− ∈ Z, (z − a)(z − b)

Dr. Daniel Greb
Dr. Andreas Höring
SS 2011
Übungsaufgaben zur Funktionentheorie
3. Blatt
Abgabetermin: Dienstag, 24. Mai 2011, vor der Vorlesung
Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.
Aufgabe 3-1 (4 Punkte):
Es sei D ⊂ C offen, für z ∈ C sei z = x + iy die Zerlegung in Real- und Imaginärteil.
a) Sei nun
α := α1 dx + α2 dy
eine 1-Form auf D, d.h. für i = 1, 2 sind αi : D → C Funktionen auf D. In der Vorlesung
wurde ihnen gesagt, dass gilt:
α = Fdz + Gdz̄,
wobei F : D → C und G : D → C Funktionen sind. Beweisen Sie diese Aussage in dem
sie F und G explizit durch α1 und α2 und umgekehrt darstellen.
b) Es sei α = Fdz + Gdz̄ eine 1-Form auf D. Zeigen Sie, dass
dα = (
∂G ∂F
−
)dz ∧ dz̄.
∂z
∂z̄
Aufgabe 3-2 (5 Punkte):
Berechnen Sie die folgenden Wegintegrale
R
a) ∂D(z0 ,r) (z − z0 )n dz wobei n ∈ Z,
R
b) [−i,i] z cos zdz,
R
c) [1,i] |z|2 dz.
Aufgabe 3-3 (3 Punkte):
Es sei D ⊂ C die Einheitskreisschreibe und a, b ∈ (C \ ∂D) zwei verschiedene komplexe
Zahlen. Berechnen Sie das Wegintegral
Z
∂D
1
dz
(z − a)(z − b)
in Abhängigkeit von a und b.
Hinweis: Partialbruchzerlegung
Aufgabe 3-4 (4 Punkte):
Es seien D1 und D2 offene Mengen in C und α eine 1-Form auf D1 ∪ D2 , so dass α| D1 und
α| D2 exakt sind.
a) Zeigen Sie: Wenn D1 ∩ D2 zusammenhängend ist, dann ist α exakt.
b) Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass die Voraussetzung in a) nicht überflüssig ist.
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