LA I VORKURS

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM)
LA I VORKURS
Herbstsemester 2017
gehalten von Harald Baum
1. September 2017
Inhaltsverzeichnis
1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I
2. Körper
3. Vektorräume über einem Körper
4. Lineare Unabhängigkeit
2
1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I
• Gruppen, abelsche Gruppen
• Ringe und Körper
• Vektorräume über einem Körper
• Linearkombination, Basis, Dimension
• Matrizen
• Lineare Abbildungen
• Lineare Gleichungssysteme über einem beliebigen Körper
• Determinanten
• Eigenwerte und Eigenvektoren
• Bilinearform, Skalarprodukt, Euklidische Vektorräume
3
2. Körper
In einem Körper K gibt es zwei Verknüpfungen + und · sowie zwei spezielle
voneinander verschiedene Elemente 0 und 1, sodass für alle x, y, z ∈ K gilt:
i) (x + y) + z = x + (y + z),
ii) x + y = y + x,
iii) x + 0 = x,
(x · y) · z = x · (y · z)
x·y =y·x
x·1=x
iv) Zu x ∈ K existiert ein eindeutiges −x ∈ K mit x + (−x) = 0
v) Zu x ∈ K mit x 6= 0 existiert ein eindeutiges x−1 ∈ K mit x · x−1 = 1
vi) x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
Beispiele
a) Die Menge Q der rationalen Zahlen (Brüche), die Menge R der reellen
Zahlen, die Menge C der komplexen Zahlen bilden mit der üblichen
Addition und Multiplikation jeweils einen Körper.
b) Die Menge Z der ganzen Zahlen bildet mit der üblichen Addition und
Multiplikation keinen Körper.
c) Sei p eine Primzahl. Dann bildet die Menge
Zp = {0, 1, 2, ...., p − 1}
mit den folgenden Verknüpfungen +p , ·p einen Körper mit p Elementen:
Für a ∈ Z bezeichen wir mit rp (a) ∈ Zp den Rest bei der Division von
a durch p also
a = q · p + rp (a)
mit q ∈ Z und rp (a) ∈ Zp . Dann definieren wir für a, b ∈ Zp :
a +p b = rp (a + b)
a·p b = rp (a · b)
Wir nehmen also die gewöhnliche Summe bzw. das gewöhnliche Produkt ganzer Zahlen und bilden anschließend den Rest bei der Division durch p. Auf diese Weise wird Zp tatsächlich zu einem Körper,
wesentlich ist dabei dass p eine Primzahl ist!
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Beispiele zum Rechnen im Körper Zp , p Primzahl:
a) 1 +2 1 = 0
b) 2 +5 3 = 0, 2 ·5 3 = 1
c) Der Körper Z7 ist durch folgende Verknüpfungstafeln gegeben:
+7
0
1
2
3
4
5
6
0
0
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
0
2
2
3
4
5
6
0
1
3
3
4
5
6
0
1
2
4
4
5
6
0
1
2
3
5
5
6
0
1
2
3
4
6
6
0
1
2
3
4
5
·7
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
2
0
2
4
6
1
3
5
3
0
3
6
2
5
1
4
4
0
4
1
5
2
6
3
5
0
5
3
1
6
4
2
6
0
6
5
4
3
2
1
und
Übungen:
a) Stellen Sie die Verknüpfungstafeln des Körpers Z5 auf
b) Lösen Sie das folgende LGS jeweils über R, Z5 und Z7 :
x1
4x1
+ 3x2
= 1
x2 + 3x3 = 1
+ x2 + 2x3 = 0
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3. Vektorräume über einem Körper
Sei K ein Körper. Ein Vektorraum V über K (kurz K-VR) ist gegeben durch
eine Addition + auf V , eine skalare Multiplikation c · x für c ∈ K, x ∈ V
sodass es einen ”Nullvektor” 0 ∈ V gibt derart dass für alle x, y, z ∈ V und
a, b ∈ K gilt:
V1) (x + y) + z = x + (y + z)
V2) x + y = y + x
V3) x + 0 = x
V4) Zu x ∈ V existiert ein eindeutiges −x ∈ V mit x + (−x) = 0
S1) (a · b) · x = a · (b · x)
S2) 1 · x = x
S3) a · (x + y) = (a · x) + (a · y)
S4) (a + b) · x = (a · x) + (b · x)
Nicht jede Teilmenge U eines K-VR V ist selbst wieder ein Vektorraum. Man
muss sicherstellen dass 0 ∈ U gilt und für x, y ∈ U sowie c ∈ K stets gilt
x + y ∈ U und c · x ∈ U . Eine solche Teilmenge von V mit diesen Eigenschaften nennt man einen Untervektorraum U von V .
Ein Untervektorraum U ist dann selbst wieder ein K-Vektorraum. Die
Rechengesetze braucht man nicht mehr nachrechnen, da sie ja in V gelten und
damit erst recht in U . Somit ist das Aufspüren von Untervektorräumen eine
gute Methode, Vektorräume zu finden bzw. nachzuweisen dass eine Menge
mit gewissen Verknüpfungen zu einem Vektorraum wird.
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Beispiele:


x1
 ..  n
a) Der K-Vektorraum K := { .  xi ∈ K, i = 1, ..., n}
xn
mit der Addition

 
x1
 ..  
 . +
xn



y1
x1 + y 1

..  := 
..


