Mathe fuer Informatiker A 2009

Mathe fuer Informatiker A
Mitschrift
26. Oktober - 09. November 2009
Daniel Banck
Hinweis
II
Hinweis
Dies ist lediglich meine persoenliche Mitschrift. Sie ersetzt auf keinen Fall die eigene und
kann durchaus unvollstaendig oder falsch sein.
Fall jemand einen Fehler findet, wuerde ich mich ueber einen Hinweis per E-Mail oder
Kommentar freuen.
Inhaltsverzeichnis
III
Inhaltsverzeichnis
Hinweis
II
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Mengen
1.1 Darstellung von Mengen . . . . . . . . . . .
1.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sprachliche Definitionen . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definition 1.1 . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Satz 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Satz 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Assoziativitaet und Distributivitaet . . . . .
1.4.1 Definition 1.4 . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Definition 1.5 . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Satz 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Komplemente von Mengen . . . . . . . . .
1.5.1 Definition 1.7 . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Satz 1.8 (De Morganischen Gesetze)
1.6 Vereinigung von mehreren Mengen . . . .
1.6.1 Satz 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Wichtige Mengen . . . . . . . . . . .
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Aussagenlogik
2.1 Die „und“ - und „oder“ -Operatoren . . . . . . . . .
2.1.1 Definition 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Der wenn-dann Operator . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Die Umkehrung der „Wenn-Dann Aussage“
2.2.2 Die Genau-Dann, Wenn-Beziehung . . . . .
2.2.3 Definition 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Satz 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Satz 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
2.3
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2.2.6 Satz 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Satz 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . .
Kontraposition von A ⇒ B . . . . . . . .
2.3.1 Satz 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Satz 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Korrollar 2.10 . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Definition 2.11 . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Satz 2.12 . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Satz 2.13 . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7 Satz 2.14 (Assoziativitaetsgesetze)
2.3.8 Satz 2.15 (Distributivgesetz) . . . .
Quantoren
IV
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1 Mengen
1
1 Mengen
Georg Cantor: „Eine Menge ist eine Gesamtheit (oder Zusammenfassung) von Dingen
unseres Denken die wohl unterscheidbar sind“
Mengen werden mit Mengenklammern {. . . } geschrieben.
{1, 2, 3, 4, 5}, {Kreide, 1, 4, {1, 2}}
1.1 Darstellung von Mengen
Wir wollen die Menge der geraden, natuerlichen Zahlen ohne die Null, kleiner als 11
aufschreiben.
1. Moeglichkeit (Aufzaehlende Schreibweise)
{2, 4, 6, 8, 10}
2. Moeglichkeit (Deskriptive Schreibweise)
{n|n ist gerade natuerliche Zahl kleiner als 11}
Lies: Menge der n fuer die gilt, n ist . . . kleiner als 11.
{n|n = 2k, k ∈ N, 1 ≤ k ≤ 5}
Mengen werden in dieser Vorlesung in der Regel mit großen lateinischen Buchstaben (z.B.
A, B, C, M, . . . ) und ihre Elemente mit kleinen lateinischen Buchstaben (a, b, c) bezeichnet.
Die Schreibweise a ∈ A, bzw. a ∈ X bedeutet
„a ist Element (der Menge) A“ bzw.
„a ist Element (der Menge) X“ .
Falls a nicht Element von A ist, schreiben wir a 6∈ A.
Fuer eine Menge M ist N Teilmenge von M, geschrieben N ⊆ M, falls alle Elemente von N
auch Elemente von M sind.
Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn M ⊆ N und N ⊆ M.
1 Mengen
2
Zwei ausgezeichnete Mengen:
• Die leere Menge, Schreibweise ∅, die dadurch definiert ist, dass sie keine Elemente
enthaelt.
• Potenzmenge: Ist M eine Menge, so ist die Potenzmenge, Schreibweise P ( A), die
Menge, deren Elemente alle Teilmengen von M sind.
