Topologie (10480-01) Universität Basel im FS 2015 Blatt 1 Prof. Dr

Topologie (10480-01)
Blatt 1
Universität Basel im FS 2015
Prof. Dr. P. Habegger
Aufgabe 1. (4 Punkte) Formulieren Sie den Begriff des topologischen Raumes mittels
abgeschlossenen Mengen.
Aufgabe 2. (2 + 4 Punkte) Sei n ≥ 1 eine ganze Zahl und k · k eine Norm auf Rn .
(i) Zeigen Sie, dass d(x, y) = kx − yk eine Metrik auf Rn definiert.
(ii) Beweisen Sie, dass die von d aus Teil (i) induzierte Topologie die Standardtopologie auf Rn ist.
Aufgabe 3. (4 Punkt) Sei X eine Menge. Zeigen Sie, dass X mit der diskreten Topologie
metrisierbar ist, d.h. es gibt eine Metrik d : X × X → R, so dass die von d erzeugte
Topologie gleich der diskreten Topologie ist.
Aufgabe 4. (4 Punkte) Wir betrachten als Grundmenge die ganzen Zahlen Z. Weiter
sei p eine Primzahl. Für eine ganze Zahl 0 6= x ∈ Z sei die Faktorisierung in Primzahlen
gegeben durch x = ±pk11 · · · pknn mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1 , . . . , pn und
k1 , . . . , kn ∈ Z. Wir definieren eine Funktion νp : Z → Z ∪ {∞} durch νp (0) = ∞ und
durch die Vorschrift
(
ki , falls p = pi
νp (x) =
0, sonst.
Wir erweitern diese Funktion auf eine Funktion auf Q durch
νp (x) = νp (a) − νp (b),
wobei nun x =
durch
a
b
∈ Q mit teilerfremden Zahlen a, b ∈ Z und b 6= 0 gilt. Zeigen Sie, dass
dp (x, y) = p−νp (x−y)
mit p−∞ := 0 eine Metrik auf Q definiert wird. Man nennt sie die p–adische Metrik.
Die dadurch induzierte Topologie heisst p–adische Topologie.
Aufgabe 5. (4 Punkte) Sei X = [−1, 1]. Sei
τ = {A ⊆ X; entweder 0 6∈ A oder (−1, 1) ⊂ A} .
Zeigen Sie, dass (X, τ ) ein topologischer Raum ist. Man nennt τ die entweder–oder
Topologie.
Aufgabe 6. (4 Punkte) Sei n ≥ 0 eine ganze Zahl und X = {1, . . . , n}. Wir bezeichnen
mit a(n) die Anzahl der Topologien auf X. Zeigen Sie, dass die Abschätzung a(n) ≤
2n(n−1) gilt. (Tipp: bilden Sie für festes x ∈ X eine Topologie τ auf X auf ihre kleinste
offene Teilmenge fx (τ ) ∈ τ ab, die x enthält.)
2
Freiwillige Aufgabe. Sei a(n) wie in Aufgabe 6.
2
(i) Zeigen Sie, dass a(n) ≥ 2(n −1)/4 gilt.
(ii) Beweisen Sie den Satz von Kleitmann–Rothschild: es gilt
log a(n)
1
= .
lim n−2
n→∞
log 2
4
Abgabe am 12. März 2015 um 12 Uhr.