Mathematik macht Freu(n)de Vektorrechnung im Raum

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Vektorrechnung im Raum
KOMPETENZHEFT ZUR VEKTORRECHNUNG IM RAUM
1. Aufgabenstellungen
Aufgabe 1.1. Eine Flugdrohne fliegt vom Punkt A = (4 | 2 | 0) geradlinig zum Punkt B = (12 | −2 | 8).
Berechne ihre Position P , nachdem sie 60% der Flugstrecke zurückgelegt hat.
Aufgabe 1.2. Berechne den von #»
v =
5 −2
1
#» =
und w
−3 −1
7
eingeschlossenen Winkel.
1
5
#» = −2
Aufgabe 1.3. Gegeben sind die Vektoren #»
v = 3 und w
.
−2
−4
#»
#»
#» steht.
Berechne das Vektorprodukt v × w und überprüfe, dass es normal auf #»
v und w
Aufgabe 1.4. Bestimme eine Gleichung
a·x+b·y+c·z =d
jener Ebene, die von den Vektoren #»
v =
P = (0 | 4 | −2) enthält.
2 −3
0
#» =
und w
6 −8
7
aufgespannt wird und den Punkt
Aufgabe 1.5. Gibt es eine Zahl x, sodass die Punkte A = (x | −1 | 3), B = (−1 | 4 | 3) und C =
(7 | −4 | 3) auf einer Gerade liegen? Begründe deine Antwort.
Aufgabe 1.6. Die dargestellte Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit Eckpunkten
A = (−2 | −1 | −1), B = (3 | −1 | −1), C = (3 | 3 | 2) und D. (Einheiten in cm)
Die Höhe der Pyramide beträgt h = 7 cm.
a) Berechne die Koordinaten des Eckpunkts D.
b) Die Pyramide besteht aus Kupfer mit der Dichte
ρ = 8920 kg/m3 .
Berechne die Masse der Pyramide (in g).
Datum: 5. Juli 2017.
1
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Vektorrechnung im Raum
Aufgabe 1.7.
Zwei Flugzeuge fliegen mit konstanter Geschwindigkeit auf geradlinigem
Kurs.
Das erste Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt t0 = 0 s im Ursprung des gewählten Koordinatensystems, zum Zeitpunkt t1 = 3 s ist es in P = (7 | −4 | 9).
Das zweite Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt t0 = 0 s in Q = (1 | 21 | −12) und zum Zeitpunkt t1 = 3 s in R = (4 | 12 | −3).
Für alle Koordinatenangaben gilt: 1 Einheit entspricht 10 m.
a) – Stellen Sie die beiden Geradengleichungen auf, die die jeweiligen Positionen der Flugzeuge in
Abhängigkeit von der Zeit t beschreiben.
– Zeigen Sie, dass sich die beiden Flugzeuge nicht auf Kollisionskurs befinden.
b) – Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit in km/h das erste Flugzeug fliegt.
– Erklären Sie, was man über die Modellierung der Geschwindigkeit und der Richtung eines
Flugzeugs sagen kann, wenn der Geschwindigkeitsvektor #»
v des Flugzeugs mit einer reellen
Zahl k 6= 0, |k| < 1 multipliziert wird.
Aufgabe 1.8.
Die Spitze eines Roboterarms bewegt sich geradlinig vom Punkt C =
(1 | −2 | 3) zum Punkt D = (5 | −3 | 2). Dort ändert sich die Bewegungsrichtung geringfügig und
die Spitze bewegt sich geradlinig zum Punkt E = (10 | −4 | 0).
– Berechnen Sie den Winkel, um den die Bewegungsrichtung geändert wurde.
In der US-amerikanischen Weltraumstation Skylab wurde in den 1970erAufgabe 1.9.
Jahren eine Reihe von naturwissenschaftlichen Experimenten durchgeführt.
Für Experimente zur Lagebestimmung von Raumflugkörpern im
Weltraum wurde ein Gyroskop (Kreisel, siehe Abbildung) verwendet.
#»
Wird durch eine äußere Kraft F die Drehachse des Kreisels um den
Vektor #»
r (vom Drehpunkt zum Angriffspunkt der Kraft) gekippt, re#»
sultiert daraus ein Drehmoment M .
−4 #»
#»
#» 5,5 – Berechnen Sie den Betrag des Drehmoments M = #»
r × F , wenn F = −2 N und #»
r = 8 m ist.
