technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , M ICHAEL P R ÄHOFER
Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 2003/2004)
— Aufgabenblatt 4 (14. November 2003) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 20. Wadde-hadde-Du-de-da?
Gegeben seien die folgenden Gruppen und Teilmengen. Entscheiden Sie, welche der Teilmengen Untergruppen sind:
1.) Gegeben sei die Gruppe (Z12 , ⊕12 ).
{0, 2, 4, 6, 8, 10}
{}
{0}
{0, 6}
{0, 4, 8}
{0, 3, 5, 8}
{0, 3, 6, 9}
{6}
2.) Gegeben √
sei die Gruppe (R, +).
{a + b√2 | a, b ∈ Z}
{a + b√5 | a, b ∈ Q}
{a + b 2 | a ∈ Q, b ∈ R}
{0, 2, 4, 6, 8, 10}
R\Q
{x ∈ R | 5x + 1 = 0}
{x ∈ R | 5x = 0}
{2x | x ∈ Z}
Aufgabe 21. Transpositionen tun sich zusammen: Gemeinsam sind wir stark.
Gegeben sei die Permutation
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
π=
8 1 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14
14
7
∈ S14 .
1.) Schreiben Sie π als Produkt von paarweise elementfremden Zyklen.
2.) Stellen Sie π als Produkt von Transpositionen dar.
3.) Welches Signum besitzt π?
4.) Es sei n ∈ N. Stellen Sie den Zyklus (1 2 3 . . . n) ∈ Sn als Produkt von Transpositionen dar.
Welches Signum hat (1 2 3 . . . n)?
Aufgabe 22. Konjugation ist ein Automorphismus.
Es sei (G, ◦) eine Gruppe. Für ein Element a ∈ G definieren wir die Abbildung
G → G
fa :
x 7→ a ◦ x ◦ a−1 .
Zeigen Sie, dass fa ein Gruppenisomorphismus ist.
— Hausaufgaben —
Aufgabe 23. Die Symmetriegruppe des regelmäßigen Vierecks.
Wir definieren die drei Abbildungen id, σ, τ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} durch id(n) = n und σ(1) = 1, σ(2) = 4,
σ(3) = 3, σ(4) = 2, sowie τ (1) = 2, τ (2) = 3, τ (3) = 4, τ (4) = 1. Bestimmen Sie die Menge D aller Abbildungen,
die durch alle mögliche Verknüpfungen von id, σ und τ entstehen können, also
D = {id, σ, τ, σ ◦ σ, σ ◦ τ, τ ◦ σ, τ ◦ τ, σ ◦ σ ◦ σ, σ ◦ σ ◦ τ, σ ◦ τ ◦ σ, σ ◦ τ ◦ τ, . . .}.
Überprüfen Sie, daß D eine Untergruppe von S4 ist. Listen Sie möglichst viele Untergruppen von D auf.
Aufgabe 24. Die geheimen Freuden des General N. Bourbaki.
Beweisen Sie folgendes Untergruppenkriterium: Es seien (G, ◦) eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Das Paar
(H, ◦) ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn die beiden nachfolgenden Bedingungen gelten:
1. H ist nicht die leere Menge.
2. Für alle x, y ∈ H ist x ◦ y −1 ∈ H, wobei y −1 das (in G gebildete) Inverse zu y ist.
Aufgabe 25. Zu schwer.
Lucky Luke leitet einen Treck durch das unwegsame Gebirge des bayrischen Voralpenlandes und ruft auf gut Bayrisch:
“Schmeisst’s ois runter, wos nix taugt.”, wiederholt es aber nochmals:
Die Frau hat Recht! Warum ist das Puzzle nicht lösbar?
Hinweis: Betrachten Sie die Zahlenfolge “1, 2, 3, 4, . . . , 13, 15, 14” als ein Element π ∈ S15 . Jede Verschiebung der
Puzzleelemente entspricht einem anderen Element der S15 . Betrachten Sie nun die Anzahl der Fehlstände einer solchen
möglichen Permutation (ignorieren Sie dabei das “Loch”), sowie die Zeilennummer des “Loches”. Was läßt sich über
die Summe dieser beiden Zahlen jeweils sagen?
ODER: Betrachten Sie die Folge “1, 2, 3, 4, . . . , 13, 15, 14, Loch” als ein Element π ∈ S16 . Jede Verschiebung der
Puzzleelemente entspricht einem anderen Element der S16 . Betrachten Sie nun die Verschiebung eines Puzzleteils
als Transposition mit dem “Loch”. Was läßt sich über das Signum der zur Startposition gehörenden und der zur
gewünschten Endposition gehörenden Permutation aussagen ?
Abgabe der Hausaufgaben:
am Freitag, 21. November 2003, nach der Vorlesung (im HS1)