9. Aufgabenblatt

Lineare Algebra
Wintersemester 2015/16
Stefan Fredenhagen
9. Aufgabenblatt
Die Lösungen zu den Aufgaben sind am 11.01. vor der Vorlesung abzugeben.
9.1
Determinanten (4 Punkte)
Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:



4 1 1 α+1
1
1 1 0

−1
2

A1 = 
A2 = 
1 0 1
1
2 
3 1 1
α
1
9.2

2 −1 1
0 5 1
 .
0 4 9
3 0 1
Noch eine Determinante (4 Punkte)
Bestimmen Sie die Determinante der folgenden n × n-Matrix (n ≥ 2):

λ
.

−1 . .
A=
...

a0
..
.
λ
an−2
−1 λ + an−1



 .

(Abseits der Diagonalen, der linken Nebendiagonalen sowie der letzten Spalte sind
alle Einträge Null.)
9.3
Permutations-Matrizen (4 Punkte)
Sei π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} eine bijektive Abbildung, also eine Permutation von
n Zahlen. Wir definieren eine n × n-Matrix Pπ = (pij ) mit Einträgen
pij = δi π(j) .
Zeigen Sie, dass
a) Pπ ek = eπ(k) (ek sind die kanonischen Einheitsvektoren),
b) für zwei Permutationen π, σ gilt
Pπ◦σ = Pπ Pσ .
Lineare Algebra
9.4
Wintersemester 2015/16
Stefan Fredenhagen
Permutationen* (ohne Wertung)
Für eine Permutation π ∈ Sn (π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} bijektiv) haben wir
definiert
Y π(j) − π(i)
sign(π) :=
.
j
−
i
1≤i<j≤n
a) Sei n = 4 und π gegeben durch
1 2 3 4
1
2
3
4
=
.
π(1) π(2) π(3) π(4)
2 3 4 1
Bestimmen Sie sign(π).
b) Seien π, σ ∈ Sn . Zeigen Sie, dass
sign(π ◦ σ) = sign(π) sign(σ) .
c) Sei τa,b eine Transposition der Zahlen a und b (a 6= b), d.h.

 i für i 6= a, i 6= b
b für i = a
τa,b (i) =

a für i = b
Zeigen Sie, dass sign(τa,b ) = −1.
d) Jede Permutation lässt sich durch Hintereinanderausführung von Transpositionen erreichen. Machen Sie sich klar, dass aus den oben gezeigten Eigenschaften
der Signums-Funktion folgt, dass sich eine Permutation π mit sign(π) = 1 nur
durch eine gerade Anzahl von Transpositionen schreiben lässt, eine Permutation π mit sign(π) = −1 nur durch eine ungerade Anzahl.
9.5
Trainings- und Punktesammelaufgaben (+4 Punkte)
a) Bestimmen Sie die

0

A= 4
6
inverse Matrix zu

2 3
5 5 .
8 8
c) Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Gleichungssystems in parametrisierter Form
x1 +2 x2 +3 x3 = 0
3 x1 +7 x2 +10 x3 = 1
4 x1 +6 x2 +10 x3 = −2 .
b) Bestimmen Sie eine Basis von Bild und
Kern von


1 2 3
A = 4 5 6 .
7 8 9
d) Bestimmen Sie einen Vektor v 6= 0 im
R4 , der orthogonal ist zu den folgenden
drei Vektoren:
 
 
 
2
1
−4
−3
−2
6

 
 
v1 = 
 2  v2 =  0  v3 = −3 .
0
1
2