0
#» #» #» 5
#»
– Zeigen Sie, dass folgender Zusammenhang nicht gilt: r × F = F × r .
#»
– Erklären Sie, warum man bei der Berechnung des Betrags des Drehmoments auch mit F × #»
r das
richtige Ergebnis erhält.
Aufgabe 1.10.
Ein Betrieb produziert und verkauft die Produkte P1 ,. . . , P5 . In der vorangegangenen Woche wurden xi Stück des Produktes Pi produziert und yi Stück davon verkauft. Das
Produkt Pi wird zu einem Stückpreis vi verkauft, ki sind die Herstellungskosten pro Stück Pi .
2
3
1.1 P = (8,8 | −0,4 | 4,8)
1.2 ϕ = 98,19...◦
#» =
1.3 #»
v ×w
−16
−6
−17
,
1
3
−2
·
−16
−6
−17
= 0 ,
5
−2
−4
·
−16
−6
−17
=0
1.4 −21 · x − 14 · y + 2 · z = −60
1.5 Ja, für x = 4 liegen die Punkte auf einer Gerade:
# »
AB =
−5
5
0
k
8
−8
0
# »
= BC
1.6 a) D = (−2 | 3 | 2)
b) m = 520,3... g
1.7 a) g1 : X = t ·
7
−4
9
g2 : X =
1
21
−12
+t·
3
−9
9
Das folgende lineare Gleichungssystem hat keine Lösung:
I:7·t=1+3·t
=⇒ t = 1/4
II : −4 · t = 21 − 9 · t
=⇒ t = 21/5
III : 9 · t = −12 + 9 · t
b) 144,99... km/h
Wenn 0 < k < 1 ist, dann wird die Geschwindigkeit mit dem Faktor k reduziert. Die Richtung und Orientierung
bleiben unverändert.
Wenn −1 < k < 0 ist, dann wird die Geschwindigkeit mit dem Faktor |k| reduziert. Das Flugzeug fliegt in die
entgegengesetzte „Richtung“ (genauer: die Orientierung wird umgedreht).
1.8 a) Zum Beispiel:
b) #»
a · #»
n = ax · (−ay ) + ay · ax = 0. Da das Skalarprodukt 0 ist, muss #»
n ein Normalvektor von #»
a sein.
c) Die Bewegungsrichtung
wurde um 8,205...◦ verändert.
40 #»
#»
#»
1.9 M = #»
r × F = 20 , |M | = 57,41... Nm
−40 −36
#»
#»
F × #»
r = −20 = − #»
r ×F
36
#»
#»
Die Vektoren F × #»
r und #»
r × F unterscheiden sich allgemein nur durch ihre Orientierung (Vorzeichen umgekehrt).
Die Länge (der Betrag) ist aber gleich.
1.10 Der Term Y · V = y1 · v1 + y2 · v2 + · · · + y5 · v5 beschreibt die Einnahmen (durch den Verkauf) der vorangegangenen
Woche.
Interpretieren Sie, welche Bedeutung der Ausdruck Y · V für den Betrieb hat.
X=
x1
 x2
 x3
x4
x5


,
Y =

y1
 y2
 y3
y4
y5


,
v1
 v2
 v3
v4
v5
V =



,
K=

k1
 k2
 k3
k4
k5




Die Vektoren X, Y , V und K sind folgendermaßen festgelegt:
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Vektorrechnung im Raum
2. Vektorrechnung im Raum R3
Mit Vektoren in der Ebene kannst du die Bewegung eines ferngesteuerten Autos beschreiben.
Eine Flugdrohne soll aber zum Beispiel auch den Boden verlassen können. Zur Beschreibung solcher
Bewegungen im Raum erweitern wir Vektoren um eine dritte Komponente.
Höherdimensionale Vektoren
Ein dreidimensionaler Vektor ist ein Zahlentripel #»
v =
v1 v2 .
v3
Wie wohl ein fünfdimensionaler Vektor aussieht?
Vektorrechnen
Mit höherdimensionalen Vektoren rechnen wir genauso wie mit Vektoren in der Ebene:
• Addition zweier Vektoren:
#»
#» =
v +w
• Vielfaches eines Vektors:
r · #»
v =r·
v1 • Gegenvektor eines Vektors:
− #»
v =
1
v1 v2
v3
v2
v3
+
w1 =
w2
w3
=
v +w 1
1
v2 +w2
v3 +w3
r·v1 r·v2
r·v3
−v −v2
−v3
#» = #»
#» =
• Subtraktion zweier Vektoren: #»
v −w
v + (− w)
v −w 1
1
v2 −w2
v3 −w3
Nullvektor
0
Der Vektor 0 heißt auch Nullvektor.