Deskriptive Schreibweise: P ( A) = { N | N ⊆ M }
Beispiel:
M = {1, 2, {3}}
P ( M) = {{1}, {2}, {{3}}, {1, 2}, {1, {3}}, {2, {3}}, {1, 2, {3}, ∅}
Die Kardinalitaet oder Anzahl der Elemente einer Menge M schreibt man | M|: |P ( M )| = 8
Die Reihenfolge der Aufzaehlung der Elemente einer Menge ist unerheblich, d.h. z.B.:
{1, 2, 3, 4} = {2, 1, 4, 3}
1.2 Mengenoperationen
Fuer zwei Entitaeten des Denkens (A, B) bedeutet A := B die Definition (oder Festlegung
von A als B. Man liest „A ist per Definition gleich B“ , „:=“ ist die definierte Gleicheit.
Das Wort „oder“ benutzen wird im sematischen Sinn als nicht ausschließendes „oder“ ,
sowie das Wort „und“ als im ueblichen Sprachgebrauch verwendetes Wort. Das ausschließende „oder“ bezeichnen wir mit „entweder . . . oder“ .
Die Vereinigung von zwei Mengen A und B:
A ∪ B := { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Die Schnittmenge oder auch Durchschnitt von A und B:
A ∩ B := { x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Die Differenz von A und B:
A \ B := { x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Die symmetrische Differenz von A und B:
A4 B := ( A \ B) ∪ ( B \ A)
1 Mengen
3
1.3 Sprachliche Definitionen
In der Mathematik ist es ueblich zwischen Definitionen und sog. Saetzen oder Theoremen das sind wahre Aussagen - zu unterscheiden. Darueberhinaus werden die Begriffe „Lemma“ , „Proposition“ , „Korollar“ und „Bemerkung“ verwendet. Das sind ebenfalls wahre
Aussagen, aber moeglicherweise nicht so bedeutend, dass man sie als Satz oder Theorem
bezeichnet.
Ein „Lemma“ ist ein kleiner Satz, der zum Beweis eines Satzes benutzt wird, um den
Beweis zu strukturieren und gleichzeitig nicht zu umfangreich werden zu lassen.
Eine „Proposition“ ist ebenfalls ein kleiner Satz, der allgemein zum Verstaendnis des
nachfolgenden notwendig ist, aber nicht unbedingt zum Beweis eines bestimmten Satzes
erforderlich ist.
Eine „Bemerkung“ ist ebenfalls eine wahre Aussage, die evlt. Aspekte eiens Satzes, einer
Proposition oder eines Lemma erlaeutert.
Ein „Korollar“ ist eine Schlussfolgerung aus einem Satz, Lemma oder Proposition, die
recht offensichtlich ist.
Eine Besonderheit in math. Texten ist die Sprechweise: „Es sei. . . “ , z.B. „A und B seien
Mengen“ oder „a sei eine natuerliche Zahl“ . Das ist eine Abkuerzung fuer den Sachverhalt, dass A und B beliebige Mengen sind oder auch dass wir ueber alle Mengen A und B
sprechen, bzw. dass a eine beliebige natuerliche Zahl ist oder dass mit a alle natuerlichen
Zahlen gemeint sind.
1.3.1 Definition 1.1
Es sei ◦ eine Mengeoperation aus {∪, ∩, 4} (d.h. ◦ ∈ {∪, ∩, 4}).
◦ heißt kommutativ, falls fuer alle Mengen A und B gilt A ◦ B = B ◦ A.
Frage : Ist ◦ tatsaechlich kommutativ? Das muss man „beweisen“ .
Ein Beweis einer Aussage ist die Herleitung der Aussage aus bekannten wahren Aussagen
oder Definitionen. Im math. Text schreibt man einen Satz mit Beweis formel so auf:
Satz: „Aussage“
Beweis: „Text“
q.e.d.
1 Mengen
4
1.3.2 Satz 1.2
Die Mengenoperation ∪, ∩, 4 sind kommutativ.
Beweis: Wir beginnen mit der Vereinigung. Um alle Mengen im Beweis einzuschließen, ohne
diese aber enumerativ zu betrachten, nehmen wir zwei beliebige, aber nun feste, Mengen A
und B.
Zuzeigen: A ∪ B = B ∪ A.
Die Gleichheit wird durch den Nachweis der beiden Inklusionen A mod B ⊆ B ∪ A und
A ∪ B ⊆ B ∪ A gezeigt.
