VORWORT Das vorliegende Buch ist die ¨Ubersetzung

VORWORT
Das vorliegende Buch ist die Übersetzung des leicht überarbeiteten französischen Originaltextes: D. Foata, A. Fuchs, Calcul des Probabilités, Cours et
exercices corrigés, Masson, Paris, .
Herr Dr. Volker Strehl (Erlangen) hat die Aufgabe der Übersetzung auf sich
genommen und wir möchten es nicht versäumen, ihm gleich zu Beginn den
gebührenden Dank auszusprechen.
Es war keineswegs die Absicht der Verfasser, einen tiefschürfenden Grundriss der Wahrscheinlichkeitstheorie zu schreiben; vielmehr wollten sie dem
einigermassen fortgeschrittenen Studenten ein brauchbares Lehrbuch bieten.
Zu diesem Zwecke enthält jedes Kapitel auch eine Anzahl von ergänzenden
Bemerkungen und Übungsaufgaben, deren Lösungen der interessierte Leser
am Ende des Buches finden wird.
Zum tieferen Verständnis des Buches ist eine gute Praxis der mathematischen Analysis, wie sie zum Beispiel in den ersten zwei Jahren des Universitätsstudiums gelehrt wird, unerlässlich. Insbesondere ist ein Umgang mit
unendlichen Reihen, insbesondere auch (formalen) Potenzreihen, erforderlich.
In den ersten neun Kapiteln wird die Theorie der diskreten Wahrscheinlichkeiten vorgestellt. Diese fusst hauptsächlich auf der Theorie der unendlichen
Reihen. Aber auch andere, tiefer liegende Begriffe werden in diesen Kapiteln
gestreift, so zum Beispiel die Dynkin-Systeme, welche in einigen Fällen den
üblichen monotonen Systemen vorzuziehen sind.
Es hat sich gezeigt, dass eine vertiefte Behandlung der Wahrscheinlichkeitsrechnung nur auf der Basis der Mass– und Integrationstheorie möglich
ist. Für diesen modernen, axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie, der bekanntlich auf Kolmogorov zurückgeht, verfügt man über ausgezeichnete Lehrbücher; wir erwähnen H. Bauer [1, 2a], M. E. Munroe [8],
J. Neveu [9]. Die Erfahrung lehrt jedoch, dass die wenigsten Studenten, die mit dem Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie beginnen, über
genügende Kenntnisse in der Mass– und Integrationstheorie verfügen. Es
schien uns deshalb angebracht, die wichtigsten Elemente dieser Theorie in
ihren Grundzügen vorzustellen; dies geschieht im zehnten Kapitel. Später
werden wir zeigen, dass die wichtigsten masstheoretischen Begriffe auch eine
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wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung zulassen; so ist zum Beispiel der Erwartungswert einer Zufallsvariablen nichts anderes als das abstrakte Integral bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmasses. Ähnliches gilt für viele andere wahrscheinlichkeitstheoretische Begriffe. Diese Betrachtungen erlauben
es dann, den axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie auf einer
soliden Basis zu vollziehen. Dies geschieht in den Kapiteln 11 bis 15. Zudem
behandeln wir folgende Abschnitte: Zufallsvariable in mehreren Dimensionen,
bedingte Erwartungswerte im Falle absolut-stetiger Zufallsvariablen, Gaussverteilte Zufallsvariable in mehreren Dimensionen, erzeugende und charakteristische Funktionen.
Bevor wir aber zum Kern der Theorie übergehen, geben wir einen Überblick
über die wichtigsten absolut-stetigen Zufallsvariablen, zusammen mit einer
Beschreibung ihrer häufigsten Anwendungsgebiete.
In den Kapiteln 16 bis 19 dringen wir endlich zum Kern der Theorie vor;
wir behandeln die stochastischen Konvergenzbegriffe, das schwache und
das starke Gesetz der grossen Zahlen, die zentralen Grenzwertsätze und
schliesslich das Gesetz vom iterierten Logarithmus.
Im zwanzigsten Kapitel werden schliesslich einige Probleme mit vollständigen
Lösungen vorgestellt. Diese Probleme, die ihrer Natur nach sehr verschieden
sind, eröffnen Querverbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik, so
zum Beispiel zu den Kettenbrüchen und zur Diffusionstheorie.
Zum Schluss seien noch einige Lehrbücher der Wahrscheinlichkeitsrechnung
erwähnt, welche dieselbe mathematische Basis voraussetzen: auf Deutsch
Bauer [2b], Rényi [11], auf Englisch das klassische Buch von Feller [3] und
Grimmet und Stirzaker [4], auf Französisch Métivier [7] und auf Italienisch
Letta [6].
Bei der Niederschrift des Manuskriptes haben uns die Herren A. Joffe
(Montréal) und G. Letta (Pisa) stets ihre fachkundige Hilfe angedeihen
lassen. Ihnen, sowie vielen anderen Kollegen, die uns durch ihre Bemerkungen
behilflich waren, sei herzlich gedankt.
