Probeklausur

Aufgabe 1
[10 Punkte]
Sei (an )n∈N eine Folge von reellen Zahlen und (bn )n∈N die Folge mit bn = |an |. Zeigen
Sie:
(a) Wenn (an )n∈N konvergiert, dann konvergiert auch (bn )n∈N .
(b) Wenn (bn )n∈N konvergiert, dann muss (an )n∈N nicht konvergieren.
(c) Begründen Sie, ob die folgenden Folgen für n → ∞ konvergieren und berechnen
Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
n2
1
n2
−
,
yn = n · cos
−n
xn =
n+1 n+2
n
Probeklausur Elementarmathematik II
Blatt 1
Aufgabe 2
[10 Punkte]
Wir definieren die Exponentialfunktion für komplexe Zahlen durch
exp : C → C, z 7→ eRe(z) · (cos(Im(z)) + i sin(Im(z))).
Zu z, w ∈ C mit w 6= 0 sei z w definiert als
z w := exp(z(log |w| + i arg(w)))
wobei |w| der komplexe Betrag und arg(w) das Argument (der Winkel in Polarkoordinatendarstellung ist).
(a) Schreiben Sie i in Polarkoordinatendarstellung.
(b) Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil von ii .
(c) Bestimmen Sie alle Lösungen von z i = 1.
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Blatt 2
Aufgabe 3
[10 Punkte]
(a) Gegeben sei die Funktion
f : R → R,
(
x2 · cos
x 7→
0,
1
x
, x 6= 0
x=0
Für welche x ∈ R ist f differenzierbar? Geben Sie für diese x die Ableitung von
f an.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn f : R → R und g : R → R stetig in x0 ∈ R,
aber nicht differenzierbar in x0 sind, dann ist auch f · g : R → R, x 7→ f (x) · g(x)
nicht differenzierbar in x0 .
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Blatt 3
Aufgabe 4
[10 Punkte]
Finden Sie eine Stammfunktion von
R → R,
x 7→ cos(x) sin(x).
(1) mittels partieller Integration,
(2) mittels des Additionstheorems für sin
und zeigen Sie, dass sich die Ergebnisse Ihrer beiden Rechnungen nur um eine Konstante unterscheiden.
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Blatt 4
Aufgabe 5
[10 Punkte]
Entscheiden Sie (ohne Begründung), ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Für jede richtige Antwort gibt es +1 Punkt, für jede falsche Antwort −1 Punkt. Dabei kann man für diese Aufgabe keine negative Gesamtpunktzahl erhalten.
wahr
falsch
1.) Jede irrationale Zahl kann man beliebig gut durch rationale
Zahlen annähern.
2.) Es gibt eine bijektive Abbildung Q → R.
3.)
P Wenn (an )n∈N eine Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe
( N
n=1 an )N ∈N .
4.) Sei (an )n∈N eine Cauchyfolge und (bn )n∈N eine beschränkte Folge.
Dann ist (an · bn )n∈N eine Cauchyfolge.
5.) Es gibt eine Folge, die keine konvergente Teilfolge hat.
6.) Eine auf einem beliebigen Intervall stetige Funktion nimmt ihr
Minimum und Maximum stets an.
Rx
1
7.) (−1)n dt = n+1
(−1)n+1 + c, c ∈ R.
8.) Für alle x, y ∈ (0, ∞) gilt logx (y) · logy (x) = 1.
9.) In einem beliebigen Dreieck mit Seiten der Länge a, b, c und
gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ gilt: sin(α)
= ab .
sin(β)
10.) Verdoppelt man bei einer Kreisscheibe den Umfang, so verdoppelt sich der Flächeninhalt.
Probeklausur Elementarmathematik II
Blatt 5