. 
.
yn
xn + y n
und der skalaren Multiplikation




x1
cx1




c ·  ...  :=  ... 
xn
cxn
(xi , yi ∈ K)
(xi , c ∈ K)
b) Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems mit n
Unbestimmten über K ist ein Untervektorraum von K n .
Übung: Untersuchen Sie, welche der folgenden Teilmengen von R2 Untervektorräume sind:
x1
a) U1 = {
∈ R2 | x1 + x2 = 1}
x2
x1
∈ R2 | x1 + x2 = 0}
b) U2 = {
x2
x1
c) U3 = {
∈ R2 | x1 · x2 = 0}
x2
x1
d) U4 = {
∈ R2 | x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0}
x2
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Beschreibung von Vektorräumen: Sind v1 , ..., vn ∈ V und c1 , ..., cn ∈ K,
so kann durch ”Linearkombination” das folgende Element von V gebildet
werden:
n
X
v = c1 · v1 + · · · + cn · vn =
ci · vi
i=1
Falls sich jedes Element v ∈ V in eindeutiger Weise als Linearkombination
von v1 , ..., vn darstellen lässt, so nennt man (v1 , ..., vn ) eine Basis von V . Falls
V eine endliche Basis besitzt, so hat jede Basis von V die gleiche Anzahl von
Elementen, diese Anzahl heißt die Dimension von V , geschrieben dimK (V )
oder kurz dim(V ) wenn K nicht weiter betont werden muss.
Übungen:
a) Zeigen Sie dim(K n ) = n
b) Zeigen Sie dass
1
1
(
,
)
1
−1
eine Basis von R2 ist.
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4. Lineare Unabhängigkeit
Seien v1 , ..., vm ∈ V .
Dann heißt (v1 , ..., vm ) linear unabhängig, wenn gilt:
Falls
m
P
ci · vi = 0 mit ci ∈ K, so folgt ci = 0 , i = 1, ..., m.
i=1
Sonst heißt (v1 , ..., vm ) linear abhängig.
Beispiele:

 
 

2
−3
0
a)  −2  ,  0  ,  4  ∈ R3 sind linear abhängig, denn es gilt
0
3
−4





  
2
−3
0
0
1 
1
1
−2  + ·  0  + ·  4  =  0 
·
2
3
4
0
3
−4
0

 

2
−3
b)  −2  ,  0  sind linear unabhängig, denn seien c1 , c2 ∈ R mit
0
3



  
2
−3
0





−2
0
0 
c1 ·
+ c2 ·
=
0
3
0
gegeben. Das bedeutet
2c1 − 3c2 = 0
−2c1 = 0
3c2 = 0
und es folgt leicht c1 = c2 = 0.
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
    
1
1
1





0
1
1  ∈ R3 sind linear unabhängig, denn seien
c)
,
,
0
0
1
c1 , c2 , c3 ∈ R gegeben mit
 
 
   
1
1
1
0







0
1
1
0 
c1 ·
+ c2 ·
+ c3 ·
=
0
0
1
0
Das bedeutet
c1 + c2 + c3 = 0
c2 + c3 = 0
c3 = 0
und es folgt leicht c1 = c2 = c3 = 0.
Bemerkung:
Seien (v1 , ..., vm ) linear unabhängig und v ∈ V .
a) Es gelte
v=
m
X
ci · v i =
i=1
m
X
di · v i
i=1
mit ci , di ∈ K. Dann folgt
m
X
(ci − di ) · vi = 0
i=1
und da (v1 , ..., vm ) linear unabhängig ist, folgt ci − di = 0, also ci = di
(i = 1, ..., m)
b) Falls v nicht in der Form
m
P
ci · vi geschrieben werden kann, so ist
i=1
(v1 , ..., vm , v) linear unabhängig.
Beweis: Seien c, ci ∈ K mit
c·v+
m
X
i=1
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ci · vi = 0
Wäre c 6= 0 so würde folgen
v=
m X
−ci
i=1
c
· vi
im Widerspruch zur Voraussetzung dass v nicht in dieser Form geschrieben
werden kann.
Also muss c = 0 gelten und da (v1 , ..., vm ) linear unabhängig ist, folgt
dann auch ci = 0, i = 1, ..., m. Somit ist (v1 , ..., vm , v) linear unabhängig.
Folgerung:
Sei dim(V ) = n und (v1 , ..., vm ) linear unabhängig. Dann kann (v1 , ..., vm )
zu einer Basis (v1 , ..., vn ) von V ergänzt werden.
Insbesondere bedeutet dies:
a) Falls m > n = dim(V ) und v1 , ..., vm ∈ V , so ist (v1 , ..., vm ) linear
abhängig
b) Falls n = dim(V ) und v1 , ..., vn ∈ V mit (v1 , ..., vn ) linear unabhängig,
so ist (v1 , ..., vn ) eine Basis von V .
Beispiele:
a)

    
1
1
1





1
1 )
( 0
,
,
0
0
1
ist eine Basis von R3
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b) Seien


x1
U = { x2  ∈ R3 | x1 + 2x2 + 3x3 = 0 , 4x1 + 5x2 + 6x3 = 0}
x3
und


x1
V = { x2  ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 0}
x3
Dann gilt U ⊆ V und man berechnet:


1
( −2 )
1
ist eine Basis von U ,

 

1
−1
( −2  ,  0 )
1
1
ist eine Basis von V ,

 
  
1
−1
1
( −2  ,  0  ,  0 )
1
1
0
ist eine Basis von R3
Übung: Zeigen Sie, dass die Vektoren

  
1
1
 −1  ,  1  ∈ R3
1
1
linear unabhängig sind und ergänzen Sie diese zu einer Basis des R3
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