0 Einige mathematische Grundbegriffe

1 Mathematisches Grundwissen
1.1 Begriffe und Symbole
Werden eingeführt, wenn sie benötigt werden
1.2 Mengen
Definition:
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte
(unserer Anschauung oder unseres Denkens), wobei von jedem Objekt eindeutig feststeht,
ob es zu der Menge gehört oder nicht. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.
Schreibweisen
A, B, C : Mengen (in Großbuchstaben)
a,b,... :
Elemente (in Kleinbuchstaben),
∈, ∉ :
stilisierte Zeichen für (nicht) „Element sein“ :
a∈ A
b∉ A
A∋ a
a ist Element von A
b ist nicht Element von A
A enthält a
Beschreibung von Mengen:
- durch Aufzählen in {.....}
Beispiel: V = {a,e,i,o,u}, V = Menge der Vokale
- durch gemeinsame Eigenschaften
Beispiel:
V = {x | x ist ein Vokal} V = Menge aller x, bei denen x ein Vokal ist
x hat in dieser Beschreibungsart die Aufgabe einer „Variablen“
Begriffe:
1. Leere Menge oder Nullmenge ist die Menge, die kein Element enthält
Schreibweise: Ø oder { }
2. Mächtigkeit einer Menge = Anzahl der Elemente einer Menge
Schreibweisen: n(A) : oder |A|
( | | in Analogie zum Absolutbetrag bei Zahlen)
(Die Mächtigkeitsdefinition wird schwieriger bei unendlichen Mengen!)
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Beziehungen zwischen Mengen:
1. Gleichheit A = B
Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten.
Mathematikerschreibweise:
A = B <-> ( x ∈ A <-> x ∈ B
das Zeichen <-> steht für „genau dann, wenn“,
das Zeichen ∧ steht für das „logische und“
2. Teilmengen
A ist in B als Teilmenge (Untermenge) enthalten, wenn jedes Element von A auch
Element von B ist.
Schreibweise:
A ⊂ B ; A ist Untermenge von B, oder
bezeichnen
B ⊃ A ; B ist auch als Obermenge zu
Mathematikerschreibweise:
A ⊂ B <-> (x ∈ A -> x ∈ B)
Anmerkungen:
Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst: A ⊂ A
Ø (die leere Menge) ist Teilmenge von jeder Menge: Ø ⊂ A
3. Potenzmenge
P(A) ist die Menge aller Teilmengen von A, genannt Potenzmenge.
Frage:
Antwort:
Wie mächtig ist P(A), d.h. wie groß ist n(P(A))=?
Es gilt : n( P(A )) = 2 n ( A ) .
Beispiel:
A = {a,b,c} , dann ist n(A)=3 und n(P(A)) = 8 . Das sieht man durch Aufzählung
aller Teilmengen von A: P(A)= { Ø , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},{a,b,c}}.
Spezielle Mengen von Teilmengen sind die Klasseneinteilungen (oder Zerlegungen) von
A Bezeichnung A*. Jedes x ∈A liegt in genau einer der Teilmengen von A*.
Die einzelnen Teilmengen heißen auch Klassen.
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Mengenoperationen: (Verknüpfung von Mengen)
Definition:
Die Durchschnitts- oder Schnittmenge von zwei Mengen A und B im Zeichen A ∩ B
ist die Menge der Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
Mathematikerschreibweise:
A∩ B = { x | x∈ A ∧ x∈ B }
Beispiel:
A = {2,4,6,8,10}, B = {1,2,3,4,5,6}, dann ist A ∩ B = {2,4,6}
Definition:
Zwei Mengen A und B nennt man disjunkt, wenn sie elementfremd sind, d.h. wenn A ∩ B=
Ø (leere Menge)}
Definition:
Die Vereinigungsmenge von zwei Mengen A und B im Zeichen A ∪ B , ist die Menge der
Elemente, die in mindestens in einer Mengen A oder B liegen.
