4. Mathematikschulaufgabe - mathe-physik

Realschule
4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / II
1.0
Gegeben sind die Punkte A ( 3 / 4 ) , B ( 2 / 8 ) und Z 1 ( 5 / 6 ) einer zentrischen
Streckung mit dem Zentrum Z1 und k = -3.
1.1
Fertige eine Zeichnung an und konstruiere die Bildstrecke [A`B`].
Platzbedarf: -3 < x < 15 und 0 < y < 14
1.2
Berechne die Koordinaten von A` und B`.
1.3
[AB] wird nun mit Z2 und k > 0 auf [B`A`] abgebildet. Konstruiere Z2 und
berechne seine Koordinaten.
1.4
Zeichne nun das Dreieck A`B`C` mit C`(14/13) in das Koordinatensystem ein.
Z1; k <,3
Berechne die Koordinaten von C für C 
↑ C` und zeichne ABC ein.
1.5
2.
ττττθ
τττττθ
Begründe, dass Z2 A < 31 √ Z2B` gilt.
Berechne jeweils die Strecken x und y.
(Die Zeichnungen sind nicht maßstabsgetreu.)
2.1
2.2
[EB] II [DC]
RM_A0026 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0026)
2.3
[AB] II [ED]
[CB] II [FD] und
[CE] II [AD]
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Klasse 9 / II
1.
Vereinfache den folgenden Term soweit als möglich:
∋ 2 ∗ 2 3 ( √ ∋5 ∗ 4 3 ( <
2.0
Dem Dreieck ABC mit A ( - 4 / - 1 ) , B ( 5 / - 1 ) und C ( 1 / 5 ) werden Rechtecke
DEFG so einbeschrieben, daß gilt:
[DE] ⊄ [AB]; F ⊆ [BC]; G ⊆ [AC]
2.1
Zeichne das Rechteck mit D ( - 2 / - 1 ) in das ΧABC ein und bestimme rechnerisch
die Länge der Strecke [GF] in Abhängigkeit von a mit a = DG . Setze GF = b.
Für die Zeichnung:
- 5 ′ x ′ 6;
- 2 ′ y ′ 6;
1 LE = 1cm
2.2
Bestimme rechnerisch die Fläche der Rechtecke in Abhängigkeit von a.
2.3
Für welchen Wert von a ergibt sich das Rechteck mit der größten Fläche?
Gib Amax an.
2.4
Berechne für a = 3 die Koordinaten der Punkte F und G.
2.5
Für welchen Wert von a ist das einbeschriebene Rechteck ein Quadrat?
(Rechnerische Herleitung).
3.0
In einem Koordinatensystem sind die Urpunkte A ( - 8 / 2 ) , B ( 2 / - 6 ) und C ( 4 / 4 )
eines Dreiecks ABC sowie die Bildpunkte A´( 4 / - 4 ) und C´( - 2 / y C ) des Bilddreiecks A´B´C´ einer zentrischen Streckung mit dem Streckungszentrum Z und dem
Streckungsfaktor k gegeben.
Lege eine Zeichung an, die fortlaufend ergänzt wird.
Für die Zeichnung:
- 10 ′ x ′ 6;
- 8 ′ y ′ 5;
1 LE = 1 cm
3.1
Berechne den Streckungsfaktor k und die fehlende Koordinate des Bildpunktes C´.
(Das Ergebnis aus 3.2 darf nicht verwendet werden).
C´ läßt sich konstruieren, ohne daß man yC und Z kennt. Gib eine kuze Beschreibung
dieser Konstruktion.
3.2
Konstruiere das Streckungszentrum Z und berechne die Koordinaten von Z.
3.3
Konstruiere den Bildpunkt B´und berechne seine Koordinaten. Zeichne nun das
Bilddreieck A´B´C´.
3.4
Berechne den Flächeninhalt A des Urdreiecks ABC.
3.5
Berechne den Flächeninhalt A´des Bilddreiecks A´B´C´.
