Formale Methoden 2 - LS1 - Logik in der Informatik

Formale Methoden 2
Gaetano Geck
Lehrstuhl I – Logik in der Informatik
WS 2015/2016
Teil 2: Logik
1
Prädikatenlogik (Einleitung)
2
Aussagenlogik
Motivation
Grundlagen
Eigenschaften
Eigenschaften
Normalformen
Exkurs: Operatoren
Folgerung
3
Prädikatenlogik (Fortsetzung)
Logik / Aussagenlogik
Motivation (1/2)
Praktische und theoretische Ziele:
Formeln auswerten (auf einer Datenbank D)
Eigenschaften von Formeln bestimmen:
• „Nützlichkeit“ der Formel:
1 Gibt es eine Datenbank, für welche die Formel wahr ist?
2 Gilt für jede Datenbank, dass die Formel wahr ist?
• Zusammenhänge zwischen Formeln:
3 Gilt für jede Datenbank, dass ' und denselben Wert annehmen?
4 Gilt für jede Datenbank, unter der ' wahr ist, dass wahr ist?
Beispiel 2.1
Für jede Datenbank und jede dazu passende Belegung
1
2
3
4
gilt:
[[ R(x) ^ ¬R(x) ]] = 0;
[[ R(x) _ ¬R(x) ]] = 1;
[[ R(x, y) ^ S(y, z) ]] = [[ S(y, z) ^ R(x, y) ]] ;
[[ R(x, y) ^ S(y, z) ]]  [[R(x, y)]] .
Vorteil:
Mit diesem Wissen kann der Aufwand für die Auswertung einer Formel reduziert werden.
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16
Logik / Aussagenlogik
Motivation (2/2)
Ein genauerer Blick auf die Formeln aus Beispiel 2.1:
Beispiel 2.2
1
2
3
4
R(x) ^ ¬R(x) hat die Form (A ^ ¬A);
R(x) _ ¬R(x) hat die Form (A _ ¬A);
R(x, y) ^ S(y, z) und S(y, z) ^ R(x, y) haben die Form (A ^ B) bzw. (B ^ A);
R(x, y) ^ S(y, z) und R(x, y) haben die Formen A ^ B und A.
Nun: Beschränkung auf Datenbanken D = (U, A1 , . . . , An ) mit
leerem Universum (U = ;)
nullstelligen Relationen A1 , . . . , An (über ;), genannt Aussagenvariablen.
Es gilt dann entweder Ai = {} oder Ai = {()}, für jedes i 2 {1, . . . , n}.
Intuitiv: Ai repräsentiert den Wahrheitswert einer Aussage:
• falsch: Ai = {}
• wahr: Ai = {()}
Anschaulicher fassen wir eine solche Datenbank auf als
Definition 2.3
Eine Interpretation für Aussagenvariablen A1 , . . . , An ist eine Abbildung
↵ : {A, . . . , An } ! {0, 1}.
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Logik / Aussagenlogik
Grundlagen: Syntax und Semantik
Beobachtung: Quantoren nutzlos,
da nullstelligen Relationsatome keine Variablen enthalten.
Vorausgesetzt: Menge AV = {A, B, C, . . . , A1 , A2 , A3 , . . . } von Aussagenvariablen.
Hinweis: Aussagenvariablen entsprechen Relationen auf U , während prädikatenlogische Variablen Elementens aus U entsprechen!
Definition 2.4
Definition 2.5
Die Menge AL aussagenlogischer Formeln
ist die kleinste Menge mit
Sei ↵ eine Interpretation, die für alle
Variablen in ' und definiert ist.
für jede Variable X 2 AV ist X 2 AL;
Dann ist der Wahrheitswert
für jede Formel ' 2 AL ist ¬' 2 AL;
[[']]↵ = ↵(X), falls ' = X 2 AV;
für alle Formeln ',
[[ ' ^ ]]↵ = 1 genau dann,
wenn [[']]↵ = 1 und [[ ]]↵ = 1 ist.
für alle Formeln ',
2 AL ist
(' ^ ) 2 AL;
2 AL ist
(' _ ) 2 AL.
[[¬']]↵ = 1 genau dann,
wenn nicht [[']]↵ = 1 ist.
[[ ' _ ]]↵ = 1 genau dann,
wenn [[']]↵ = 1 oder [[ ]]↵ = 1 ist.
