Technische Universität München
Werbung
Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Stefan Kranich
Ferienkurs LADS 1 (WS 2014/15)
http://ferienkurse.ma.tum.de/Ferienkurse/WiSe1415/LinAlgM
Lösungen zu Aufgabenblatt 3 (25. März 2015)
Aufgabe 1. Permutationen [Wiederholungsklausur Lineare Algebra 1 für Lehramt Gymnasium (WS 2010/11),
Aufgabe 3; Wiederholungsklausur Lineare Algebra 1 für Lehramt Gymnasium (WS 2011/12), Aufgabe
4, 2.]
1. Gegeben sei die Permutation
1
π=
8
2
9
3
1
4
10
5 6 7 8 9
6 5 3 7 4
10
.
2
(a) Schreiben Sie π als Produkt von disjunkten Zykeln.
(b) Stellen Sie π als Produkt von Transpositionen dar.
(c) Welches Signum besitzt π?
(d) Berechnen Sie π 2011 .
2. Gegeben seien die Permutationen σ, τ ∈ S4 mit
1 2 3 4
σ=
4 1 3 2
und τ =
1
2
2
3
3
4
4
.
1
Bestimmen Sie die Permutation ρ ∈ S4 , die die Gleichung σ ◦ ρ = τ erfüllt.
3. Schreiben Sie die Permutation σ als Produkt benachbarter Transpositionen.
Lösung:
1. (a) π = (1 8 7 3) ◦ (2 9 4 10) ◦ (5 6).
(b) π = (1 8) ◦ (8 7) ◦ (7 3) ◦ (2 9) ◦ (9 4) ◦ (4 10) ◦ (5 6).
(c) sign(π) = (−1)#Transpositionen = (−1)7 = −1.
(d)
π 2011 = ((1 8 7 3) ◦ (2 9 4 10) ◦ (5 6))2011
= (1 8 7 3)2011 ◦ (2 9 4 10)2011 ◦ (5 6)2011
= (1 8 7 3)2011 mod 4 ◦ (2 9 4 10)2011 mod 4 ◦ (5 6)2011 mod 2
= (1 8 7 3)3 ◦ (2 9 4 10)3 ◦ (5 6)
= (1 3 7 8) ◦ (2 10 4 9) ◦ (5 6)
Kürzer: Die Ordnung von π ist 4 = kgV(4, 2), da π nur aus disjunkten Zykeln der Länge 4 und 2 besteht.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Also π 2011 = π 2011 mod 4 = π 3 =
.
3 10 7 9 6 5 8 1 2 4
2.
ρ=σ
−1
◦τ =
1
2
2
4
3
3
4
1
◦
1
2
2
3
3
4
4
1
1
=
4
2
3
3
1
3. Schreibe π als Permutationsdiagramm und erhalte π = (3 4) ◦ (2 3) ◦ (3 4) ◦ (1 2).
1
4
2
Aufgabe 2. Ring [Aufgabenblatt 7, Aufgabe 39]
Gegeben sei die Menge
M :=
na
o
|
a
∈
Z,
k
∈
N
⊂ Q.
2k
a) Zeigen Sie, dass (M, +, ·) mit der üblichen Addition und Multiplikation (in Q) ein Ring ist.
b) Ist (M, +, ·) auch ein Körper?
Lösung:
Ring:
(R, +, ·) mit
(R, +) kommutative Gruppe
(a · b) · c = a · (b · c)
∀a, b, c ∈ R
(a + b) · c = a · c + b · c
∀a, b, c ∈ R
a · (b + c) = a · b + a · c
∀a, b, c ∈ R
a)
(M, +) ist kommutative Untergruppe von (Q, +), weil nicht-leer, abgeschlossen bzgl. Addition und additiver
Inversen (Kommutativität wird geerbt von (Q, +, ·))
(M, ·) ist abgeschlossen und multiplikative Assoziativität wird geerbt von (Q, +, ·)
Distributivgesetze werden geerbt von (Q, +·)
Körper:
(K, +, ·) mit
(K, +, ·) Ring
(K \ {0}, ·) kommutative Gruppe
oder
(K, +), (K \ {0}, ·) kommutative Gruppen
Distributivgesetz
b) (M, +, ·) ist kein Körper, da im Allgemeinen
a −1
2i
2
=
2i
6∈ M.
a
Aufgabe 3. Wahr oder falsch?
a) Die Gruppe S5 hat 60 Elemente.
b) Die Gruppe S3 ist abelsch.
c) Ein Graphenautomorphismus ist eine knotenerhaltende Abbildung.
d) Jede Gruppe mit 4 Elementen ist isomorph zu einer Untergruppe der S4 .
e) Die Darstellung einer Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen ist bis auf die Reihenfolge
der Transpositionen eindeutig.
f) In jedem Ring mit Eins gilt (−1) · (−1) = 1.
g) (Z4 , ⊕4 , 4 ) ist ein Körper.
h) Für alle a, b, c, d ∈ C mit c + id 6= 0 lässt sich
a+ib
c+id
in der Form x + iy mit x, y ∈ R schreiben.
i) Jede komplexe Zahl lässt sich in der Form cos ϕ + i sin ϕ schreiben.
j) (C \ {0}, ·) operiert auf C mit gewöhnlicher Multiplikation komplexer Zahlen.
Lösung:
a) Falsch, S5 hat 5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120 Elemente.
b) Falsch, siehe Aufgabenblatt 3, Aufgabe 14.
c) Falsch, ein Graphenautomorphismus ist eine kantenerhaltende Abbildung.
d) Wahr, der Satz von Cayley besagt, dass jede Gruppe mit n Elementen isomorph zu einer Untergruppe der Sn ist.
e) Falsch, nur die Parität der Anzahl der Transpositionen (das Signum der Permutation) ist eindeutig.
f) Wahr.
g) Falsch, (Zp , ⊕p , p ) Körper ⇔ p prim.
h) Wahr.
i) Falsch, | cos ϕ + i sin ϕ| = 1, aber fast alle komplexen Zahlen haben Betrag ungleich 1.
j) Wahr.
Gruppenoperation:
(G, ◦) Gruppe, M Menge, • : G × M → M Gruppenoperation mit
– a • (b • m) = (a ◦ b) • m
– e•m=m
∀a, b ∈ G, ∀m ∈ M
∀m ∈ M
3