Zu A ∪ B ⊆ B ∪ A und simultan B ∪ A ⊆ A ∪ B:
A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
= { x | x ∈ B ∨ x ∈ A}
= B∪A
Zum Schnitt:
A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
= { x | x ∈ B ∧ x ∈ A}
= B∩A
Zur symmetrischen Differnenz:
A4 B = B4 A
= ( A \ B) ∪ ( B \ A)
= ( B \ A) ∪ ( A \ B)
= B4 A
1 Mengen
5
Die Operation „\“ ist nicht kommutativ!
Es reicht A \ B 6= B \ A fuer ein Paar A, B zu zeigen (Gegenbeispiel zur All-Aussage).
Eine andere Darstellung der symmetrischen Differenz:
A4 B = ( A ∪ B) \ ( A ∩ B)
(1.1)
Das ist noch kein Beweis, aber ueber dieses Beispiel reichtfertigt sich die Vermutung, dass
(1.1) diese Eigenschaft vielleicht universell gilt.
1.3.3 Satz 1.3
Es seien A, B Mengen. Dann gilt A4 B = ( A ∪ B) \ ( A ∩ B).
Beweis:
Zunaechst A4 B ⊆ ( A ∪ B) \ ( A ∩ B) zeigen:
Sei x ∈ A4 B (beliebig, aber fest). Wir muessen nun x ∈ ( A ∪ B) \ ( A ∩ B).
x ∈ A4 B bedeutet: x ∈ ( A \ B) oder x ∈ ( B \ A). Somit ist x in A oder in B, aber niemals
in A und B, d.h. in der Mengenschreibweise: x ∈ ( A ∪ B) \ ( A ∩ B).
Nun ( A ∪ B) \ ( A ∩ B) ⊆ A4 B zeigen:
Dazu sei x ∈ ( A ∪ B) \ ( A ∩ B) (beliebig, aber fest.
1. Fall x ∈ A: Dann ist wegen x 6∈ A ∩ B, x 6∈ B, also x ∈ A \ B.
2. Fall x ∈ B: Dann ist wegen x 6∈ A ∩ B, x 6∈ A, also x ∈ B \ A.
Also x ∈ A \ B oder x ∈ B \ A, somit x ∈ ( A \ B) ∪ ( B \ A) = A4 B.
Da beide Mengen im Satz Teilmengen voneinander sind, sie gleich. q.e.d.
1.4 Assoziativitaet und Distributivitaet
1.4.1 Definition 1.4
Es sein ◦ eine Mengenoperation. ◦ heisst assoziativ, falls fuer je drei (beliebige) Mengen
A, B, C gilt: A ◦ ( B ◦ C ) = ( A ◦ B) ◦ C.
1 Mengen
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1.4.2 Definition 1.5
Es seien ◦ und ? zwei Mengenopterationen. ◦ und ? heissen distributiv, wenn fuer je drei
(beliebige) Mengen A, B, C gilt:
A ◦ ( B ? C ) = ( A ◦ B) ? ( A ◦ C )
(1.2)
A ? ( B ◦ C ) = ( A ? B) ◦ ( A ? B)
(1.3)
1.4.3 Satz 1.6
Die Operationen ∪ und ∩ sind assoziativ und distributiv.
Beweis:
Assoziativitaet von ∪: Es seien A, B, C beliebige Mengen.
A ∪ (B ∪ C) = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B ∪ C}
= {x|x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C}
= { x | x ∈ ( A ∪ B) ∨ x ∈ C }
= ( A ∪ B) ∪ C
Assoziativitaet von ∩: Es seien A, B, C beliebige Mengen.
A ∩ (B ∩ C) = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B ∩ C}
= {x|x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C}
= { x | x ∈ ( A ∩ B) ∨ x ∈ C }
= ( A ∩ B) ∩ C
1 Mengen
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Distributivitaet von ∪ und ∩: Es seien A, B, C beliebige Mengen.
A ∩ (B ∪ C) = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B ∪ C}
= { x | x ∈ A ∧ ( x ∈ B ∨ x ∈ C )}
= { x |( x ∈ A ∧ x ∈ C ) ∨ ( x ∈ A ∧ x ∈ C )}
= { x |( x ∈ A ∩ B) ∨ ( x ∈ A ∩ C )}
= ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
Analog zeigt man (1.3) aus Def. 1.5.