Mathematikerschreibweise:
A ∪ B = { x | x ∈A ∨ x ∈B }
Beispiel:
A = {2,4,6,8,10}, B = {1,2,3,4,5,6}, dann ist A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,8,10}
∨ ist das Zeichen für das „logische oder“ (im Sinne von: „und/oder“ wie das
lateinische „vel“ und nicht im Sinne von „entweder/oder“) ,
Definition:
Die Mengendifferenz A\B (sprich A minus B) enthält alle Elemente von A, die
nicht in B liegen.
A\B = { x | x ∈A ∧ x ∉B}
Definition:
Komplementärmenge A oder A C
Sei A ⊂ B, dann besteht das Komplement A bezüglich B aus allen Elementen von B, die
nicht in A enthalten sind.
Dann gilt:
A ∪ AC = B
und
(AC ) C = A
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Zur Veranschaulichung verwendet man oft die in den folgenden Abbildungen gezeigten
Venn - Diagramme:
Venn - Diagramme:
1. Durchschnittsmenge
A
A∩B
B
A∩B={}
B
2. Disjunkte Mengen
A
3. Vereinigungsmenge
A
B
A ∪ B
4. Mengendifferenz
B
A
A\B
5. Komplementärmenge
B
A
C
A
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Rechenregeln:
a) Identität
A∪∅=A
A∩∅=∅
wenn A ⊂ B: A ∪ B = B , A ∩ B = A
b) Idempotenz
A∪A=A
A ∩A = A
wenn A ⊂ B: A ∪ AC = B
A ∩ AC = ∅
(AC) C = A
(A ∪ D) C = AC ∩ DC
c ) Kommutativgesetz
A∪B=B∪A
A ∩B = B ∩ A
d) Assoziativgesetz
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
e) Distributivgesetz
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Mengenprodukt (kartesisches Produkt)
Kartesisches Produkt von A 1 und A 2
A1 x A2 = { (x1 , x2) | x1 ∈ A1, x2 ∈ A2 } die Menge der Paare von Elementen
Beispiel:
(Menge der reellen Zahlen)
A1 = A2 = R
R x R = R²
R² = {(x1; x2) | x1, x2 ∈ R}
Menge aller Punkte in der Ebene bestehend aus zwei Koordinaten
Kartesisches Produkt für n ≥ 2 Mengen: A1, A2,....,An
n
A1 x A2 x....x An = x Ai = {(x1,x2,....,xn) | xi ∈ Ai ; i = 1,2,....,n}
i =1
die Menge der n-Tupel (x1,x2,....,xn)
Beispiel:
Ai = R (Menge der reellen Zahlen)
R ×... R × R = R n = {( x1 ,... x n ) x i ∈ R} , n - dimensionaler reeller Zahlenraum
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1.3 Zahlen
1. N = Menge der natürlichen Zahlen = {1,2,3,....} . Daneben gibt es noch
N0= N ∪ { 0 } = {0,1,2,3,....} Menge der natürlichen Zahlen einschließlich Null
gerade Zahlen { n ∈ N n = 2 ⋅ i, i ∈ N} , ungerade Zahlen { n ∈ N n = 2 ⋅ i − 1, i ∈ N}
Rechenoperationen:
+ ( Addition ) , - (Subtraktion) , × ( Multiplikation ), / ( Division ),
aber nur abgeschlossen bezüglich + und × , aber nicht bezüglich - und /
Nachfolgeoperation: n ∈ N → n + 1 ∈ N als Nachfolger
(Prinzip vollständiger Induktion)
2. Z = ganze Zahlen = {......,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,........}
abgeschlossen bzgl. + , × und - , aber nicht bezüglich /
p
, p ∈ Z, q ∈ Z \ { 0 } }
q
abgeschlossen bzgl.+ , - , × , /
aber: 2 und ∏ (und viele andere Zahlen) sind nicht als Bruch darstellbar
3. Q = rationale Zahlen = { x | x =
4. R = reelle Zahlen = rationale und irrationale Zahlen ( z. B.
2; ∏ )
5. C = komplexe Zahlen = { z = ai + b | a,b ∈ R }
x² = −1 hat die Lösung: ± −1 , Daher ist eine Erweiterung: i= −1 um die
imaginäre Einheit notwendig.