Bezeichnung: Eine Interpretation ist passend zu einer Formel ',
falls sie für alle Variablen in ' definiert ist.
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Logik / Aussagenlogik
Grundlagen: Semantik (Wahrheitstabellen, 1/2)
Die Semantik der aussagenlogischen Operatoren ¬, ^, _
kann durch Wahrheitstabellen dargestellt werden.
Beispiel 2.6
Sei ↵ eine zu ' und
[[']]↵
0
1
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[[¬']]↵
1
0
passende Interpretation, dann gilt:
[[']]↵
0
0
1
1
[[ ]]↵
0
1
0
1
[[' ^ ]]↵
0
0
0
1
[[']]↵
0
0
1
1
[[ ]]↵
0
1
0
1
[[' _ ]]↵
0
1
1
1
19
Logik / Aussagenlogik
Grundlagen: Semantik (Wahrheitstabellen, 2/2)
Wir definieren als Abkürzung die Operatoren
(Syntaktische) Implikation: '! für (¬' _ )
(Syntaktische) Äquivalenz: '$ für (' ^ ) _ (¬' ^ ¬ )
Aufgabe
Stelle die Wahrheitstabellen von '! und '$ auf.
Lösung
[[']]↵
0
0
1
1
[[ ]]↵
0
1
0
1
[['! ]]↵
1
1
0
1
[[']]↵
0
0
1
1
[[ ]]↵
0
1
0
1
[['$ ]]↵
1
0
0
1
Beobachtung:
Es gilt [['! ]]↵ = 1 genau dann, wenn [[']]↵  [[ ]]↵ ist.
Es gilt [['$ ]]↵ = 1 genau dann, wenn [[']]↵ = [[ ]]↵ ist.
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Logik / Aussagenlogik
Grundlagen: Semantik (Auswertung)
Die induktive Definition des Wertes erlaubt eine rekursive Auswertung:
Beispiel 2.7 (Rekursive Auswertung)
Wir betrachten die Formel
' = ¬ (A _ ¬A) ^ B _ A
und die Interpretation ↵ : AV ! {0, 1} mit ↵(A) = 0 und ↵(B) = 1.
Ziel: Bestimme [[']]↵
0 [[¬ (A _ ¬A) ^ B _ A]]↵
0 [[¬ (A _ ¬A) ^ B ]]↵
[[A]]↵ 0
1 [[ (A _ ¬A) ^ B ]]↵
1 [[A _ ¬A]]↵
0 [[A]]↵
[[B]]↵ 1
[[¬A]]↵ 1
[[A]]↵ 0
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Logik / Aussagenlogik
Eigenschaften: Erfüllbarkeit (1/2)
Definition 2.8
Sei ' eine aussagenlogische Formel und ↵ eine zu ihr passende Interpretation.
Die Interpretation ↵ ist erfüllend für ' genau dann, wenn [[']]↵ = 1 gilt.
Beispiel 2.9
Wir betrachten die Formel ' = (¬A _ B) ^ (A _ ¬B) mit der vollständigen Wahrheitstabelle
↵
↵0,0
↵0,1
↵1,0
↵1,1
[[A]]↵
0
0
1
0
[[B]]↵
0
1
0
0
[[¬A]]↵
1
1
0
1
[[¬B]]↵
1
0
1
1
[[(¬A _ B)]]↵
1
1
0
1
[[(A _ ¬B)]]↵
1
0
1
1
[[']]↵
1
0
0
1
Die Belegungen ↵0,0 und ↵1,1 sind erfüllend für '.
Die Belegungen ↵0,1 und ↵1,0 sind nicht erfüllend für '.
Hinweis: Vollständige Wahrheitstabellen werden auf Übungsblatt 4 erläutert.
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Logik / Aussagenlogik
Eigenschaften: Erfüllbarkeit (2/2)
Definition 2.10
Sei ' eine aussagenlogische Formel, dann heißt '
erfüllbar, wenn es eine passende erfüllende Interpretation für sie gibt;
unerfüllbar, wenn es keine passende erfüllende Interpretation für sie gibt;
allgemeingültig oder Tautologie,
wenn jede zu ihr passende Interpretation erfüllend ist.
Bemerkung:
Unerfüllbarkeit ist das Gegenteil von Erfüllbarkeit:
Eine Formel ist genau dann unerfüllbar, wenn sie nicht erfüllbar ist.
Unerfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit schließen sich aus.
Allgemeingültigkeit bedingt Erfüllbarkeit,
aber eine erfüllbare Formel muss nicht allgemeingültig sein.
Frage
Sind die folgenden Formeln erfüllbar, unerfüllbar, allgemeingültig?
'1 = (A ^ ¬A)
'2 = (A ^ B)
'3 = (A _ ¬A)
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23
Logik / Aussagenlogik
Eigenschaften: Äquivalenz
Formeln können sich syntaktisch unterscheiden, aber semantisch gleich verhalten:
Definition 2.11
Seien ' und
aussagenlogische Formeln.
Die Formel ' ist äquivalent zu (Notation: ' ⌘ ),
falls [[']]↵ = [[ ]]↵ für jede zu ' und passende Interpretation ↵ gilt.
Bemerkung: Es lässt sich leicht prüfen, dass ⌘ eine Äquivalenzrelation auf AL ist.
Beispiel 2.12
Es gilt etwa ' ⌘ ¬¬', für jede Formel ' 2 AL.
Direkter Beweis durch Fallunterscheidung:
Sei ↵ eine beliebige zu ' passende Interpretation.
Dann gilt entweder [[']]↵ = 1 oder [[']]↵ = 0.
1. Fall ([[']]↵ = 1):
• Dann gilt [[¬']]↵ = 0.
• Ferner gilt [[¬¬']]↵ = 1 = [[']]↵ .
(Semantikdefinition von ¬)
(Semantikdefinition von ¬)
2. Fall ([[']]↵ = 0):
• Dann gilt [[¬']]↵ = 1.
• Ferner gilt [[¬¬']]↵ = 0 = [[']]↵ .
In jedem Fall gilt also [[']]↵ = [[¬¬']]↵ , was zu zeigen war.
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(Semantikdefinition von ¬)
(Semantikdefinition von ¬)
24
Logik / Aussagenlogik
Eigenschaften: Äquivalenz (Ersetzungslemma)
Was geschieht, wenn
Teilformeln durch
äquivalente Teilformeln ersetzt werden?
Frage
Es gilt: ¬(A ^ B) ⌘ (¬A _ ¬B).
Naheliegende Frage: Gilt dann auch ¬(A ^ B)_C ⌘ (¬A _ ¬B)_C ?
Lemma 2.13 (Ersetzungslemma)
Seien ' und
Die Formel
äquivalente aussagenlogische Formeln, ' ⌘ .
enthalte die Teilformel ' und
die Formel 0 gehe aus hervor,
indem ein Vorkommen von ' durch ein Vorkommen von
dann gilt
⌘
ersetzt wird,
0.
Antwort
Es gilt ¬(A ^ B)_C ⌘ (¬A _ ¬B)_C gemäß Ersetzungslemma mit
' = ¬(A ^ B) und
= (¬A _ ¬B)
= ¬(A ^ B)_C und
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0
= (¬A _ ¬B)_C .
25
Logik / Aussagenlogik
Eigenschaften: Äquivalenz (Substitutionslemma)
Was geschieht, wenn
Aussagenvariablen durch
Teilformeln einheitlich ersetzt werden?
Definition 2.14
Eine (Variablen-)Substitution ist eine Abbildung S : AV ! AL.
Für eine aussagenlogische Formel ' bezeichnen wir mit S⇤ (') die Formel,
die aus ' hervorgeht, indem jede Variable X 2 AV,
die sowohl in ' als auch in D(S) vorkommt, durch S(X) ersetzt wird.
Beispiel 2.15
Sei S⇤ : AV ! AL⇣ mit A 7! C, B 7! (A ⌘^ ¬A) und C 7! (E _ F),
dann gilt etwa S⇤ (A ^ ¬B) _ (B ^ ¬A) = C ^ ¬(A ^ ¬A) _ (A ^ ¬A) ^ ¬C .
Lemma 2.16 (Substitutionslemma)
Sind aussagenlogische Formeln ' und äquivalent, so sind die aussagenlogischen
Formeln S⇤ (') und S⇤ ( ) für jede Substitution S äquivalent.
Beispiel 2.17
Wir wissen: ¬(A ^ B) ⌘ (¬A _ ¬B). Mit der Substitution A 7! (¬C ^ D) folgt daher
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¬ (¬C ^ D) ^ B ⌘ ¬(¬C ^ D) _ ¬B .