0
Erkläre, warum das Ergebnis von #»
v − #»
v der Nullvektor ist.
Rechenregeln für Vektoren
#» und reelle Zahlen r, s gilt:
Für alle Vektoren #»
u , #»
v, w
1)
2)
3)
4)
#» = #»
#»
( #»
u + #»
v)+ w
u + ( #»
v + w)
#»
#»
u + #»
v =
v + #»
u
0
#»
#»
v + 0 = v
0
r · (s · #»
u ) = (r · s) · #»
u
5)
6)
7)
8)
Klammern- vor Punkt- vor Strichrechnung.
(r + s) · #»
u = r · #»
u + s · #»
u
#»
#»
#»
r · ( u + v ) = r · u + r · #»
v
#»
#»
1 · v = v 0
0 · #»
v = 0
0
#» und r, s reelle Zahlen aus und überprüfe diese
Aufgabe 2.1. Such dir selbst Vektoren #»
u , #»
v, w
Rechenregeln.
Mach es dir nicht zu einfach.
4
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Beispiel 2.2. Du erkennst sicher einige der Rechenregeln vom Rechnen mit Zahlen wieder. Tatsächlich können wir mit den Rechenregeln für Zahlen auch die entsprechenden Regeln für Vektoren
erklären. Zum Beispiel stimmt für Vektoren das Kommutativgesetz der Addition, weil
#»
u + #»
v =
u1 u2
u3
+
v1 v2
v3
=
u +v 1
1
u2 +v2
u3 +v3
=
v +u 1
1
v2 +u2
v3 +u3
=
v1 v2
v3
+
u1 u2
u3
= #»
v + #»
u.
Beschreibe die oben genannten Rechenregeln in eigenen Worten.
#» = #»
#» könnte man so beschreiben:
Die erste Rechenregel ( #»
u + #»
v)+ w
u + ( #»
v + w)
#» addiert. Links rechne ich zuerst #»
„Es werden drei Vektoren #»
u , #»
v und w
u + #»
v . Zum Ergebnis
#»
#»
#»
addiere ich dann den Vektor w. Rechts rechne ich zuerst v + w. Das Ergebnis addiere ich
dann zum Vektor #»
u . Es kommt immer dasselbe heraus.“
Wir können dreidimensionale Vektoren als Verschiebungspfeil im Raum darstellen.
Beispiel 2.3. Gib jenen Vektor an, der eine Flugdrohne vom Punkt A = (5 | 3 | 0) zum Punkt B =
(2 | 4 | 4) bringt.
Lösung.
Um von A nach B zu kommen, müssen wir
1) die x-Koordinate um 3 verkleinern,
2) die y-Koordinate um 1 vergrößern und
3) die z-Koordinate um 4 vergrößern.
# » −3 Der gesuchte Vektor ist also AB = 1 .
4
„Spitze minus Schaft – Regel“
Den Verschiebungsvektor mit Anfangspunkt A = (a1 | a2 | a3 ) und Endpunkt B = (b1 | b2 | b3 )
können wir wie in der Ebene mit der „Spitze minus Schaft – Regel“ berechnen:
# »
b1 −a1
AB = b2 −a2 .
b3 −a3
5
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Raumdiagonale eines Quaders
Erkläre, weshalb die Eckpunkte A und B
des Quaders
√
√
12 + 32 + 22 = 14
Einheiten voneinander entfernt sind.
Betrag eines Vektors
Die Länge (Betrag) des dreidimensionalen Vektors #»
v =
#»| =
|v
q
v1 v2
v3
beträgt
v12 + v22 + v32 .
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren #»
v =
#» · w
#» =
v
v1 w1 v2
v3
·
w2
w3
v1 v2
v3
#» =
und w
w1 w2
w3
ist
= v1 · w1 + v2 · w2 + v3 · w3 .
Rechenregeln des Skalarprodukts
#»
Für alle Vektoren #»
a , b , #»
c und jede reelle Zahl r gilt:
Klammern- vor Punkt- vor Strichrechnung.
