¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in die

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
WS 2010/2011
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. G. Christoph
Dr. B. Leneke
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Blatt 8* - Abgabe bis Donnerstag, 02.12.2010, 14:00 Uhr (G 18 - 158)
39. (3 +2 P)
Die reelle Zufallsgröße X habe die Verteilungsfunktion:

0
, für t < 0




t+1

, für 0 ≤ t < 1


6
1
FX (t) =
, für 1 ≤ t < 2
2



3 − cos πt , für 2 ≤ t < 3



4

1
, für t ≥ 3.
a) Geben Sie die Lebesguesche Zerlegung der W-Verteilung P X von X an.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
40. (5 P)
Beim Zwei-Finger-Morra, einem vor allem in Italien seit jeher beliebten, allerdings verbotenen Glücksspiel, heben zwei Spieler A und B gleichzeitig jeweils
einen oder zwei Finger hoch, wobei sie ihre Wahl unabhängig voneinander
treffen. Dabei hebe Spieler A (bzw. B) mit der Wahrscheinlichkeit a (bzw. b)
einen Finger und mit der Wahrscheinlichkeit 1 − a (bzw. 1 − b) zwei Finger.
In einer regionalen Abart des Spiels gelten folgende Regeln:
Stimmen die Anzahlen der Finger überein, so erhält A von B so viele Euro, wie
insgesamt Finger gewählt wurden (also 2 oder 4). Stimmen sie nicht überein, so
erhält B von A 3 Euro. Geben Sie einen W-Raum für dieses Zufallsexperiment
an und ermitteln Sie die diskrete Dichte und den Erwartungswert des zufälligen Gewinns X von Spieler A in Abhängigkeit von a und b und berechnen Sie
diese für
a) a = b = 0.5
b) b = 7/12 und a ∈ [0, 1] beliebig.
Interpretieren Sie das Ergebnis. Welches a ist für Spieler A optimal?
1
41. (2 + 2 P)
Die Zufallsvariable X besitze die Lebesgue-Dichte
(
fX (x) =
0
1
α α+1
x
,
für x ≤ 1
,
für x > 1, α > 0.
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X.
b) Für welche α existiert Erwartungswert und Varianz von X?
42. (3P)
Beweisen Sie, dass für jede reellwertige Zufallsgröße X mit X ∈ L2 (P ) gilt:
V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 .
(Satz von Steiner)
43. (5 P)
Ein Würfel wird n mal (n > 3) in unabhängiger Folge geworfen. Xj bezeichne
die im j − ten Wurf erzielte Augenzahl. Die Zufallsvariablen Y und Z seien
durch
Y :=
n−1
P
j=1
1{Xj <Xj+1 } und Z :=
n
P
Xj 1{Xj ≥5}
j=1
definiert. Bestimmen Sie Erwartungswert von Y und Erwartungswert und Varianz von Z.
* Im Internet verfügbar unter http://fma2.math.uni-magdeburg.de/∼leneke/wtheorie ws1011.html
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