Übungsblatt 2 - Mathematik - Heinrich-Heine

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
Düsseldorf
SS 06
01.08.2006
Prof. Dr. K. Janßen / C. Jonek
Übungen zum Kompaktkurs 2006
Aufgabe 11: Betrachten Sie das folgende Zufallsexperiment: Ein fairer Würfel wird
zunächst einmal geworfen. Fällt dabei die Zahl 5 oder 6, so bleibt der Würfel liegen. Fällt
eine Zahl kleiner oder gleich 4, so wird noch einmal gewürfelt und die dann gewürfelte
Zahl bleibt liegen.
a) Geben Sie ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell für das obige Experiment an.
b) Für 1 ≤ k ≤ 6 sei Ak das Ereignis, dass zum Schluss die Zahl k oben liegt. Berechnen
Sie P (Ak ) für 1 ≤ k ≤ 6.
c) Ist P (A5 ∪ A6 ) größer oder kleiner als 1/2?
Aufgabe 12: Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Bestimmen Sie die Verteilungen
der Augensumme und des Augenproduktes, d.h. der auf der Menge Ω := {1, . . . , 6}2
definierten Zufallsvariablen X und Y , die definiert sind durch X((ω1 , ω2 )) := ω1 + ω2 bzw.
Y ((ω1 , ω2 )) := ω1 · ω2 für (ω1 , ω2 ) ∈ Ω.
Aufgabe 13: Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Für i = 1, 2 bezeichne Xi das
Ergebnis des i-ten Wurfes. Bestimmen Sie die Verteilung von Z := min(X1 , X2 ).
Aufgabe 14: Ein fairer Tetraeder-Würfel, dessen vier Seiten mit den Ziffern 1 bis 4 durchnummeriert sind, wird 4-mal geworfen. Falls die Augenzahl mit der Nummer des Wurfes
übereinstimmt, erhält der Spieler als Punktzahl die geworfene Augenzahl. Andernfalls
erhält der Spieler keine Punkte, d.h. beim ersten Wurf erzielt der Spieler entweder 1
Punkt oder keinen Punkt usw. Die Zufallsvariable Xi beschreibe die erzielte Punktzahl
P
im i-ten Wurf für i = 1, . . . , 4, überdies sei X := 4i=1 Xi definiert.
a) Bestimmen Sie die Verteilung und den Erwartungswert von Xi (i = 1, . . . , 4).
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.
c) Die Zufallsvariable Y sei gleich 1, falls im ersten Wurf eine ungerade Zahl fällt, und 0
sonst. Sind X und Y unabhängig, d.h. gilt P (Y = k, X = l) = P (Y = k) · P (X = l)
für alle k ∈ {0, 1} und l ∈ {0, 1, . . . , 10}?
Aufgabe 15: Aus einer Urne mit R roten Kugeln und N − R schwarzen Kugeln werden
n Kugeln ohne Zurücklegen mit Beachten der Reihenfolge gezogen (1 ≤ R, n ≤ N ). Die
Zufallsvariable Xi (1 ≤ i ≤ n) sei definiert durch
½
1, falls die i-te gezogene Kugel rot ist
Xi :=
0, falls die i-te gezogene Kugel schwarz ist.
P
Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der gezogenen roten Kugeln, d.h. X = ni=1 Xi .
a) Berechnen Sie den Erwartungswert E(Xi ) für alle 1 ≤ i ≤ n.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X).
Aufgabe 16: Bei einem Spiel würfelt ein Spieler n-mal mit einem fairen Würfel. Die
Anzahl der geworfenen ’6’en wird verdreifacht. Der Wert, den man so erhält, bestimmt
dann die Auszahlung in Euro, die der Spieler bekommt. Als Einsatz muss der Spieler fünf
Euro Einsatz zahlen.
a) Geben Sie ein stochastisches Modell für das obige Experiment an.
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert des Auszahlungsbetrags.
c) Wie groß muss n sein, damit das Spiel fair ist (d.h. die erwartete Auszahlung ist gleich
dem Einsatz).
d) Der Spieler Klaus benutzt bei diesem Spiel seinen eigenen, gezinkten Würfel. Wie groß
muss die Wahrscheinlichkeit für eine ’6’ bei diesem Würfel sein, damit das Spiel bei
n = 6 fair ist?
Aufgabe 17: Seien A und B unabhängige Ereignisse aus dem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ) mit P (A) = 1/2 und P (B) = 1/3.
Wir untersuchen die Zufallsvariablen X := 1A + 2 · 1B und Y := 1A − 2 · 1B .
a) Bestimmen Sie jeweils die Verteilung von X und Y .
b) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y , d.h. bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeiten P (X = i, Y = j) für i = 0, 1, 2, 3 und j = −2, −1, 0, 1.
c) Sind X und Y unabhängige Zufallsvariablen?