26
Logik / Aussagenlogik
Eigenschaften: Äquivalenz (Wichtige Gesetze, 1/2)
Satz 2.18
Seien ',
und
aussagenlogische Formeln. Dann gilt
Doppelnegation: ¬¬' ⌘ '
Idempotenz: (' ^ ') ⌘ ' und (' _ ') ⌘ ' (mehrfaches Auftreten der Operanden irrelevant)
Kommutativität:
(Reihenfolge der Operanden irrelevant)
• (' ^ ) ⌘ ( ^ ')
• (' _ ) ⌘ ( _ ')
Assoziativität:
•
•
(' ^ ) ^
(' _ ) _
(Klammerung bei selbem Operator irrelevant)
⌘ '^( ^ )
⌘ '_( _ )
De-Morgan’sche Regeln:
• ¬(' ^ ) ⌘ (¬' _ ¬ )
• ¬(' _ ) ⌘ (¬' ^ ¬ )
Beweisidee
Beispiel De-Morgan’sche Regel ¬(' ^ ) ⌘ (¬' _ ¬ ):
1
2
Beweise ¬(A ^ B) ⌘ (¬A _ ¬B), etwa via Wahrheitstabellen.
Nutze Substitutionslemma mit S(A) = ' und S(B) = .
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Logik / Aussagenlogik
Eigenschaften: Äquivalenz (Wichtige Gesetze, 2/2)
Satz 2.19
Seien ', und beliebige aussagenlogische Formeln,
sei ? eine unerfüllbare Formel und > eine Tautologie, dann gilt
Distributivität:
•
•
'^( _ ) ⌘ ('^ )_('^ )
'_( ^ ) ⌘ ('_ )^('_ )
Tertium non datur: ' ^ ¬' ⌘ ? und ' _ ¬' ⌘ >
Dominanz: ? ^ ' ⌘ ? und > _ ' ⌘ >
Neutralität: > ^ ' ⌘ ' und ? _ ' ⌘ '
Praxisbezug
Das Dominanzgesetz liegt der Shortcut-Evaluation (C++, Java, . . . ) zugrunde:
• Bedingungen mit Boole’schen Ausdrücken werden von links nach rechts ausgewertet.
• Weniger aufwendig zu testende Bedingungen sollten deshalb weiter links stehen.
Möglich:
if (langwierigerTest (i) && i >= 10)
meineMethode (i);
Besser:
if (i >= 10 && langwierigerTest (i))
meineMethode (i);
(Analog für die disjunktive Verknüpfung ||.)
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28
Logik / Aussagenlogik
Normalformen (1/2)
Definition 2.20
Eine Formel ' ist in Negationsnormalform (NNF),
wenn Negationen nur unmittelbar vor Variablen vorkommen.
Eine Formel ' ist in konjunktiver Normalform (KNF),
wenn sie von der Form ' = D1 ^ . . . ^Dk für disjunktive Klauseln D1 , . . . , Dk ist.
Eine Formel ' ist in disjunktiver Normalform (DNF),
wenn sie von der Form ' = C1 _ . . . _Ck für konjunktive Klauseln C1 , . . . , Ck ist.
Dabei ist
eine disjunktive Klausel ist eine Formel (`1 _ · · · _ `n ) mit Literalen `1 , . . . , `n ;
eine konjunktive Klausel ist eine Formel (`1 ^ · · · ^ `n ) mit Literalen `1 , . . . , `n ; und
ein Literal ist eine Variable X oder eine negierte Variable ¬X .
Beispiel 2.21
in NNF: ¬A _ (B ^ A) _ ¬C ;
nicht in NNF: A _ ¬¬B,
¬(A ^ ¬B);
in KNF: A ^ (B _ ¬C) ^ (A _ ¬A _ ¬B),
nicht in KNF: A _ (B ^ ¬C);
A _ B _ ¬C;
Definition 2.22
Eine Formel ist in 3-KNF bzw. in 3-DNF,
falls sie in KNF bzw. DNF ist und jede Klausel genau drei Literale enthält.
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Logik / Aussagenlogik
Normalformen (2/2)
Satz 2.23
Sei ' eine aussagenlogische Formel, dann kann in Polynomialzeit eine Formel '0 berechnet werden,
sodass '0 in Negationsnormalform ist und '0 ⌘ ' gilt.
