Hm-1 Vü-5

Hm-1
Ws 2016/7
Vü-5
Vortragsübung
29.11.16
∑ Aufgabe 1
Sei S Õ {z 2 C : |z| = 1} . Welche Aussagen sind wahr?
a. Die komplexe Multiplikation ist eine Operation auf S .
b. Für z 2 S ist z 1 = z .
c. Für z 2 S ist z 1 = z̄ .
d. Die Gleichung z4 = 1 hat in S genau zwei Lösungen.
∏ a. Richtig. Denn das Produkt ist wieder ein Element von S .
b. Absolut falsch.
c. Richtig. Denn zz̄ = |z|2 = 1 .
d. Falsch. Es gibt die vier Lösungen 1, i, 1,
i. µ
∑ Aufgabe 2
Bestimmen sie zu den folgenden komplexen Zahlen die komplex Konjugierten,
die Beträge, die multiplikativ Inversen, sowie alle möglichen Produkte und
Quotienten. Stellen sie die Ergebnisse immer in der Form u + v i dar.
a. 3 + 2i
b. 2 4i
c.
i
d. 1 i
∏ Elementar. µ
∑ Aufgabe 3
Bringen sie die folgenden komplexen Zahlen in die Form u + v i .
a.
1+i
1 i
b.
2 3i
3 + 4i
c.
(2 + 3i)3
d.
77
X
in
n=1
∏ a. i
p
b.
13/5
c.
46 + 9i
d. i µ
∑ Aufgabe 4
Für z 2 C und
∏ Es ist ¯ =
Im z .
und deshalb
Im z =
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2 R gilt Im z =
1
( z
2i
¯z̄) = 1 ( z
2i
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z̄) =
2i
(z
z̄) =
Blatt Vü-5 vom 29.11.16
Im z.
µ
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Ws 2016/7
Vü-5.2
Vortragsübung
29.11.16
∑ Aufgabe 5
Man beweise die umgekehrte Dreiecksungleichung,
|z + w| · |z|
|w|
und die Parallelogrammgleichung,
|z + w|2 + |z
w|2 = 2 |z|2 + 2 |w|2 .
∏ Die umgekehrte Dreiecksungleichung folgt aus der Dreiecksungleichung genau
wie im Reellen ?? . Die Parallelogrammgleichung ergibt sich durch
Ausmultiplizieren:
|z + w|2 + |z
w|2 = (z + w)(z̄ + w̄) + (z
w)(z̄
w̄)
= zz̄ + w w̄ + zz̄ + w w̄
= 2 |z|2 + 2 |w|2 .
µ
∑ Aufgabe 6
Zu jedem z 2 C ÿ ( 1, 0] gibt es genau ein w 2 C mit
Hauptteil der Wurzel:
w 2 = z,
Re w > 0.
Und zwar ist
w=
s
|z| + Re z
+i
2
s
|z|
Re z
2
,
= sgn(Im z).
∏ Mit x = x + iy und w = u + iv gelangt man zu dem Gleichungssystem
u2
v 2 = x,
2uv = y.
Löst man die zweite Gleichugn nach u auf und setzt das Ergebnis in die erste
Gleichung ein, so erhält man wegen der Bedingung u > 0 die eindeutigen
Lösungen
s
|z|
+
x
|z| + Re z
u2 =
,
u=
.
2
2
Damit folgt dann auch
v2 =
|z|
x
2
.
Das Vorzeichen von v ist durch 2uv = y und damit sgn u = sgn y = sgn(Im z)
bestimmt. µ
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Ws 2016/7
Vü-5.3
Vortragsübung
29.11.16
∑ Aufgabe 7
Formulieren sie einen "-N-Test dafür, dass eine reelle Folge (an ) keine nicht
gegen 0 konvergiert.
∏ Es gibt ein " > 0 , so dass zu jedem N · 1 ein n · N existiert, für das
|an | · " . µ
∑ Aufgabe 8
a. Sei A ⇢ R nicht leer und beschränkt. Konstruieren sie eine Folge (an ) in A
(!), die gegen sup A konvergiert.
b. Konstruieren sie zu einer beliebigen Zahl x 2 R ÿ Q eine Folge (an ) in Q ,
die gegen x konvergiert.
∏ a. Da A nicht leer und beschränkt ist, existiert a = sup A . Aufgrund des
Approximationssatzes existiert zu jedem n · 1 ein an 2 A mit
a
1
< an ‡ a.
n
Wir erhalten damit eine Folge (an ) in A mit an ! a , denn ist N · 1/" , so ist
|an
a| <
1
1
‡
‡ ",
n
N
n · N.
b. Wende zum Beispiel Teil a auf die Menge A = {q 2 Q : q < x } an. µ
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