technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , F RANK VALLENTIN
Höhere Mathematik für Informatiker I (WS 2001/02)
— Aufgabenblatt 10 (20.12.2001) —
— Hausaufgaben —
Aufgabe 59. Vollständige Induktion.
Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer Eins, die nur durch Eins und durch sich selbst teilbar ist. Zeigen Sie mit
vollständiger Induktion: Jede ganze Zahl größer als Eins läßt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, d.h. für alle
n ∈ N, n > 1 gilt die Aussage
An : Es gibt ein r ∈ N und Primzahlen p1 , . . . , pr , so daß n = p1 · · · pr ist.
Hinweis. Nehmen Sie im Induktionsschritt an, daß die Aussagen A2 , . . . , An gelten, um die Aussage An+1 zu folgern.
Aufgabe 60. Permutationen.
Gegeben sei die Permutation π mit π(1) = 3, π(2) = 4, π(3) = 2, π(4) = 5, π(5) = 1, bzw. in Stellenschreibweise
1 2 3 4 5
π=
.
5 3 1 2 4
1.) Jede Permutation läßt sich als Komposition von Transpositionen schreiben. Wie viele Transpositionen werden mindenstens benötigt, um π als Komposition von Transpositionen zu schreiben.
2.) Jede Permutation läßt sich als Komposition von Transpositionen benachbarter Elemente schreiben. Geben Sie π als
Komposition von Transpositionen benachbarter Elemente an.
3.) Wie viele Transpositionen werden mindestens benötigt, um π als Komposition von Transpositionen benachbarter
Elemente zu schreiben.
4.)∗ Die Darstellung von π als Komposition von Transpositionen benachbarter Elemente ist nicht eindeutig. Geben Sie
möglichst viele verschiedene Beispiele solcher Kompositionen an. Wie gehen Sie dabei vor?
Aufgabe 61. Restklassengruppen und modulo-Rechnung.
Betrachten Sie auf der Menge Z der ganzen Zahlen folgende Relation ∼:
wobei 7Z = {. . . , −21, −14, −7, 0, 7, 14, 21, . . .}.
a∼b
⇔
a − b ∈ 7Z,
1.) Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation
ist. Bestimmen Sie anschließend
alle Äquivalenzklassen
M = {[a] a ∈ Z}
mit [a] = {b ∈ Z a ∼ b}.
2.) Die Menge M sollte Ihnen bekannt sein: Es ist M = Z/7Z. Wo finden sich die Begriffe Rechtsnebenklasse, Linksnebenklasse und Normalteiler in obiger Definition wieder?
3.) Auf M = Z/7Z ist die Addition [a] + [b] = [a + b] definiert. Zeigen Sie, dass (Z/7Z, +) eine Gruppe ist.
4.) Gegeben sei nun zusätzlich die Gruppe (Z7 = {0, 1, 2, . . . , 6}, ⊕7 ).
Zeigen Sie, dass
ϕ : Z7 → Z/7Z mit k 7→ [k]
ein Gruppenisomorphismus ist.
5.) Auf der Quotientengruppe (Z/7Z, +) definieren wir nun zusätzlich eine Multiplikation:
Zeigen Sie, dass (Z/7Z, +, ·) ein Körper ist.
[a] · [b] := [a · b].
6.)∗ Schreiben Sie ein effizientes Programm, das als Rechenoperationen ausschließlich +,*,/ verwendet, und bei Eingabe
der Dezimalstellen (an , an−1 , . . . , a0 ) überprüft, ob die Zahl x = an 10n + · · · + a1 10 + a0 durch 7 teilbar ist.
Aufgabe 62. Euklidischer Algorithmus.
Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler der Polynome
und
14X 3 − 5X 2 − X ∈ Q[X].
Aufgabe 63. Radikale.
Gegeben sei das Polynom p ∈ C[X] mit
p(X) = X 6 + 8i.
14X 5 − 5X 4 − 15X 3 + 19X 2 + 10X + 1 ∈ Q[X]
Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen von p.
Aufgabe 64. Ringe.
Gegeben sei die Menge Z[i] = {a + bi|a, b ∈ Z} ⊆ C.
1.) Skizzieren Sie die Menge Z[i] in der Ebene der komplexen Zahlen.
2.) Zeigen Sie, daß Z[i] zusammen mit der Addition und Multiplikation der komplexen Zahlen ein Ring ist.
3.) Skizzieren Sie die Menge 2Z[i] = {2x|x ∈ Z[i]}.
4.) Zeigen Sie, daß (2Z[i], +) eine Untergruppe von (Z[i], +) ist.
5.) Wie viele Elemente hat die Quotientengruppe Z[i]/2Z[i]?
6.)∗ Für welche Zahl x ∈ Z[i] hat die Quotientengruppe Z[i]/xZ[i] genau zwei Elemente?
7.)∗∗ Welche Elementanzahlen sind generell möglich?
Aufgabe 65. Basen von Untervektorräumen.
Bestimmen Sie Basen von den folgenden Untervektorräumen UK des K 3 :
           
1
1
2
2
3
3
1.) K = R und UR = span 2 , 3 , 1 , 3 , 1 , 2.
3
2
3
1
2
1

 
  
     
2+i
6
1
[1]
[1]
[3]
2.) K = C und UC = span  1  ,  2  ,  i . 3.) K = Z/7Z, UZ/7Z = span [2] , [1] , [0].
i
2i + 1
0
[3]
[0]
[6]
Aufgabe 66. Interpolation.
Ein reelles Polynom p ∈ R[X] vom Grad 3 ist von der Form
p(X) = a3 X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 ,
mit a3 6= 0.
1.) Bestimmen Sie die Ableitung p0 (X).
2.) Bestimmen Sie ein Polynom p vom Grad 3, für das gilt p(0) = y0 = 1, p(1) = y1 = 2, p0 (0) = h0 = 1,
p0 (1) = h1 = −1.
3.) Zeigen Sie, daß die Menge H = {q ∈ R[X]|Grad von q ≤ 3} ein Untervektorraum des Vektorraum R[X] ist.
4.) Die Standardbasis von H ist (1, X, X 2 , X 3 ) (Warum?). Überprüfen Sie, daß auch
p0 (X) = (1 − X)2 (1 + 2X), p1 (X) = (3 − 2X)X 2 , p2 (X) = X(1 − X)2 , p3 (X) = −X 2 (1 − X)
eine Basis von H ist.
5.) Was ist y0 p0 (X) + y1 p1 (X) + h0 p2 (X) + h1 p3 (X)?
Aufgabe 67. Lineare Abbildungen.
Es seien K ein Körper, V und W K-Vektorräume. Desweiteren sei f : V → W eine lineare Abbildung. Beweisen Sie, daß
f genau dann injektiv ist, wenn Kern(f ) = {0} ist.
Aufgabe 68. Matrizenrechnung.
Es seien A, B, C ∈ R3×3 drei reelle (3 × 3)-Matrizen. Es gelte A · B = C. Ersetzen Sie in der folgenden Gleichung die
Variablen durch Zahlen:

 
 

2 −3 c13
2 b12 1
a11 2
3
a21 1
3  · 0 b22 2 = 4 −3 c23  .
0 0 c33
0 b32 2
a31 −1 −2
Abgabe der Hausaufgaben:
bis Mittwoch, 9.1.2002, spätestens 19:30 Uhr, in den Briefkästen bei S0320.
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*sing* We wish you a MERRY CHRISTMAS *sing* We wish you a MERRY CHRISTMAS *sing*
*sing* We wish you a MERRY CHRISTMAS *sing* and a HAPPY NEW YEAR !!! *sing*