¨Ubungsblatt 6 (4. bis 8. Juni)
Werbung
Statistik 2
Dr. Andrea Beccarini
Dipl.-Vw. Dipl.-Kffr. Heike Bornewasser-Hermes
Sommersemester 2012
Übungsblatt 6 (4. bis 8. Juni)
Zufallsvariablen und Verteilungsparameter
Diskrete Zufallsvariablen und Verteilungsparameter
Aufgabe 1
Wie ist der Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen definiert?
Aufgabe 2
Wie ist die Varianz für diskrete Zufallsvariablen definiert?
Aufgabe 3
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit dem Träger TX = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und der Wahrscheinlichkeitsfunktion
0.1 für x = 1, 2
0.15 für x = 3, 4
P (X = x) =
0.25 für x = 5, 6
0
sonst
(a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
(b) Bestimmen Sie die Varianz und die Standardabweichung von X.
1
Aufgabe 4
Eine faire Münze wird dreimal hintereinander geworfen. Fällt dreimal Kopf, so erhält
Spieler A vom Spieler B 6 Euro. Fällt zweimal Kopf, so erhält Spieler A vom Spieler B
4 Euro. Der Spieler A zahlt an den Spieler B 6 Euro, wenn einmal Kopf fällt. Erscheint
dreimal Zahl, so braucht keiner der Spieler zu zahlen. Sei X der Gewinn bzw. der
Verlust des Spielers A.
(a) Welche Werte kann X annehmen?
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
(c) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von X.
(d) Welchen Gewinn wird der Spieler A durchschnittlich erzielen?
(e) Bestimmen Sie die Standardabweichung von X und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
Aufgabe 5
Eine Urne enthält 5 Kugeln, von denen drei 10g und zwei 20g wiegen. Es werden zwei
Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis dieses
Zufallsvorgangs das Gesamtgewicht der beiden Kugeln zu.
(a) Leiten Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X her.
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
Stetige Zufallsvariablen und Verteilungsparameter
Aufgabe 6
Was versteht man unter einer stetigen Zufallsvariablen? Erläutern Sie zusätzlich ihre
Eigenschaften.
2
Aufgabe 7
Wie ist der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen definiert?
Aufgabe 8
Wie ist die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen definiert?
Aufgabe 9
Es sei eine stetige Zufallsvariable X mit
(
x + 0.5 für 0 < x < 1
f (x) =
0
sonst
gegeben.
(a) Zeigen Sie, dass es sich bei f (x) um eine Dichtefunktion einer Zufallsvariablen
handelt.
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
(c) Erstellen Sie die Verteilungsfunktion von X.
(d) Berechnen Sie den Median von X.
Aufgabe 10
Die stetige Zufallsvariable X habe die folgende Dichte
(
c · x2
f (x) =
0
für 0 < x < 2
sonst
(a) Für welches c stellt f (x) eine Dichtefunktion einer Zufallsvariablen dar?
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
(c) Berechnen Sie den Median von X.
3