1) | #»
a |2 = #»
a · #»
a
#»
#»
5) #»
a · ( b + #»
c ) = #»
a · b + #»
a · #»
c
#» #»
2) #»
a · b = b · #»
a
#»
#»
6) ( #»
a + b ) · #»
c = #»
a · #»
c + b · #»
c
#»
#»
3) (r · #»
a ) · b = r · #»
a· b
#»
#»
7) #»
a · ( b − #»
c ) = #»
a · b − #»
a · #»
c
#»
#»
4) #»
a · r · b = r · #»
a· b
#»
#»
8) ( #»
a − b ) · #»
c = #»
a · #»
c − b · #»
c
6
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Cosinussatz
Erkläre bei jedem der Umformungsschritte, welche der Rechenregeln verwendet wird:
#» 2 = ( #»
#» · ( #»
#»
| #»
v − w|
v − w)
v − w)
#» · #»
#» · w
#»
= ( #»
v − w)
v − ( #»
v − w)
#» · #»
= #»
v · #»
v −w
v −
#» 2 − 2 ·
= | #»
v |2 + | w|
#»
#» + w
#» · w
#»
v ·w
#»
#»
v · w.
#» 2 = | #»
#» 2 − 2 · | #»
#» · cos(ϕ).
Vom Cosinussatz wissen wir aber auch, dass | #»
v − w|
v |2 + | w|
v | · | w|
Winkel zwischen zwei Vektoren
#» eingeschlossene Winkel ϕ erfüllt daher
Der von zwei Vektoren #»
v und w
#» · w
#»
v
cos(ϕ) = #»
#» .
| v | · |w|
#» = 0 ist?
Was weißt du also über den Winkel ϕ, wenn #»
v ·w
#» > 0 bzw. #»
#» < 0 ist?
Welche Aussage kannst du machen, wenn #»
v ·w
v ·w
Beispiel 2.4. Berechne den von #»
v =
2 1
−2
#» =
und w
−2 4
−4
eingeschlossenen Winkel.
Lösung.
2 −2 cos(ϕ) =
· 4
√ −4
9 · 36
1
−2
√
8
8
=⇒ ϕ = arccos
= 63,61...◦
=
18
18
7
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Normalprojektion
Wir suchen jene Zahl r ∈ R, sodass die Vektoren
r · #»
v,
#» − r · #»
w
v und
#»
w
ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Für diese Zahl r gilt also
#»
#» − r · #»
v · (w
v ) = 0.
Rechne nach, dass
r=
#»
#»
v ·w
.
| #»
v |2
#» auf #»
#»
Der Vektor r · #»
v ist dann genau die Normalprojektion von w
v , abgekürzt: nor~v w.
Erkläre damit die Formel
#» #»
#» = v · w · v#»,
nor~v w
0
#»|
|v
wobei v0 = | #»v1 | · #»
v der Einheitsvektor von #»
v ist. (Gleiche Richtung und Orientierung wie #»v , aber Länge 1.)
Du siehst, dass die Formeln für Winkel und Normalprojektion aus der Ebene genauso auch im
Raum gelten.
Parameterdarstellung einer Gerade
Wie auch in der Ebene können wir auch im Raum jede Gerade eindeutig durch einen Punkt und
einen Richtungsvektor festlegen.
Der Punkt A = (0 | −3 | 2) und
1
3
der Richtungsvektor #»
v =
−1
legen zum Beispiel die dargestellte
Gerade fest:
Ein Punkt X liegt genau dann auf der Gerade g, wenn es eine Zahl t ∈ R gibt, sodass
(1)
#».
X =A+t· v
Die Zahl t wird dann auch Parameter genannt, und (1) eine Parameterdarstellung der Gerade. Der Punkt P = (2 | 3 | 0) liegt zum Beispiel auf der dargestellten Gerade, weil
A + 2 · #»
v = (0 | −3 | 2) + 2 ·
8
1 3
−1
= (2 | 3 | 0) .
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Parameterdarstellung einer Ebene
Diesmal starten wir vom
Punkt A=(0 | −2 | 0) und erlauben beliebige Bewegungen in Richtung
1
0
#»
der Vektoren u = 1 und #»
v = 2 .
0
3
Folgen wir zum Beispiel zweimal
dem Vektor #»
u , dann landen wir
im Punkt
A + 2 · #»
u = (2 | 0 | 0) .
