Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
1
Mengentheoretische Grundlagen
1
1.1
Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Komposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4
Produkte und Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5
Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.6
Aufgaben und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
I
Differential- und Integralrechnung
25
2
Die reellen Zahlen
27
2.1
Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2
Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3
Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.4
Intervalle und beschränkte Mengen . . . . . . . . . . . . . .
37
2.5
Dedekind-Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.6
Aufgaben und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3
Folgen und Reihen
45
3.1
Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2
Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
vii
viii
4
5
6
INHALTSVERZEICHNIS
3.3
Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.4
Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.5
Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.6
Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.7
Umordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.8
Die Exponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.9
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Funktionen und Stetigkeit
75
4.1
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.2
Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.3
Sätze über stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.4
Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.5
Die Exponentialfunktion im Komplexen . . . . . . . . . . . .
87
4.6
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.7
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Differentialrechnung
99
5.1
Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
5.2
Lokale Extrema, Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
5.3
Die Regeln von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
5.4
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Integralrechnung
115
6.1
Treppenfunktionen und Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . .
115
6.2
Riemannsche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.3
Hauptsatz der Infinitesimalrechnung . . . . . . . . . . . . . .
126
6.4
Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
6.5
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
INHALTSVERZEICHNIS
7
8
II
9
Funktionenfolgen
ix
143
7.1
Gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
7.3
Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
7.4
Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
7.5
Aufgaben und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
Metrische Räume und Topologie
163
8.1
Metrik und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
8.2
Metrische Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
8.3
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
8.4
Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
8.5
Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
8.6
Der Satz von Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
8.7
Normierte Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.8
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Mehrdimensionale Reelle Analysis
Differentialrechnung im Rn
189
191
9.1
Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.2
Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
9.3
Taylor-Formel und lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . .
200
9.4
Lokale Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
9.5
Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.6
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10 Integration im Rn
10.1 Parameterabhängige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
215
x
INHALTSVERZEICHNIS
10.2 Stetige Funktionen mit kompakten Trägern . . . . . . . . . .
218
10.3 Die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
10.4 Der Igelsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232
10.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
11 Gewöhnliche Differentialgleichungen
239
11.1 Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
239
11.2 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
11.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
12 Allgemeine Topologie
253
12.1 Abstrakte Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
12.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
256
12.3 Kompaktheit und das Lemma von Urysohn . . . . . . . . . .
257
12.4 Erzeuger und Abzählbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12.5 Initial- und Final-Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
12.6 Das Zornsche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.7 Der Satz von Tychonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
III
12.8 Der Satz von Stone-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
12.9 Hilbert-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
12.10Konvergenz von Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . .
279
12.11Der Satz von Baire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
12.12Tietzes Fortsetzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
12.13Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
12.14Aufgaben und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
Maß und Integration
13 Maßtheorie
293
295
INHALTSVERZEICHNIS
13.1 σ-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
295
13.2 Messbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.3 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
13.4 Das Lebesgue-Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
14 Integration
319
14.1 Integrale positiver Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
319
14.2 Integrale komplexer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
324
14.3 Parameter und Riemann-Integrale . . . . . . . . . . . . . . .
328
14.4 Der Rieszsche Darstellungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
14.5 Komplexwertige Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
14.6 Aufgaben und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 Lp -Räume
343
15.1 Einige Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343
15.2 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345
15.3 Der Satz von Lebsgue-Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . .
348
15.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
351
16 Produktintegral
IV
340
355
16.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355
16.2 Produktmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
357
16.3 Der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
360
16.4 Aufgaben und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363
Integration auf Mannigfaltigkeiten
17 Differentialformen
17.1 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
365
367
367
xii
INHALTSVERZEICHNIS
17.2 Derivationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
371
17.3 Multilineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375
17.4 Zurückziehen von Differentialformen . . . . . . . . . . . . .
381
17.5 Aufgaben und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383
18 Der Satz von Stokes
385
18.1 Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
385
18.2 Teilung der Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
389
18.3 Orientierung von Hyperflächen . . . . . . . . . . . . . . . . .
391
18.4 Der Stokessche Satz für den Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
18.5 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
395
18.6 Poincaré Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
18.7 Die Stokes-Formel für Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . .
401
18.8 Der Brouwersche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
402
18.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
A Existenz der reellen Zahlen
A.1 Existenz der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
407
407
A.2 Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
A.3 Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
B Vollständigkeit
413
B.1 Cauchy-Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Literaturverzeichnis
417
Index
417
http://www.springer.com/978-3-662-53351-2