RM_A0029 **** Lösungen 5 Seiten (RM_L0029)
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Klasse 9 / II
1.0
Für die irrationale Zahl x < 40 lässt sich mit dem Taschenrechner durch die Formel
∑ 40
⌡
ein Näherungswert ermitteln.
xn ∗1 < 
∗ xn  : 2
 xn ∗1

1.1
Gib eine Tastenfolge für den Taschenrechner an.
1.2
Beginne mit dem ersten Näherungswert x1 = 6 und berechne den bestmöglichen
Näherungswert am Taschenrechner. Schreibe dabei die Zwischenwerte
x2 , x3 , x 4 usw. auf.
x1 = 6
x2 = ___________________
x3 = ___________________
x 4 = ___________________
x5 = ___________________
x6 = ___________________
Bestmöglicher Näherungswert:
2.1
2.2
40 = ________________________
6 3
den Nenner rational, und vereinfache den neuen Term dann
11 ∗ 3
so weit wie möglich.
Mache im Term
Vereinfache so weit wie möglich:
∋ 4 , 7 3 ( √ ∋8 ∗ 2 3 ( <
∋2
2.3
3, 5
(
2
<
∋a ⊆ € , b ⊆ € (
∗
Radiziere teilweise:
108 <
18a 5 b2 <
2.4
Unter welcher Bedingung für a ⊆ € und b ⊆ € sind die folgenden Zeichen
jeweils Terme?
a,b
∋a , b (
2
RM_A0155 **** Lösungen 2 Seiten (RM_L0155)
a
,1
b
1 (2)
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Klasse 9 / II
3.0
Berechne x und y. Es gilt: [BC] II [DE].
4.1
Bilde das Dreieck ABC mit A ( 7 / 0 ) , B ( 1 0 / 7 ) und C ( 3 / 6 ) durch zentrische
Streckung mit Z ( 1 / 2 ) als Zentrum und k = - 0 ,5 als Streckungsfaktor ab.
Ermittle die Bildpunkte A’, B’ und C’ durch messen mit dem Geodreieck.
Platzbedarf: - 4 ′ x ′ 11 ;
-1 ′ y ′ 8
ττττθ
τττθ
Berechne mit Hilfe der Abbildungsvorschrift ZP ' < k √ ZP die Koordinaten des
Punktes A’.
4.2
4.3
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC und dann mit Hilfe des
Streckungsfaktors k den Flächeninhalt des Bilddreiecks A’B’C’.
RM_A0155 **** Lösungen 2 Seiten (RM_L0155)
2 (2)
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Klasse 9 / II
1.0
Die Strecke Ζ AB ∴ mit A( - 2 / 2 ) und B( 6 / 2 ) ist die Hypotenuse einer Schar von
rechtwinkligen Dreiecken, deren Eckpunkte auf der Kreislinie k mit Ζ AB ∴ als
Durchmesser liegen.
Der Punkt Pn ist Fußpunkt der Höhe Cn auf Ζ AB ∴ .
1.1
Zeichne die Strecke Ζ AB ∴ , den Kreis k und die Dreiecke AB Cn mit C1 (4/…)
bzw. C2 (-1/…) in ein Koordinatensystem.
Platzbedarf:
- 3 ′ x ′ 7;
-3 ′ y ′ 7
1.2
Berechne die Streckenlängen BC2 und P2C2 .
1.3
Berechne allgemein für die Dreiecke AB Cn die Längen a(x) = BCn und
b(x) = ACn in Abhängigkeit von der x-Koordinate der Punkte Cn .
1.4
Zeichne das Dreieck AB C0 mit C0 (2,5/…) ein und berechne die y-Koordinate des
Punktes C0 .
1.5
Zeige durch Rechnung, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke AB Cn in Abhängigkeit
von der x-Koordinate der Punkte Cn in der Form
A(x) = 4 12 ∗ 4 x , x 2 darstellen lässt.