Bewegen wir uns stattdessen einmal in Richtung #»
v , dann landen
wir im Punkt
A + 1 · #»
v = (0 | 0 | 3) .
Führen wir vom Punkt A ausgehend beide Bewegungen hintereinander durch, dann landen wir
im Punkt
A + 2 · #»
u + 1 · #»
v = (2 | 2 | 3) .
Tatsächlich liegen alle Punkte, die du so erreichen kannst, auf einer gemeinsamen Ebene.
Kannst du sie dir vorstellen? Zeichne oben ein, wie du den Punkt Q auf der Ebene erreichen kannst.
Ein Punkt X liegt genau dann auf der Ebene, wenn es zwei Zahlen s, t ∈ R gibt, sodass
(2)
#» + t · v
#».
X =A+s·u
Wie bei der Gerade nennen wir die Zahlen s und t Parameter, und (2) eine Parameterdarstellung der Ebene.
Normalvektoren
Erinnere dich, dass in der Ebene die Vektoren
#»
v2
−v2
v#»
L = ( v1 ) und vR = ( −v1 )
normal auf den Vektor #»
v = ( vv12 ) stehen.
v1 Welche Vektoren stehen im Raum normal auf den Vektor #»
v = vv2 ?
» = 0 und #»
» = 0.
Es ist #»
v · v# L
v · v# R
3
Nimm dir zwei Stifte. Mach aus einem Stift den Vektor #»
v und zeige in eine bestimmte Richtung.
Beschreibe, wie du den anderen Stift dazuhalten kannst, damit die Stifte einen rechten Winkel einschließen.
9
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Normalebene
Der Punkt P = (4 | 2 | 0) und der Vektor #»
n =
3 −3
2
sind gegeben.
Wir suchen
alle Punkte X = (x | y | z), für die #»
n normal auf den Verbindungsvektor
# »
x−4
P X = y−2 steht.
Nimm wieder zwei Stifte.
z
Alle Punkte X mit dieser Eigenschaft liegen
auf der dargestellten Ebene.
Die Gleichung der Ebene ist
# »
#»
n · P X = 0,
also
3 x−4 −3
2
·
y−2
z
=0
3 · (x − 4) − 3 · (y − 2) + 2 · z = 0
3·x−3·y+2·z =6
#»
Komponenten des Normalvektors n
Die Ebene verläuft also zum Beispiel auch
durch die Punkte
(2 | 0 | 0) , (0 | −2 | 0) und (0 | 0 | 3) .
Normalvektorform einer Ebene
Die Lösungen X = (x | y | z) der Gleichung
# »
#» · P
n
X=0
#»
n 6= ( 00 )
sind genau die Punkte in jener Ebene, die durch den Punkt P verläuft, und die normal auf den
Vektor #»
n steht. Diese Darstellung der Ebene nennen wir daher auch Normalvektorform.
Koordinatenform einer Ebene
Die Lösungen X = (x | y | z) der Gleichung
a·x+b·y+c·z =d
sind genau die Punkte in jener Ebene, die normal auf den Vektor #»
n =
d
Abstand | n#»| vom Koordinatenursprung hat.
Diese Darstellung der Ebene nennen wir auch Koordinatenform.
10
a
b
c
steht und den
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Vektorprodukt
#» ist der Vektor
Das Vektorprodukt zweier Vektoren #»
v und w
#» × w
#» =
v
v1 v2
v3
×
w1 w2
w3
=
v2 ·w3 − w2 ·v3 −(v1 ·w3 − w1 ·v3 ) .
v1 ·w2 − w1 ·v2
#» auch: „Kreuzprodukt“)
(Sprechweise: „ #»
v kreuz w“,
3
2
#» = −3
Beispiel 2.5. Gegeben sind die Vektoren #»
v = 5 und w
.
−2
−1
#»
#»
#» steht.
Berechne das Vektorprodukt v × w und überprüfe, dass es normal auf #»
v und w
Lösung.
#»
#» =
v ×w
3 5
−2
#» · #»
( #»
v × w)
v =
#» · w
#» =
( #»
v × w)
×
2 −3
−1
−11 −1
·
−19
−11 −1
·
−19
=
−11 −1
−19
3 5
−2
2 −3
−1
= −33 − 5 + 38 = 0 = −22 + 3 + 19 = 0 Linkssystem und Rechtssystem
In der Grafik rechts sind die positive x, y und z-Achse dargestellt.
Welche ist die x-Achse und welche ist die y-Achse?