1.5 Komplemente von Mengen
1.5.1 Definition 1.7
Es sei A Teilmenge einer Menge X. Das Komplement von A (bezueglich X), geschrieben Ac
(manchmal auch Ā) ist die Menge X \ A.
Skizze (A in X, schraffiert alles ausser A)
Es gilt ( Ac )c = A. Man sagt „c“ ist involutorisch.
1.5.2 Satz 1.8 (De Morganischen Gesetze)
Es seien A, B Teilmengen von X. Dann gilt:
( A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(1.4)
( A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
(1.5)
1 Mengen
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Beweis:
( A ∪ B)c = { x | x 6∈ ( A ∪ B)}
= { x | x 6∈ A ∧ x 6∈ B}
= { x | x ∈ Ac ∧ x ∈ Bc }
= Ac ∩ Bc
Der weitere Beweis erfolgt analog.
1.6 Vereinigung von mehreren Mengen
Wenn man mehrere Mengen vereinigen oder schneiden will, dann verwendet man die
S
T
Symbole und : seien A1 , . . . , An Mengen. Dann ist
S
i =1 Ai : = { x | es gibt ein i ∈ {1, . . . , n } mit x ∈ Ai }
T
i =1 Ai : = { x | fuer alle i ∈ {1, . . . , n } gilt x ∈ Ai }
Man benutzt auch die oft bequemere Schreibweise A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An bzw. A1 ∩ . . . ∩ A2 .
Zwei Apspekte sind problematisch: Zum einen: Was heißt „. . . “ , zum anderne „∩“ ,
„∪“ sind per Def. Operationen zwischen zwei Mengen. Das Problem kann man durch
Klammern beheben. (. . . (( A1 ∪ A2 ) ∪ A3 ) ∪ A4 . . . ) ∪ An
Das Assoziativgesetz sagt uns, dass es letztendlich egal ist, welche Klammerung man
hier waehlt. Aus diesem Grund kann man sich darauf einigen, die Klammern einfach
wegzulassen.
Jetzt kommen Verallg. der Distributivgesetze und der De Morganschen Regeln.
1 Mengen
9
1.6.1 Satz 1.9
Seien A, A1 , . . . , An Mengen. Dann gilt:
Verallg. Distributivgesetz
[
A∪(
Aj ) =
j =1
\
A∩(
[
Aj ) =
A∪(
[
( A ∩ Aj )
j =1
Aj ) =
j =1
\
( A ∪ Aj )
j =1
j =1
A∩(
[
[
( A ∩ Aj )
j =1
Aj ) =
j =1
\
( A ∪ Aj )
j =1
De Morgansche Regeln:
[
(
A j )c =
j =1
\
(
j =1
\
Acj
j =1
c
Aj ) =
[
Acj
j =1
Beweis: Exemplarisch fuer das erste des angegebenen Distributivgesetz:
S
S
Wir zeigen zuerst: A ∪ ( j=1 A j ) ⊆ j=1 ( A ∪ A j )
S
S
Sei also x ∈ A ∪ ( j=1 A j ), also x ∈ A oder x ∈ j=1 A j .
Wenn x ∈ A, dann ist insbesondere x ∈ A ∪ A1 . Also gibt es i ∈ {1, . . . , n} (naemlich i = 1)
S
S
mit x ∈ A ∪ Ai . Damit ist x ∈ j=1 ( A ∪ A j ). Ist x ∈ j=1 A j , d.h. es gibt i ∈ {1, . . . , n} mit
S
x ∈ Ai . Insbesondere ist dann x ∈ A ∪ Ai und damit x ∈ j=1 ( A ∪ A j ).
Jetzt zeigen wir A ∪ ( j=1 A ⊇ j=1 ( A ∪ A j ). Sei also x ∈ j=1 ( A ∪ A j ). Also gibt es
jetzt i ∈ {1, . . . , n} x ∈ A ∪ Ai .