2.0
Gegeben sind die Punkte A ( 2 / 8 ) , B ( 3 / 4 ) und Z1 ( 5 / 6 ) sowie die Zentrische
Z1 ; k <,3
Streckung Ζ AB ∴ 
↑ Ζ A ' B '∴ .
2.1
Fertige eine Zeichnung an und konstruiere die Bildstrecke Ζ A ' B '∴ .
Platzbedarf: - 3 ′ x ′ 15; 0 ′ y ′ 14
2.2
Berechne die Koordinaten von A’ und B’.
2.3
Ζ AB ∴ wird nun mit
Z2 und k > 0 auf Ζ A ' B '∴ abgebildet.
Konstruiere Z2 und berechne seine Koordinaten.
2.4
Zeichne nun das Dreieck A’B’C’ mit C’( 1 4 / 1 3 ) ein. Berechne die Koordinaten von C
Z1; k <,3
für die Abbildung C 
↑ C ' und zeichne das Dreieck ABC ein.
RM_A0156 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0156)
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Klasse 9 / II
1.0
1.1
Radiziere teilweise:
75
12
1.2
98a 2 b3
1.3
3u 2 ∗ 6uv ∗ 3v 2
2.0
Mache den Nenner rational:
2.1
4 , 20
4 5
3.0
Multipliziere aus und vereinfache soweit möglich ohne Taschenrechner;
bestimme dann den Näherungswert.
3.1
∋3
3.2
∑ 14
21 ⌡ 7
∗
<

√
27  3
 3
3.3
∋2
7 ∗3 5 √ 2 7 ,3 5 <
3.4
∋6
3 ,3 6
4.0
Gegeben: A( - 6 / 4 ) ; B ( 5 / 2 ) ;
2.2
(∋
2∗ 3
2, 3
(
27 , 2 12 √ , 3 <
(∋
(
2
(
<
P ⊆ Ζ AB ∴ ;
AB : PB = 2 : 3.
Berechne die Koordinaten von P mit Hilfe einer Vektorgleichung.
5.0
Gegeben ist das Dreieck ABC mit A ( - 6 / 4 ) , B ( 2 / - 1 ) , C ( - 1 / 5 ) .
5.1
Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes S.
5.2
Berechne die Koordinaten der Eckpunkte des Mittendreiecks Ma Mb Mc .
5.3
Zeige: S ist auch Schwerpunkt des Dreiecks Ma Mb Mc .
5.4
In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte von Dreieck ABC und
Dreieck Ma Mb Mc ?
RM_A0157 **** Lösungen 2 Seiten (RM_L0157)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / II
1.0
Die Punkte A ( 2 / 1 ) , B ( 5 / 3 ) und C ( 3 / 6 ) sind Eckpunkte eines Dreiecks.
1.1
Zeichne das Dreieck ABC.
1.2
Bilde das Dreieck ABC durch Scherung auf das Dreieck A’B’C’ ab.
Scherungsachse g: y = - 2 ; Scherungswinkel ι < 45↓ .
Platzbedarf: - 7 ′ x ′ 7; - 4 ′ y ′ 8
1.3
Berechne den Flächeninhalt des Bilddreiecks A’B’C’.
2.0
Gegeben ist die Funktion y = ,
2.1
Gib die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion an.
Welche Eigenschaft haben alle Elemente (Zahlenpaare) der Funktion?
2.2
Fertige eine Wertetabelle für x ⊆ ζ, 4; , 3; , 2; , 1; , 0,5; 0; 0,5; 1; 2; 3; 4|
2.3
Zeichne den Graph der Funktion.
3.1
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems. G = € x € .
Vereinfache soweit wie möglich und berechne dann mit dem Taschenrechner das
Ergebnis auf drei Stellen nach dem Komma.
3
;
x
G= ≤x≤
2 6x ∗ 3y < 2
¬
3.2
6 x , 3 3y < 4 2
Vereinfache soweit wie möglich ohne Taschenrechner.