Du umgreifst die z-Achse mit der linken
Hand und schraubst im Uhrzeigersinn.
Damit drehst du die x-Achse auf kürzestmöglichem Weg auf die vorherige Position
der y-Achse:
Du umgreifst die z-Achse mit der rechten
Hand und schraubst gegen den Uhrzeigersinn. Damit drehst du die x-Achse auf
kürzestmöglichem Weg auf die vorherige Position der y-Achse:
Die positive x-, y- und z-Achse bilden dann
ein sogenanntes Linkssystem.
Die positive x-, y- und z-Achse bilden dann
ein sogenanntes Rechtssystem.
11
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Vektorrechnung im Raum
Eigenschaften des Vektorprodukts
#» steht normal auf die Vektoren #»
#»
1) Das Vektorprodukt #»
v ×w
v und w.
#» und #»
#» bilden ein Rechtssystem.
2) Die Vektoren #»
v, w
v ×w
#» und schraube gegen den Uhrzeigersinn.
Strecke den rechten Daumen in Richtung #»
v ×w
#» spannen ein Parallelogramm mit Flächen3) Die Vektoren #»
v und w
#» auf.
inhalt | #»
v × w|
#» eindeutig fest.
Diese 3 Eigenschaften legen den Vektor #»
v ×w
Weitere Eigenschaften des Vektorprodukts
#» eindeutig festlegen.
• Erkläre, warum diese drei Eigenschaften den Vektor #»
v ×w
#» normal auf #»
• Rechne nach, dass #»
v ×w
v steht, also
#» · #»
( #»
v × w)
v =
• Rechne nach, dass
v2 ·w3 − w2 ·v3 −(v1 ·w3 − w1 ·v3 )
v1 ·w2 − w1 ·v2
·
v1 v2
v3
= 0.
#» × w
#» = − (w
#» × v
#»).
v
• Erkläre unter Verwendung von Eigenschaft 3), weshalb
#» × w|
#» = | v
#»| · |w|
#» · sin(ϕ),
|v
#» eingeschlossene Winkel ist.
wobei ϕ der von #»
v und w
• Rechne nach, dass
#»
v × #»
v =
0
0
0
und
#» = r · ( #»
#»
(r · #»
v)× w
v × w).
Drei verschiedene Multiplikationen
Wir müssen Vektorprodukt, Skalarprodukt, und Multiplikation mit einem Skalar gewissenhaft
unterscheiden.
#» werden zwei Vektoren multipliziert.
• Beim Skalarprodukt #»
v ·w
Das Ergebnis v1 · w1 + v2 · w2 + v3 · w3 ist ein Skalar.
• Bei r · #»
v werden
ein Skalar und ein Vektor multipliziert.
r·v1 2
Das Ergebnis r·v
ist ein Vektor.
r·v
3
#»
#» werden zwei Vektoren multipliziert.
• Beim Vektorprodukt
v ×w
v2 ·w3 − w2 ·v3 Das Ergebnis −(v1 ·w3 − w1 ·v3 ) ist ein Vektor.
v1 ·w2 − w1 ·v2
12
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Beispiel 2.6. Bestimme eine Gleichung
a·x+b·y+c·z =d
jener Ebene, die von den Vektoren #»
v =
P = (3 | 0 | 1) enthält.
3
2
3
#» =
und w
7 −2
4
aufgespannt wird und den Punkt
a
#»
Lösung. Wir suchen einen Normalvektor #»
n = cb der Ebene, also einen Vektor der auf #»
v und w
normal steht:
7 14 #»
#» = 32 × −2
n = #»
v ×w
= 9
3
1. Lösungsweg:
−20
4
2. Lösungsweg:
# »
#»
n · PX = 0
14 · x + 9 · y − 20 · z = d.
14 x−3 P einsetzen:
9
−20
·
y
z−1
=0
14 · x − 42 + 9 · y − 20 · z + 20 = 0
14 · 3 + 9 · 0 − 20 · 1 = d =⇒ d = 22
Eine Gleichung der Ebene ist somit
14 · x + 9 · y − 20 · z = 22.
Drehmoment
Du ziehst mit einem Schraubenschlüssel eine Schraubenmutter
an. Die Drehwirkung hängt dann ab von
#»
1) der ausgeübten Kraft F und
~
M
2) der Länge des Vektors #»
r vom Bezugspunkt des Drehmoments
zum Angriffspunkt der Kraft.