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LITERATUR
[1] Bauer (Heinz). — Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie,
Band I. — Berlin, Walter De Gruyter & Co., Sammlung Göschen Band 1216/1216a,
. Englische Übersetzung : Probability Theory and Elements of Measure Theory.
New York, Academic Press, .
[2a] Bauer (Heinz). — Maß und Integrationstheorie, 2. Auflage. — Berlin, Walter De
Gruyter & Co., .
[2b] Bauer (Heinz). — Wahrscheinlichkeitstheorie, 4. Auflage. —
Gruyter & Co., .
Berlin, Walter De
[3] Feller (William). — An Introduction to Probability and its Applications, vol. 1, 3rd
Edition. — New York, John Wiley & Sons, .
[4] Grimmett (G.R.) and Stirzaker (D.R.). — Probability and Random Processes, 2
vol., (with problems and solutions). — Oxford, Clarendon Press, .
[5] Jean (R.). — Mesure et Intégration. — Montréal, Presses de l’Université du Québec,
.
[6] Letta (Giorgio). — Probabilità elementare. — Bologna, Zanichelli, .
[7] Métivier (Michel). — Notions fondamentales de la théorie des probabilités. — Paris,
Dunod, .
[8] Munroe (M.E.). — Introduction to Measure and Integration. — Reading, Mass.,
Addison-Wesley, 2. Auflage, .
[9] Neveu (Jacques). — Bases mathématiques du calcul des probabilités. —
Masson, ; neue Auflage: .
Paris,
[10] Rényi (Alfred). — Wahrscheinlichkeitsrechnung (Mit einem Anhang über Informationstheorie). — Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften (Hochschulbücher für Mathematik, Band 54), .
Strasbourg, den 24. August 1998
Dominique FOATA
Aimé FUCHS
Département de mathématique
Université Louis Pasteur
7, rue René-Descartes,
F-67084 Strasbourg
LISTE DER BENUTZTEN SYMBOLE
(Ω, A, P) : das fundamentale Tripel, Kap. 1 § 2
P(Ω) : die Potenzmenge von Ω, Kap. 1 § 2
∅ : das unmögliche Ereignis, Kap. 1 § 2
Ω : das sichere Ereignis, Kap. 1 § 2
A ⊂ B : A impliziert B, Kap. 1 § 2
A ∩ B oder A B : die Konjunktion von A und B, Kap. 1 § 2
A ∪ B : die Vereinigung von A und B, Kap. 1 § 2
Ac = Ω \ A : das entgegengesetzte Ereignis zu A, Kap. 1 § 2
A + B := A ∪ B (falls A ∩ B = ∅) : Kap. 1 § 2
A \ B : die Differenz zwischen A und B, Kap. 1 § 2
An : mindestens eines der Ereignisse An tritt ein , Kap. 1 § 2
n
n An : alle An treten ein , Kap. 1 § 2
lim inf n An : alle An von einer bestimmten Stelle an treten ein , Kap. 1 § 3
lim supn An : unendlich viele der Ereignisse An treten ein , Kap. 1 § 3
IA : die Indikatorfunktion von A, Kap. 1 § 3
P : die Menge aller halboffenen Intervalle der reellen Geraden, Kap. 2 § 1
R =] − ∞, +∞[ : die reelle Gerade, Kap. 2 § 1
σ(C) : die von C erzeugte σ-Algebra, Kap. 2, § 2
B1 oder B : die Borel-σ-Algebra der reellen Geraden, Kap. 2, § 2
Bn : die Borel-σ-Algebra des Rn , Kap. 2, § 2
(Ω, A) : ein messbarer Raum, Kap. 2, § 2
D(C) : das von C erzeugte Dynkin-System, Kap. 2, § 3
M(C) : die von C erzeugte monotone Klasse, Kap. 2, § 4
(Ω, A, P) : ein Wahrscheinlichkeitsraum, Kap. 3, § 1
(a)n : die wachsende Faktorielle, Kap. 3, § 5
a , . . ., a
1
p
F
;
x
: die hypergeometrische Funktion, Kap. 3, § 5
p q
b 1 , . . . , bq
εω0 : das singuläre Wahrscheinlichkeitsmass in ω0 , Kap. 4, § 1
card A oder |A| : die Kardinalzahl, Mächtigkeit von A, Kap. 4, § 3
N = {0, 1, . . . } : die Menge der natürlichen Zahlen, Kap. 4, § 3
xiv
LISTE DER BENUTZTEN SYMBOLE
N∗ = {1, 2, . . . } : die Menge der positiven natürlichen Zahlen, Kap. 4, § 3
[ n ] : die Menge {1, 2, . . . , n}, Kap. 4, § 3
p
: der Binomialkoeffizient, Kap. 4, § 4
n
p
n1 , n2 , ... ,nk : der Multinomialkoeffizient, Kap. 4, § 4
X −1 : die inverse Abbildung von X, Kap. 5, § 1
{X ∈ B} : das Ereignis {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}, Kap. 5, § 3
P(A1 , A2 ) : die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A1 und A2 gleichzeitig eintreten, Kap. 5, § 3
PX oder L(X) : die Verteilung der Zufallsvariablen X, Kap. 5, § 4
F(x) = P{X ≤ x} : die Verteilungsfunktion von X, Kap. 5, § 5
π(x) : die Punktgewichtung von X, Kap. 5, § 6
SX : der Träger der reellen Zufallsvariablen X, Kap. 5, § 6
σ(X) : die von X erzeugte σ-Algebra, Kap. 5, § 6
P{· | A} : die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung relativ zu A, Kap. 6, § 1
B(n, p) : die Binomialverteilung, Kap. 7, § 2
H(n, N, M ) : die hypergeometrische Verteilung, Kap. 7, § 3
G(p) : die geometrische Verteilung, Kap. 7, § 4
R = [−∞, +∞] : die erweiterte reelle Gerade, Kap. 7, § 4
πλ oder P(λ) : die Poisson-Verteilung, Kap. 7, § 5
P ∗ Q : das Faltungsprodukt von P mit Q, Kap. 8, § 3
E[X] : der Erwartungswert von X, Kap. 8, § 4
a mr : das in a zentrierte Moment r-ter Ordnung von X Kap. 8, § 5
Var X : die Varianz von X, Kap. 8, § 5
σX oder σ(X) : die Standardabweichung von X, Kap. 8, § 5 (σ(X) bezeichnet
ebenfalls die von X erzeugte σ-Algebra. Eine Verwechslung ist nicht möglich.)
