Ana-1 M.4

Modulprüfung Analysis 1
Ws 2010 / 2011
29.04.2011
Es gibt 10 Aufgaben. Die jeweilige Punktzahl steht am linken Rand.
Die Maximalpunktzahl ist 40. Zum Bestehen der Klausur sind 16 Punkte
erforderlich.
Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.
Bei Wahr / Falsch-Aufgaben gibt es für jede korrekte Antwort 1 Punkt, für
jede falsche Antwort −1 Punkt, und für jede Nichtantwort 0 Punkte. Ein
negatives Gesamtergebnis wird als 0 gewertet.
Es sind keine Hilfsmittel zugelassen
Tragen Sie unten auch Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein, und den
Namen Ihres Tutors.
Und nun – viel Erfolg!
Name:
�4�
M-Nr:
Tutor:
· Aufgabe 1
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, und welche falsch?
� wahr
b. Ist f : [a,b] → R unbeschränkt, so ist f nicht stetig. � wahr
� wahr
c. Ist A ⊂ R nicht offen, so ist A abgeschlossen.
a. Die Menge R ist keine induktive Menge.
d. Eine monotone Zahlenfolge in R ist
� wahr
entweder konvergent oder unbeschränkt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
� falsch
� falsch
� falsch
� falsch
�
Ana-1
Ws 2010/11
�3�
M.2
Modulprüfung
04.02.11
· Aufgabe 2
Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folgen mit den Gliedern
n+1
a. (1 + (−1)n )
+ (−1)n
n
√
n
n
b. (−1)3 −1 + (−1)2 +1 .
c. in n n
Geben Sie zu jedem Häufungspunkt auch eine Teilfolge an, die gegen diesen
Häufungspunkt konvergiert.
�4�
· Aufgabe 3
n
Die reellen Zahlen Bm
seien für 0 � m � n induktiv definiert durch
n
B0n = Bn
= 1,
n
n
n+1
+ Bm
= Bm
,
Bm−1
1 � m � n.
Zeigen Sie, dass
n
Bm
=
�3�
· Aufgabe 4
�4�
· Aufgabe 5
n!
.
m! (n − m)!
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
√
√
�
� n!
� n2 + 1 − n2 − 1
��
1 n
√
a.
b.
c.
1
−
nn
n
n
n�1
n�1
n�1
Zeigen Sie: Eine Teilmenge A ⊂ R ist kompakt genau dann, wenn jede stetige
Funktion f : A → R beschränkt ist.
�4�
· Aufgabe 6
Bestimmen Sie die folgenden Integrale. Zur Erinnerung: sin� = cos , cos� = − sin .
�1
�π
3
a.
t 2 e−t dt
b.
sin2 t dt
−1
�4�
0
· Aufgabe 7
Zeigen Sie:
a. Ist K ⊂ R kompakt, so ist f : K → R , f (t) = t 2 lipschitzstetig.
b. Die Funktion f : R → R , f (t) = t 2 ist nicht lipschitzstetig.
Ana-1 Ws 10/11 Pöschel
Blatt M vom 04.02.11
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Ana-1
Ws 2010/11
�4�
M.3
Modulprüfung
04.02.11
· Aufgabe 8
Gegeben ist die Funktion
f : R → R,
f (x) =
Zeigen Sie:

 x(1 + 2x sin(1/x)),
 0,
x≠0
x = 0.
a. f ist auf R differenzierbar.
b. Es ist f � (0) > 0 .
c. in jeder Umgebung von 0 gibt es wenigstens ein Intervall, auf dem f streng
monoton fällt.
�4�
· Aufgabe 9
Gegeben ist die Folge der Funktionen
φn : (0,1) → R,
φn (t) =
t
.
1 + nt
a. Bestimmen Sie den punktweisen Limes φ dieser Funktionenfolge.
b. Formulieren Sie die Bedingung dafür, dass (φn ) gleichmäßig gegen φ
konvergiert.
c. Beweisen Sie, dass (φn ) gleichmäßig gegen φ konvergiert.
�6�
· Aufgabe 10
Gegeben ist die Funktion
u : (0,∞) → R,
u(t) =
�t
1
ds
.
s
Beweisen Sie folgende Aussagen.
a. u ist strong monoton steigend.
b. Es gilt limt→∞ u(t) = ∞ .
c. Es gilt u(st) = u(s) + u(t) .
d. Bestimmen Sie das Taylorpolynom T12 u von u im Punkt 1 der Ordnung 2 .
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