Einführung in die Topologie

Zürich, 06.03.2008
Universität Zürich
Thomas Foertsch
Anna Mätzener
Johannes Meyer
3. Übung zur
Einführung in die Topologie
Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass eine Abbildung f : (X, TX ) −→ (Y, TY ) zwischen topologischen Räumen genau dann stetig ist, wenn für eine Subbasis
S von TY die Urbilder ihrer Elemente unter f alle offen sind.
1 Punkt
Aufgabe 2 Zeigen Sie, dass die Eigenschaften eines topologischen Raumes,
A1 bzw. A2 zu sein, topologische Invarianten sind. D.h., sind zwei topologische Räume homöomorph zueinander, dann ist einer von ihnen A1 bzw. A2
genau dann, wenn es auch der andere ist.
2 Punkte
Aufgabe 3 Sei A eine Teilmenge des topologischen Raumes X. Zeigen Sie
folgende Behauptungen.
(a) Ein Punkt x ∈ X gehört genau dann zum offenen Kern A◦ von A, wenn
A zu jedem gegen x konvergierenden Filter auf X gehört.
(b) Ein Punkt x ∈ X gehört genau dann zum Abschluss A von A, wenn A
zu mindestens einem gegen x konvergierenden Filter auf X gehört.
6 Punkte
1
Aufgabe 4 Es sei X eine überabzählbare Menge und {xn }n eine Folge auf
X, deren Punkte sämtlich voneinander verschieden sind. Zeigen Sie, dass
der Filter, der aus den Komplementen der endlichen Teilmengen von X
besteht, echt gröber als der zu {xn }n gehörige Elementarfilter ist und keine
abzählbare Basis besitzt.
2 Punkte
Abgabe: Donnerstag, den 13. März - vor der Vorlesung.
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