S
S
Wenn x ∈ A, dann ist auch x ∈ A ∪ ( 1 A j ). Wenn x ∈ Ai , dann gilt x ∈ j=1 A j und damit
S
x ∈ A ∪ ( j =1 A j ).
S
S
S
1 Mengen
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1.6.2 Wichtige Mengen
N: Die Menge der natuerlichen Zahlen
N = {0, 1, 2, 3, . . . }
Z: Die Menge der ganzen Zahlen
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }
Wir koennen auch schreiben Z = N ∪ (−N), wobei −N = {−n|n ∈ N}
Q: Die Menge der rationalen Zahlen
Q = { ba | a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}}
R: Die Menge der reellen Zahlen, also die Vereinigung von Q mit der Menge der irrationa√
len Zahlen (z.B. 2, π)
2 Aussagenlogik
11
2 Aussagenlogik
Mathematik beschaeftigt sich mit Aussagen, die entweder wahr oder falsch sind, z.b. sei
√
A die Aussage: „ 2 ist eine irrationale Zahl“ . Die Negation ¬ A von A ist die Aussage:
√
√
„ 2 ist keine irrationale Zahl“ . Wir wissen, dass da gleichwertig ist, zu „ 2 ist eine
rationale Zahl“ . Wir wissen auch: Aussage A ist wahr, Aussage ¬ A ist falsch. „Wahr“ und
„falsch“ heißen Wahrscheinlichkeitswerte und werden mit „w“ bzw. „f“ abgekuerzt.
Eine Wahrheitstafel ist eine Aufstellung der Wahrheitswerte von Aussagen in Form einer
Tabelle. Zum Beispiel folgt nun die Wahrheittstafel fuer A und ¬ A.
A ¬ A ¬(¬ A)
w
f
f
w
w
f
2.1 Die „und“ - und „oder“ -Operatoren
Elementare Operatoren um Aussagen zu Verknuepfen sind das „und“ , engl. „and“ , als
Symbol „∧“ , bzw. das „oder“ , engl. „or“ , als Symbol „∨“ .
Wenn nun Aussagen A, B gegeben sind, so ist festzulegen, was A ∧ B, bzw. A ∨ B heißen
soll:
A ∧ B bzw. A ∨ B sind Aussagen, deren Wahrheitswerte durch folgende Wahrheitstafel
gegeben sind.
A B A∧B A∨B
w
w
f
f
w
f
w
f
w
f
f
f
w
w
w
f
2.1.1 Definition 2.1
Das logische „∧“ und das logische „∨“ sind durch die obige Wahrheitstafel erklaert.
2 Aussagenlogik
12
2.2 Der wenn-dann Operator
„Wenn . . . , dann . . . “ kennen wir aus dem Alltag, man nennt solche Aussagen auch
Schlussfolgerungen oder Implikationen.
Beispiele:
• Wenn n ∈ N eine gerade Zahl ist, dann ist n + 1 ungerade.
• Wenn A ⊆ B ist und B ⊆ C, dann ist A ⊆ C.
Intuitiv ist klar, dass die Aussagen stimmen - aber wie kann man das beweisen bzw. wie ist
„wenn, dann“ definiert?
Seien A, B Aussagen. Dann ist {A ⇒ B} eine Aussage, die ueber eine Wahrheitstafel definiert ist.
A B A⇒B
w w
w
w f
f
f w
w
f
f
w
Oft zur Verwirrung fuehren die letzten beiden Zeilen, der Tafel. Hierbei ist zu bedenken,
dass „A ⇒ B“ keine Aussage machen soll, ob B wirklich stimmt, sondern ob die konditionale Schlussfolgerung korrekt gezogen wurde. Bsp. „Satz“ : Seien A, B wie folgt: A: „3 ist
eine gerade Zahl“ , B: „5 ist eine gerade Zahl“ .
Dann gilt A ⇒ B
Beweis: Ist B gerade, dann gibt es k ∈ N mit 3 = 2k. Dann ist 5 = 2 + 3 = 2 + 2k = 2(1 + k ).
Also ist 5 ein Vielfaches vob 2 und damit gerade.
2.2.1 Die Umkehrung der „Wenn-Dann Aussage“
Die Umkehrung von A ⇒ B ist die Aussage B ⇒ A.
