TU Dresden, Fakultät Mathematik, Institut für Numerische

TU Dresden, Fakultät Mathematik, Institut für Numerische Mathematik
1
1. Übung Ma I (Grundlagen der Mathematik) 16. - 20. 10. 2017
Aufgabe 1
Gegeben sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A = (1, 1), B = (4, 0) und C = (3, 2).
# » # »
# »
(a) Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung der Vektoren AB, BC und CA.
(b) Ermitteln Sie die Seitenlängen und die Innenwinkel des Dreiecks ABC.
(c) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes D derart, dass das Viereck ABDC ein
Parallelogramm ist.
Aufgabe 2
Gegeben seien die folgenden Vektoren im IR3 :
v#»1 = −e#»1 + 2e#»2 + e#»3 ,
v#»2 = 2e#»1 − e#»2 + e#»3 ,
v#»3 = 4e#»1 + 7e#»2 + 11e#»3 .
(a) Schreiben Sie diese drei Vektoren als Spaltenvektoren.
(b) Berechnen Sie v#»1 + v#»2 + v#»3 .
(c) Berechnen Sie 3v#»1 − 2v#»2 + 4v#»3 .
(d) Ermitteln Sie Zahlen c1 , c2 ∈ IR derart, dass c1 v#»1 + c2 v#»2 = v#»3 ist.
(e) Berechnen Sie die Beträge von v#»1 , v#»2 und v#»3 .
(f) Bestimmen Sie einen Vektor, der parallel zu v#»1 ist und dessen Betrag gleich 1 ist.
(g) Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren v#»1 und v#»2 .
(h) Ermitteln Sie den Winkel, den die Vektoren v#»1 und v#»2 einschließen.
(i) Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren v#»1 und v#»3 . Entscheiden Sie anhand des
Ergebnisses (ohne weitere Rechnung), ob die Vektoren v#»1 und v#»3 einen spitzen, einen
rechten oder einen stumpfen Winkel einschließen.
(j) Bestimmen Sie einen Vektor, der senkrecht auf den beiden Vektoren v#»1 und v#»2 steht und
dessen Betrag gleich 1 ist.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie alle Vektoren #»
v des IR3 , welche die folgenden drei Eigenschaften besitzen:
| #»
v | = 2, ∢(e#»1 , #»
v ) = 45◦ , ∢(e#»2 , #»
v ) = 120◦ . Inwiefern ändert sich die Menge aller dieser Vekto#»
ren v , wenn zusätzlich gefordert wird, dass #»
v mit e#»3 einen Winkel einschließt, der größer als
90◦ ist?
Aufgabe 4
Gegeben seien die Vektoren




−2
−3
v#»1 =  a  , v#»2 =  4  ,
1
2
mit Parametern a, b ∈ IR.

2b
v#»3 =  1 
b2

TU Dresden, Fakultät Mathematik, Institut für Numerische Mathematik
2
(a) Bestimmen Sie a so, dass v#»1 und v#»2 orthogonal zueinander sind.
(b) Ermitteln Sie alle Werte für a, für die |v#»1 | = 4 ist.
#» = −e#» + e#» − e#» einen
(c) Bestimmen Sie alle Werte für a, für die v#»1 mit dem Vektor w
1
2
3
Winkel von 120◦ einschließt.
(d) Bestimmen Sie alle Werte für b, für welche die Vektoren v#»2 und v#»3 orthogonal zueinander
sind.
√
(e) Ermitteln Sie alle Werte für b, für die |v#»3 | = 6 ist.
(f) Bestimmen Sie alle Paare (a, b), für welche die Vektoren v#»1 und v#»3 parallel zueinander
sind.
Aufgabe 5
Berechnen Sie in den folgenden Teilaufgaben jeweils den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
(a) A(3, 1, 0), B(−1, 1, 2), C(1, 5, −2)
(b) A(5, 5, 2), B(0, 1, −2), C(1, 1, 1)
Aufgabe 6
Beweisen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung:
(a) den Satz des Thales: Sind A und B die Endpunkte eines Kreisdurchmessers und ist C
ein weiterer Punkt des Kreises, dann hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei C.
(b) den Höhensatz für ein rechtwinkliges Dreieck: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck
ABC mit dem rechten Winkel bei C. Dann gilt für die Höhe h auf die Hypotenuse des
Dreiecks und die beiden Hypotenusenabschnitte p und q: h2 = pq.
C
h
A
p
q
B