#»
#»
Der Vektor des Drehmoments M steht normal auf #»
r und F .
#»
#»
Die Vektoren #»
r , F und M bilden ein Rechtssystem.
~r
F~
Allgemein gilt dann
#»
#»
M = #»
r × F.
#»
Das Drehmoment |M | gibt ein Maß für die Drehwirkung der Kraft an.
13
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung im Raum
Der Betrag der von dir ausgeübten Kraft
#»
– also | F | – ist in allen drei Bildern gleich
groß.
Auf welche der drei Arten würdest du
intuitiv die Schraube anziehen, um die
größte Drehwirkung zu erreichen?
Erkläre mathematisch, dass das Dreh#»
moment |M | dann am größten ist, wenn
ϕ = 90◦ ist.
Hinweis: Wie groß ist der Flächeninhalt des Parallelo#»
gramms, das von #»
r und F aufgespannt wird?
6 #» 4 Beispiel 2.7. Berechne den Betrag des Drehmoments (in N · m) für F = −3 kN und #»
r = −8 cm.
1
−5
Lösung.
#»
#» 6 4 −23 M = #»
r × F = −8 × −3 = −26 kN · cm
−5
1
14
q
#»
|M | = (−23)2 + (−26)2 + 142 = 37,42... kN · cm = 374,2... N · m
14
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung im Raum
3. Weitere Aufgabenstellungen
#» spannen ein sogenanntes
Aufgabe 3.1. Drei (zueinander nicht parallele) Vektoren #»
u , #»
v und w
Parallelepiped auf.
a) Erkläre folgende Formel für das Volumen des Parallelepipeds:
#»
V = |( #»
u × #»
v ) · w|
2 −2 b) Berechne das Volumen des von #»
u = −4 , #»
v = 5
#» =
und w
0
4
2
1
~u × ~v
w
~
h
0
aufgespannten Parallelepipeds.
~u
G
~v
Aufgabe 3.2. Wir sehen uns die Länge des Vektorprodukts zweier Vektoren #»
v =
genauer an:
v1 v2
v3
#» =
und w
v1 v2
v3
a) Kontrolliere, indem du beide Seiten ausmultiplizierst und miteinander vergleichst, dass
#» 2 = | #»
#» 2 − ( #»
#» 2 .
| #»
v × w|
v |2 · | w|
v · w)
#» schließen den Winkel ϕ ein. Rechne nach, dass
b) Die beiden Vektoren #»
v und w
#» = | #»
#» · sin(ϕ)
| #»
v × w|
v | · | w|
(0◦ < ϕ < 180◦ )
gilt. Die Länge des Vektorprodukts ist also tatsächlich gleich groß wie der Flächeninhalt des von
#»
#» aufgespannten Parallelogramms.
v und w
#» =
| #»
v × w|
#» 2 − ( #»
#» 2 = | #»
#» ·
| #»
v |2 · | w|
v · w)
v | · | w|
q
#» 2
p
( #»
v · w)
#» · 1 − cos2 (ϕ) = | #»
#» · sin(ϕ).
v | · | w|
1 − #» 2 #» 2 = | #»
v | · | w|
| v | · | w|
r
b)
= v12 · w22 + v12 · w32 + v22 · w12 + v22 · w32 + v32 · w12 + v32 · w22 − 2 · v1 · v2 · w1 · w2 − 2 · v1 · v3 · w1 · w3 − 2 · v2 · v3 · w2 · w3
#» 2 − ( #»
#» 2 = (v 2 + v 2 + v 2 ) · (w2 + w2 + w2 ) − (v · w + v · w + v · w )2 =
| #»
v |2 · | w|
v · w)
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
= v22 · w32 − 2 · v2 · v3 · w2 · w3 + v32 · w22 + v32 · w12 − 2 · v1 · v3 · w1 · w3 + v12 · w32 + v12 · w22 − 2 · v1 · v2 · w1 · w2 + v22 · w12
#» 2 = | #»
v × w|
v2 ·w3 − w2 ·v3
−(v1 ·w3 − w1 ·v3 )
v1 ·w2 − w1 ·v2
2
=
3.2 a)
b) V = 4
#» = |( #»
#»
3.1 a) V = G · h = | #»
u × #»
v | · | nor #u»× #v» w|
u × #»
v ) · w|
(Geometrische Interpretation des Skalarprodukts)
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http://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at
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