er : die Abweichung r-ter Ordnung, Kap. 8, § 5
Cov(X, Y ) : die Kovarianz von X und Y , Kap. 8, § 6
r(X, Y ) : der lineare Korrelationskoeffizient des Paares (X, Y ), Kap. 8, § 7
M : die Menge der Wahrscheinlichkeitsmasse mit Träger N, Kap. 9, § 1
M : die Familie der Zufallsvariablen deren Verteilung zu M gehört,
Kap. 9, § 1
M(s) : die Menge der Potenzreihen die zu M in Bijektion stehen, Kap. 9,
§1
GP (s) : die erzeugende Funktion des Wahrscheinlichkeitsmasses P, Kap. 9,
§1
GX (s) : die erzeugende Funktion der Zufallsvariablen X, Kap. 9, § 1
(Ω, A, µ) : ein Massraum, Kap. 10, § 1
LISTE DER BENUTZTEN SYMBOLE
xv
F{·} : das von F erzeugte Lebesgue-Stieltjes Mass, Kap. 10, § 2
λ1 oder λ : das Lebesgue-Mass auf der reellen Geraden, Kap. 10, § 2
λn : das Lebesgue-Mass auf Rn , Kap. 10, § 4
B : die vervollständigte Borelsche σ-Algebra, Kap. 10, § 5
X dµ : das Integral von X bezüglich des Masses µ, Kap. 10, § 6
E[X] : der Erwartungswert der Zufallsvariablen X, Kap. 11, § 1
X dλ oder X(x) dx : das Lebesgue-Integral von X, Kap. 11, § 3
X dF : das Stieltjes-Lebesgue-Integral von X, Kap. 11, § 4
fX,Y (x, y) : die gemeinsame Dichte von (X, Y ), Kap. 12, § 2
fY | X (· | x) : die durch {X = x} bedingte Dichte von Y , Kap. 12, § 3
E[Y | X = x] : der durch {X = x} bedingte Erwartungswert von Y ,
Kap. 12, § 3
E[Y | X] : der Erwartungswert von Y bezüglich X, Kap. 12, § 3
t
A : die Transponierte der Matrix A, Kap. 12, § 5
N2 (0, Γ) : die zweidimensoniale zentrierte Normalverteilung, Kap. 12, § 5
N2 (µ, Γ) : die zweidimensoniale Normalverteilung, Kap. 12, § 5
gX (u) : die erzeugende Funktion der Momente von X, Kap. 13, § 1
ϕX (t) : die charakteristische Funktion von X, Kap. 13, § 4
ψX (t) : die zweite charakteristische Funktion von X, Kap. 13, § 5
κn : der n-te Kumulant von X, Kap. 13, § 5
g(u, v) : die erzeugende Funktion der Momente von (X, Y ), Kap. 13, § 6
N (0, 1) : die zentrierte und reduzierte Normalverteilung, Kap. 14, § 3
N (µ, σ) : die Normalverteilung, Kap. 14, § 3
E(λ) : die Exponentialverteilung, Kap. 14, § 5
C(0, 1) : die Cauchy-Verteilung, Kap. 14, § 7
Γ(p, λ) : die Gamma-Verteilung, Kap. 14, § 8
B(r, s) : die Beta-Verteilung, Kap. 14, § 9
L
Xn −→ X : Xn konvergiert in der Verteilung gegen X, Kap. 16, § 1
p
Xn −→ X : Xn konvergiert in der Wahrscheinlichkeit gegen X, Kap. 16, § 2
f.s.
Xn −→ X : Xn konvergiert fast sicher gegen X, Kap. 16, § 4
http://www.springer.com/978-3-7643-6169-3