn → x,
und wegen
∗
N
X
j=1
p1
|xj |p =
p1
∗
N
X
j=1
|xj − xjm + xjm |p ≤
p1
∗
N
X
j=1
|xj − xjm |p +
∗
N
X
j=1
p1
|xjm |p
für eine gegen x konvergente Cauchy-Folge xm ∈ ℓp ist die linke Seite für alle N ∗ beschränkt, d.h. x ∈ ℓp .
Übung. Zeigen Sie, dass ℓ∞ mit der in Abschnitt 1.2 angegebenen Supremumsnorm ein Banachraum ist.
2.2
Hilberträume
Hilberträume sind spezielle Banachräume, ausgezeichnet durch eine besondere Struktur.
Definition. Es sei X ein linearer Raum. Eine Abbildung h·, ·i : X × X → R heisst Skalarprodukt, falls
folgende Bedingungen erfüllt sind:
(S1) hx, xi > 0, wobei hx, xi = 0 genau dann, wenn x = 0
(Positivität)
(S2) hλx + µy, zi = λhx, zi + µhy, zi
(Linearität)
(S3) hx, yi = hy, xi
(Symmetrie)
Bemerkung. Aus der Linearität erhalten wir unmittelbar
h0, xi = h0 · x, xi = 0 · hx, xi = 0,
insbesondere h0, 0i = 0.
Ein Skalarprodukt kann dazu dienen, eine Norm einzuführen:
Satz. (Schwarzsches Lemma)
Für alle x, y ∈ X gilt
|hx, yi| ≤ kxkkyk
mit der Norm k · k :=
p
h·, ·i .
Hierbei tritt Gleichheit dann und nur dann ein, wenn entweder x = 0 oder y = 0 oder x = λy mit einer
passenden reellen Zahl λ gilt.
Übung. Beweisen Sie das Schwarzsche Lemma.
Wir kommen nun zu einer fundamentalen Begriff der gesamten Analysis:
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2.2. HILBERTRÄUME
Definition. Ein Hilbertraum ist ein vollständiger, linearer, und normierter Raum, wobei die Norm im Sinne
des Schwarzschen Lemmas aus einem Skalarprodukt gewonnen wird.
Der RN ist mit dem Skalarprodukt
hx, yi :=
N
X
xi y i
i=1
p
und der daraus resultierenden Norm kxk = hx, xi ein Hilbertraum. Ebenso wird der Folgenraum ℓ2 zu
einem Hilbertraum mit dem Skalarprodukt
hx, yi =
∞
X
xi y i .
i=1
Die Ungleichung aus dem Schwarzschen Lemma, die sogenannte Schwarzsche Ungleichung, stimmt dann für
p = q = 2 mit der Hölderschen Ungleichung überein. Schliesslich ist der Raum L2 (Ω) aller quadratintegrierbaren Funktionen f : Ω → R ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt
Z
hf, gi := f (x)g(x) dx.
Ω
Auch hier gelten wieder die Schwarzsche und die Höldersche Ungleichung. Wir werden diese und weitere
Banach- und Hilberträume ausführlicher im Verlaufe dieser Vorlesung kennenlernen.
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KAPITEL I. FUNKTIONALANALYTISCHE STUKTUREN