Komplexe Zahlen haben in der Wirtschaftsmathematik keine große Bedeutung,
weil sie da nur als ökonomisch nicht sinnvolle Größen vorkommen (z.B. bei der
Effektivzinsberechnung
als mathematisch richtiges, aber ökonomisch
unbrauchbares Ergebnis).
Insgesamt gilt die Einschließung
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
Anmerkung:
Bekanntlich gibt es unendlich viele Zahlen. Die Darstellung von Zahlen in Computern läßt zwar sehr viele,
aber eben nicht unendlich viele verschiedene ganze oder reelle Zahlen zu. Diese sind sowohl in Bezug auf
die maximale Größe als auch auf die Genauigkeit begrenzt: der Computer benutzt nur begrenzt viele
Dezimalstellen beim Speichern und bei der Arithmetik von reelen Zahlen, die bekanntlich viele oder sogar
unendlich viele Dezimalstellen haben können! Das führt auch in der ökonomischen Praxis zu Problemen mit
Rundungsfehlern. Überprüfen Sie doch einmal eine Gehaltsabrechnung mit prozentualen Ab- und
Zuschlägen bei Überstunden mit dem Taschenrechner, der vielleicht 10 Stellen genau rechnet, während der
Gehaltscomputer für Zwischenergebnisse pfenniggenau, d.h. mit 2 Dezimalstellen rechnet. Sie werden
geringe Differenzen feststellen. Das gleiche gilt bei PC-Einkommensteuerprogrammen, die von der
Steuertabelle nach § 32 EKStG oft ein wenig abweichen. Denn nach diesem Paragraphen soll nur mit 2
Dezimalstellen und in einer ganz bestimmten Reihenfolge gerechnet werden, während Ihr PC meist 8 oder
14 Stellen verwendet.
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1.4 Abbildungen
Definition:
Eine Abbildung f von A nach B liegt vor, wenn jedem Element a ∈ A vermöge irgendeiner
Vorschrift eindeutig ein Element b ∈ B zugeordnet ist.
Schreibweise:
f: A → B
b = f (a ) , b ist das Bild von a , A Definitionsbereich ,
f (A ) = { b ∈ B b = f (a ), a ∈ A} = Wertebereich von f
Beispiele:
1) Menschen → Namen
2) a) N → R ,
i ∈ N → a i = f ( i) ∈ R , Zahlenfolge
b) N → R , i = Jahreszahl, ai = Kapital + Zinseszinsen nach i Jahren
3)
f: R → R
reellwertige Funktionen:
x → x² , y = f(x) = x²
x = ± y Umkehrfunktion nicht eindeutig
Spezialfälle von Abbildungen:
Surjektive Abbildung von A auf B: jedes b∈B kommt als Bild vor
Injektive Abbildung (umkehrbar oder eineindeutig): aus f ( a 1 ) = f ( a 2 ) folgt a1 = a2
Eine bijektive Abbildung ist zugleich injektiv und surjektiv.
Inverse Abbildung: es existiert die Umkehrabbildung f −1 , die jedem b∈B eindeutig das
Urbild a zuordnet, so daß b=f(a), also: b = f (a ) ⇔ a = f −1 ( b)
Beispiele für Umkehrabbildungen:
1. y = f(x) = x3 , f −1 ( y) = f −1 ( x 3 ) = 3 y
2. y= f(x) = ex , f −1 ( y) = ln( y) = x
3. y = f ( x) =
1
1
, f −1 ( y ) =
y
x
Es gilt immer: (f-1)-1 = f
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