Beachte die Möglichkeit, teilweise zu radizieren.
a)
b)
c)
6 2 ∗ 2 18 ∗ 2 , 3 18 <
4x2 8x ∗ 4
∗
<
9
9
∋2
(∋
(
27 ∗ 3 8 2 27 , 3 8 <
RM_A0158 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0158)
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Klasse 9 / II
1.0
1.1
2.0
2.1
Radiziere soweit als möglich.
720
1.2
98a2b3c 4
1.3
4a² , 12ab ∗ 9b²
1.4
18a3bc 7
50a5b3c 4
Vereinfache folgende Terme soweit als möglich.
24 √ 30 ∗ 245
2.2
72ab² √ 54a³bc²
2.5
27 ∗ 80 , 12 , 125
2.3
( 7a , 21a ) √ 7ab
2.4
( 5 , 10 )²
3.
Ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Katheten [AB] und [BC] sowie folgenden
Maßen ist gegeben: b = 7 cm; p = 3 cm.
Zeichne eine Planfigur und berechne: a; c; q; hb
4.
Ein Dreieck ABC mit folgenden Maßen ist gegeben: c = 5 cm; hc < 3 cm und b = 4 cm.
Zeichne eine Planfigur und überprüfe rechnerisch, ob das Dreieck bei C rechtwinklig
ist.
5.0
Die Punkte A ( 0 / 0 ) ; B ( 4 / - 3 ) und Cn (x / 4) sind die Eckpunkte einer Schar von
Dreiecken ABCn .
5.1
Zeichne die Schardreiecke ABC1 für x1 < 3 und ABC2 für x 2 < 6 in ein
Koordinatensystem und zeige rechnerisch, dass das Dreieck ABC1 rechtwinklig ist.
Für die Zeichnung: 1LE ≅ 1cm ;
,1 ′ x ′ 10; , 4 ′ y ′ 5
5.2
Stelle die Seitenlängen ACn und BCn aller Schardreiecke in Abhängigkeit von x dar.
[Ergebnis: ACn (x) < x² ∗ 16 LE ; BCn (x) < x² , 8x ∗ 65 LE ]
5.3
Unter den Dreiecken ABCn gibt es ein Dreieck ABC3 mit einem rechten Winkel bei B.
Zeichne das Dreieck ABC3 in das Koordinatensystem ein und berechne die
x - Koordinate von C3 .
RM_A0194 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0194)
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Klasse 9 / II
1.
Die Gerade g < AB mit A ∋ ,2 1( und B ∋ 3 2 ( wird durch zentrische Streckung mit dem
Zentrum Z ∋1 , 3 ( und dem Streckungsfaktor k = 1,5 auf die Gerade g’ abgebildet.
Ermittle durch Zeichnung und Rechnung die Gleichung der Geraden g’.
2.
3.0
Die unten stehende Skizze zeigt den symmetrischen Giebel eines Hauses.
Berechne die Länge x, wenn folgende Längen bekannt sind:
a = 10 m, b = 5 m und h = 4 m
Gegeben ist die Raute ABCD mit A ∋1 , 4 ( , B ∋ 4 1( , C ∋1 6 ( und D ∋ ,2 1( .
Verkürzt man die Diagonale [AC] von A und C aus um jeweils x LE und verlängert [BD]
über B hinaus um 3 x LE, so entstehen achsensymmetrische Drachen A nBnCnD .
3.1
Zeichne die Raute ABCD und den Drachen A 1B1 C1 D für x < 1,5 in ein
Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: 1 LE = 1 cm;
,3 ′ x ′ 10 ; , 5 ′ y ′ 7
3.2
Berechne den Flächeninhalt des Drachen A 1B1 C1 D .
3.3
Gib ein sinnvolles Intervall für x an.
3.4
Bestimme den Flächeninhalt A(x) der Drachen A nBnCnD in Abhängigkeit von x.
∋
(
[Zwischenergebnis: A (x) < ,3x ∗ 9x ∗ 30 FE ]
3.5
2
Bestimme rechnerisch die Belegung von x, für die man den Drachen mit dem größten
Flächeninhalt erhält. Gib A max an.
RM_A0228 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0228)
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