Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis 1 Mengentheoretische Grundlagen 1 1.1 Aussagen................................................................................ 1 1.2 Mengen und Abbildungen.................................................... 3 1.3 Komposition.......................................................................... 10 1.4 Produkte und Relationen....................................................... 13 1.5 Vollständige Induktion.......................................................... 15 1.6 Aufgaben und Bem erkungen............................................... 21 1 Differential- und Integralrechnung 25 2 Die reellen Zahlen 27 2.1 Zahlbereiche................................................................. 27 2.2 K ö rp e r.................................................................................. 29 2.3 Anordnung .......................................................................... 33 2.4 Intervalle und beschränkte Mengen .................................... 37 2.5 Dedekind-Vollständigkeit.................................................... 38 2.6 Aufgaben und Bem erkungen............................................... 41 3 Folgen und Reihen 45 3.1 K onvergenz.......................................................................... 45 3.2 Intervallschachtelung............................................................. 55 4 3.3 Teilfolgen............................................................................... 58 3.4 R e ih e n .................................................................................. 59 3.5 Konvergenzkriterien für Reihen............................................ 60 3.6 Absolute Konvergenz............................................................ 62 3.7 U m ordnung.......................................................................... 65 3.8 Die Exponentialreihe............................................................ 69 3.9 Aufgaben............................................................................... 70 Funktionen und Stetigkeit 75 4.1 Funktionen............................................................................. 75 4.2 Stetige F u nktionen............................................................... 76 4.3 Sätze über stetige Funktionen............................................... 79 4.4 Der L ogarithm us.................................................................. 84 4.5 Die Exponentialfunktion im Komplexen.............................. 87 4.6 Trigonometrische Funktionen............................................... 92 4.7 Aufgaben............................................................................... 96 5 Differentialrechnung 99 5.1 Differenzierbarkeit............................................................... 99 5.2 Lokale Extrema, Mittelwertsatz............................................ 105 5.3 Die Regeln von de l'Hospital ............................................... 111 5.4 Aufgaben............................................................................... 113 6 Integralrechnung 115 6.1 Treppenfunktionen und Integrierbarkeit.............................. 115 6.2 Riemannsche Sum m en.......................................................... 124 6.3 Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.................................... 126 6.4 Uneigentliche Integrale.......................................................... 132 6.5 Aufgaben............................................................................... 139 INHALTSVERZEICHNIS 7 Funktionenfolgen 8 143 7.1 Gleichmäßige Konvergenz.................................................... 143 7.2 Potenzreihen.......................................................................... 148 7.3 Taylor-Reihen........................................................................ 151 7.4 Fourier-Reihen........................................................................ 156 7.5 Aufgaben und Bem erkungen............................................... 161 Metrische Räume und Topologie 163 8.1 Metrik und Vollständigkeit .................................................. 163 8.2 Metrische Topologie ............................................................. 168 8.3 Stetigkeit................................................................................ 172 8.4 Zusammenhang..................................................................... 175 8.5 Kompaktheit.......................................................................... 176 8.6 Der Satz von Arzela-Ascoli .................................................. 180 8.7 Normierte V ektorräum e....................................................... 183 8.8 Aufgaben................................................................................ 187 II Mehrdimensionale Reelle Analysis 9 ix 189 Differentialrechnung im IR" 191 9.1 Partielle Ableitungen............................................................. 191 9.2 Totale Differenzierbarkeit .................................................... 194 9.3 Taylor-Formel und lokale E x tre m a ....................................... 200 9.4 Lokale Umkehrfunktionen.................................................... 206 9.5 Implizite Funktionen............................................................. 210 9.6 Aufgaben................................................................................ 10 Integration im R" 10.1 Parameterabhängige Integrale.............................................. 211 215 215 10.2 Stetige Funktionen mit kompakten T rägern......................... 218 10.3 Die Transformationsformel ................................................. 226 10.4 Der Ig e ls a tz .......................................................................... 232 10.5 Aufgaben............................................................................... 235 11 Gewöhnliche Differentialgleichungen 239 11.1 Existenz und E indeutigkeit................................................. 239 11.2 Lineare Differentialgleichungen............................................ 248 11.3 Aufgaben............................................................................... 250 12 Allgemeine Topologie 253 12.1 Abstrakte Topologie ............................................................ 253 12.2 Stetigkeit............................................................................... 256 12.3 Kompaktheit und das Lemma von U rysohn......................... 257 12.4 Erzeuger und Abzählbarkeit................................................. 261 12.5 Initial- und Final-Topologien ............................................... 263 12.6 Das Zomsche Lemma............................................................ 266 12.7 Der Satz von Tychonov.......................................................... 268 12.8 Der Satz von Stone-Weierstraß ............................................ 269 12.9 Hilbert-Räume....................................................................... 275 12.10Konvergenz von Fourier-Reihen ......................................... 279 12.11Der Satz von Baire ............................................................... 282 12.12Tietzes Fortsetzungssatz....................................................... 283 12.13Netze..................................................................................... 284 12.14Aufgaben und Bem erkungen............................................... 289 III Maß und Integration 293 13 Maßtheorie 295 INHALTSVERZEICHNIS xi 13.1 a-Algebren............................................................................. 295 13.2 Messbare Abbildungen.......................................................... 297 13.3 M a ß e ..................................................................................... 302 13.4 Das Lebesgue-M aß............................................................... 305 13.5 Aufgaben................................................................................ 316 14 Integration 319 14.1 Integrale positiver Funktionen ............................................ 319 14.2 Integrale komplexer F u n k tio n en ......................................... 324 14.3 Parameter und Riemann-Integrale....................................... 328 14.4 Der Rieszsche Darstellungssatz............................................ 331 14.5 Komplexwertige M a ß e .......................................................... 338 14.6 Aufgaben und Bem erkungen............................................... 340 15 LP-Räume 343 15.1 Einige U ngleichungen.......................................................... 343 15.2 Vollständigkeit....................................................................... 345 15.3 Der Satz von Lebsgue-Radon-Nikodym.............................. 348 15.4 Aufgaben................................................................................ 351 16 Produktintegral IV 355 16.1 Vorbemerkungen.................................................................. 355 16.2 Produktmaße ....................................................................... 357 16.3 Der Satz von Fubini............................................................... 360 16.4 Aufgaben und Bem erkungen............................................... 363 Integration auf Mannigfaltigkeiten 17 Differentialformen 17.1 Mannigfaltigkeiten.............................................................. 365 367 367 17.2 Derivationen.......................................................................... 371 17.3 Multilineare A lg eb ra............................................................ 375 17.4 Zurückziehen von Differentialformen................................. 381 17.5 Aufgaben und Bem erkungen............................................... 383 18 Der Satz von Stokes 18.1 Orientierung.......................................................................... 385 385 18.2 Teilung der E in s..................................................................... 389 18.3 Orientierung von Hyperflächen............................................ 391 18.4 Der Stokessche Satz für den R” ............................................ 393 18.5 Holomorphe Funktionen....................................................... 395 18.6 Poincare Lemma..................................................................... 399 18.7 Die Stokes-Formel für Mannigfaltigkeiten........................... 401 18.8 Der Brouwersche Fixpunktsatz............................................ 402 18.9 Aufgaben................................................................................ 404 A Existenz der reellen Zahlen 407 A.l Existenz der reellen Zahlen ................................................. 407 A.2 Eindeutigkeit ....................................................................... 410 A. 3 Dezimalzahlen.................................................................... 411 B Vollständigkeit B. l Cauchy-Vollständigkeit...................................................... 413 413 Literaturverzeichnis 417 Index 417
