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§ 27 Permutationen
Zur Beschreibung von alternierenden multilinearen Abbildungen
und insbesondere für den begriff der Determinante benötigen wir
die Permutationen.
Erinnerung (vgl. 8.2): Für eine Menge M ist die Menge S(M) der
bijektiven Abbildungen von M nach M in eine Gruppe,
die symmetrische Gruppe bzw. die Permutationsgruppe.
Die Gruppenmultiplikation ist dabei die Komposition von
Abbildungen.
Im folgende interessieren wir uns für den Fall M = {1,2, ... , n} = n , für
eine positive natürliche Zahl n : Sn = S({1,2, ... , n}) .
Die Elemente p von Sn schreibt man zum Beispiel in der Form
2
3 ... n 
 1

 p(1) p(2) p(3) ... p(n) 
Folie 1
Kapitel III, §27
oder
a
a
... a 
 a1
 p(a ) p(a2 ) p(a3 ) ... p(an ) 

1
2
3
n 
(27.1) Definition: Eine Nachbarnvertauschung ist eine Permutation
p , die zwei benachbarte Zahlen vertauscht, und alle anderen Zahlen
festlässt:
Es gibt also j zwischen 1 und n mit p(j) = j+1, p(j+1) = j, und p(i) = i
sonst.
(27.2) Definition: Eine Transposition ist (anders als in einer früheren
Übungsaufgabe definiert) eine Permutation p , die zwei Zahlen
vertauscht, und alle anderen Zahlen festlässt:
Es gibt also j < k zwischen 1 und n mit p(j) = k, p(k) = j, und p(i) = i
sonst.
Offensichtlich ist eine Nachbarnvertauschung eine Transposition.
(27.3) Lemma:
1o Sn hat n! Elemente.
Folie 2
Kapitel III, §27
2o Jede Permutation aus Sn ist eine Komposition von
Nachbarnvertauschungen.
3o Jede Transposition ist Komposition einer ungeraden
Anzahl von Nachbarnvertauschungen.
4o Jede Permutation ist Komposition von Transpositionen.
(27.4) Definition: Zu p aus Sn ist jedes Paar (j,k) aus n2 ein
Fehlstand, für das j < k und p(j) > p(k) gilt.
Sei a(p) die Anzahl der Fehlstände für p aus Sn :
a(p) := #{(j,k) aus n : j < k und p(j) > p(k)} .
Setze:
sgn(p) := (-1)a(p) , „Signum von p“
p heißt gerade (bzw. ungerade), je nachdem, ob sgn(p) gerade
(bzw. ungerade) ist.
Wie berechnet man sgn(p) ?
(27.5) Lemma: Für Nachbarnvertauschungen und für Transpositionen p gilt sgn(p) = -1 .
Folie 3
Kapitel III, §27
Allgemeiner:
(27.5) Satz:
p(k) - p(j)
.
k

j
jk
sgn(p)  
(27.6) Satz: Es gilt sgn(pq) = sgn(p)sgn(q) für p,q aus Sn .
sgn : Sn  {1,1}
ist also ein Gruppenhomomorphismus.
(27.7) Folgerung: Für p aus Sn sei p = q1q2 .... qk .
1o Sind alle qj Nachbarnvertauschungen, so gilt
sgn(p) = (-1)k .
2o Sind alle qj Transpositionen, so gilt sgn(p) = (-1)k .
Bemerkenswert: In jeder Darstellung einer Permutation p von der
Form p = q1q2 .... qk mit lauter Transpositionen qj (oder lauter Nachbarnvertauschungen qj ) ist k stets gerade oder stets ungerade.
Folie 4