Beispiel: Wenn n und m gerade natuerliche Zahlen sind, so ist auch n + m gerade.
Beweis: n, m gerade bedeutet n = 2k, m = 2l mit natuerlichen Zahlen k,l.
=> n + m = 2k + 2l = 2(k + l ), somit gerade.
Umkehrung: Wenn m + n gerade, dann n und m gerade. Diese Aussage ist falsch!!
2 Aussagenlogik
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2.2.2 Die Genau-Dann, Wenn-Beziehung
Wahrheitstafel fuer ⇔
A B A⇔B
w w
w
w f
f
f w
f
f
f
w
Man liest: A aequivalent zu B.
2.2.3 Definition 2.2
Zwei Aussagen A und B heißen logisch aequivalent, kurz aequivalent, wenn A ⇔ B wahr
ist. Man sagt auch A gilt gena dann, wenn B gilt.
Im Englischen: If A, then B fuer A ⇒ B und If and only if A, then B oder A iff B fuer
A ⇔ B.
Bemerkung 2.3: A und ¬(¬ A) sind logisch aequivalent, d.h. A ⇔ ¬(¬ A).
Beweis:
A ¬ A ¬(¬ A)
w
f
w
f
w
f
Die Wahrheitstafel fuer A und ¬(¬ A) stimmt ueberein, somit A ⇔ ¬(¬ A).
2.2.4 Satz 2.4
A ⇔ B ist aequivalent zu ( A ⇒ B) ∧ ( B ⇒ A).
Beweis: Stelle die Wahrheitstafel auf
A B A ⇒ B B ⇒ A ( A ⇒ B) ∧ ( B ⇒ A)
A⇔B
w w
w
w
w
w
w f
f
w
f
f
f w
w
f
f
f
f
f
w
w
w
w
Konsequenz: Aequivalenzbeweise werden ueber den Nachweis der beiden Implikationen
A ⇒ B und B ⇒ A erbracht.
2 Aussagenlogik
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2.2.5 Satz 2.5
Sei n ∈ N. n ist Vielfaches von 12 genau dann, wenn n ein Vielfaches von 3 und eine
Vielfaches von 4 ist.
(n Vielfaches von 12) ⇔ (n Vielfaches von 3) ∧ (n Vielfaches von 4)
A
⇔
B
Beweis: Zunaechst zeigen wir A ⇒ B:
Nach Voraussetzung (der Aussage A) ist n = 12m mit einem m ∈ N.
Dann gilt ja n = 3 ∗ (|{z}
4m ) = 4 ∗ (|{z}
3m )
∈N
∈N
Zu B ⇒ A:
Nach Voraussetzung gibt es l, k ∈ N, so dass n = 3l und n = 4k.
4k = n = 3l => 4k = 3l, d.h. 4k ist ein Vielfaches der 3. Dann muss k Vielfaches der
3 sein, da 4 und 3 Teilerfremd sind. Also k = 3r mit einer natuerlichen Zahl r. Also
n = 4k = 4(3r ) = 12r. q.e.d.
2.2.6 Satz 2.6
¬( A ∨ B) ist aequivaltent zu (¬ A) ∧ (¬ B).
Beweis:
A B ¬( A ∨ B) (¬ A) ∧ (¬ B)
w w
f
f
w f
f
f
f w
f
f
f
f
w
w
2.2.7 Satz 2.7
¬( A ∧ B) ist aequivalent zu (¬ A) ∨ (¬ B).
Bewweis:
1. Moeglichkeit: Wahrheitstafeln
2. Moeglichkeit: Formeln „ineinander ueberfuehren“ , d.h. eine Kette von logischen
Aequivalenzen erzeugen, so dass am Ende die zu beweisende Formel steht.
¬((¬ A) ∨ (¬ B)) ⇔ (¬(¬ A)) ∧ (¬(¬ B)) ⇔ A ∧ B
=> ¬( A ∧ B) ⇔ ¬(¬((¬ A) ∨ (¬ B))) ⇔ (¬ A) ∨ (¬ B).
2 Aussagenlogik
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2.3 Kontraposition von A ⇒ B
Unter der Kontraposition von A ⇒ B versteht man die Implikation ¬ B ⇒ ¬ A.
2.3.1 Satz 2.8
Fuer beliebige Aussagen sind A ⇒ B und ¬ B ⇒ ¬ A aequivaltent.
A B ¬ A ¬B A ⇒ B ¬B ⇒ ¬ A
w w
Beweis: w f
f w
f
f
f
f
w
w
f
w
f
w
w
f
w
w
w
f
w
w
2.3.2 Satz 2.9
A ⇒ B und ¬ A ∨ B sind aequivalent.
A B A ⇒ B ¬A ∨ B
w w
Beweis w f
f w
f
f
w
f
w
w
w
f
w
w
2.3.3 Korrollar 2.10
¬( A ⇒ B) ist aequivalent zu A ∧ ¬ B
Beweis: ¬( A ⇒ B) ⇔ ¬(¬ A ∨ B) ⇔ A ∧ ¬ B.
2.3.4 Definition 2.11
Beispiel wo Kontraposition nuetzlich fuer Beweisvereinfachung ist:
Eine natuerliche Zahl n heißt perfekte Quardratzahl oder perfektes Quadrat, wenn es eine
natuerliche Zahl m gibt, so dass n = m2
2 Aussagenlogik
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2.3.5 Satz 2.12
Wenn n eine Primzahl außer 3 ist, dann ist n + 1 kein perfektes Quadrat.
Beweis: Kontraposition lautet: n + 1 ist ein perfektes Quadrat, dann ist n keine Primzahl
oder sie ist 3. Nach Voraussetzung gibt es m ∈ N mit n + 1 = m2 . n = m2 − 1 = (m +
1)(m − 1). Falls n = 3, so ist Folgerung der Kontraproduktion wahr. Falls n > 3, dann ist
auch m ≥ 3, also n keine Primzahl. Wegen Satz 2.8 ist Satz 2.12 bewiesen.
2.3.6 Satz 2.13
Ist n2 eine gerade natuerliche Zahl, dann ist auch n gerade.
1. Beweis (direkt): Es gibt k ∈ N mit n2 = 2k. . . . . . ?
2. Beweis (Kontraposition): n ungerade ⇒ n2 ungerade.
2
Es gibt k ∈ N mit n = 2k + 1, also n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k
+ 2k}) + 1
| {z
∈N
also ungerade.
2.3.7 Satz 2.14 (Assoziativitaetsgesetze)
Fuer Aussagen A, B, C gilt:
( A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨ C )
(2.1)
( A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C )
(2.2)
2.3.8 Satz 2.15 (Distributivgesetz)
Fuer Aussagen A, B, C gilt:
A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C )
(2.3)
A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B) ∧ ( A ∨ C )
(2.4)
Beweise Satz 2.14, 2.15: Wahrheitstafeln! Genaugenommen kann man die Ass. + Distrib.
fuer Mengen erst mit Satz 2.14, 2.15 beweisen!
3 Quantoren
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3 Quantoren
In diesem Kapitel geht es um universelle und existentielle Quantoren. Der All-Quantor
∀ bezeichnet die universelle Aussage: „Fuer alle“ , waehrend der Existens-Quantor ∃
bezeichnet die existenielle Aussage: „Es gibt“ oder „Es existiert“ .
Mathematische Saetze sind Formeln, die mit diesen Quantoren ausgedrueckt werden.
Beispiel: n ist eine beliebige natuerliche gerade Zahl. Dies ist aequivalent zu: ∀n ∈ N : n
gerade. In der Mathematik schreibt man auch ∀n∈N n gerade.
Formuliere Satz 2.13 mit Quantoren:
∀n∈N (n2 gerade) ⇒ n gerade ⇔ ∀n∈N : (∃k(n)∈N n2 = 2k(n) ⇒ ∃ln(n)∈N n = 2l (n))
Generell: Aussagen, die sprachlich formuliert werden, werden im Zweifel (im 1. Semester)
immer als richtige Aussagelogischen Formel hingeschrieben.
n Vielfaches von 3 und 4, dann ist n Vielfaches von 12.
∀n∈N : (∃k,l ∈N 3l = n = 4k ⇒ ∃r∈N n = 12r ).