Prinzip der NNF-Berechnung
Idee:
Nutze wiederholt die Doppelnegationsregel, um Mehrfachnegationen zu eliminieren.
Nutze wiederholt die De-Morgan’schen Regeln, um Negationen „nach innen zu ziehen“.
Induktive Definition: Wir definieren eine Abbildung NNF : AL ! AL,
die jede Formel ' auf eine äquivalente Formel in Negationsnormalform abbildet.
Aufgabe
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
' !
7
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
X,
NNF( 1 ) ^ NNF( 2 ),
NNF( 1 ) _ NNF( 2 ),
¬X,
NNF( ),
NNF(¬ 1 ) _ NNF(¬ 2 ),
NNF(¬ 1 ) ^ NNF(¬ 2 ),
⇣
falls ' = X
falls ' = ( 1 ^ 2 )
falls ' = ( 1 _ 2 )
falls ' = ¬X
falls ' = ¬¬
falls ' = ¬( 1 ^ 2 )
falls ' = ¬( 1 _ 2 )
für X 2 AV
für 1 , 2 2 AL
für 1 , 2 2 AL
für X 2 AV
für 2 AL
für 1 , 2 2 AL
für 1 , 2 2 AL
⌘
Bestimmen NNF(') für ' = ¬ A ^ ¬ B ^ ¬C ^ (D _ ¬E) .
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30
Logik / Aussagenlogik
Exkurs: Operatoren
Abbildungen, die gleichartige oder ähnliche Objekte miteinander verknüpfen,
werden Operatoren oder Verknüpfungen genannt.
Ihre Argumente heißen Operanden,
die Anzahl der Operanden ist die Stelligkeit des Operators.
Beispiel 2.24
Addition: + : R ⇥ R ! R
Wurzel:
p
·:R!R
Relationenkomposition:
Ableitung:
d
dx
: P(X ⇥ Y) ⇥ P(Y ⇥ Z) ! P(X ⇥ Z)
: F (R) ! F (R),
wobei F (R) die Menge der Funktionen f : R ! R bezeichnet.
Bemerkung:
Binäre (zweistellige) Operatoren werden oft in Infixnotation verwendet.
Beispiel:
• Statt +(5, 3)
• schreiben wir 5 + 3
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(Präfixnotation)
(Infixnotation).
31
Logik / Aussagenlogik
Exkurs: Operatoren (Assoziativität, Kommutativität)
Definition 2.25
Ein binärer Operator
: M ⇥ M ! M ist
assoziativ, falls (x y) z = x (y z) für alle x, y, z 2 M gilt;
kommutativ, falls x y = y x für alle x, y 2 M gilt.
Beispiel 2.26
Addition und Multiplikation sind assoziativ und kommutativ.
Vereinigung und Schnittbildung sind assoziativ und kommutativ.
Die Relationenkomposition ist assoziativ.
Fragen
1
Ist die Relationenkomposition kommutativ?
2
Ist die Subtraktion kommutativ?
3
Ist die Subtraktion assoziativ?
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32
Logik / Aussagenlogik
Exkurs: Operatoren (Verallgemeinerung, 1/3)
Die Assoziativität der Addition, Multiplikation, Vereinigung und Schnitt erlaubt uns die
Einsparung von Klammern. Wir schreiben meist
x+y+z
x·y·z
M[N[P
statt (x + y) + z oder x + (y + z);
statt x · (y · z) oder (x · y) · z);
M\N\P
statt M [ (N [ P) oder (M [ N) [ P;
statt M \ (N \ P) oder (M \ N) \ P.
Assoziative binäre Operatoren können kanonisch
auf beliebig (aber endlich) viele Operanden verallgemeinert werden:
Beispiel 2.27
Seien a1 , . . . , ak Zahlen und M1 , . . . , M` Mengen. Dann schreiben wir
Pk
i=1
ai für a1 + a2 + a3 + · · · + ak
j=1
S`
aj für a1 · a2 · a3 · . . . · ak
h=1
Mh für M1 [ M2 [ M3 [ · · · [ Mk
1
[ Mk ;
h=1
Mh für M1 \ M2 \ M3 \ · · · \ Mk
1
\ Mk .
Qk
T`
Analog schreiben wir
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Vn
i=1
1
1
+ ak ;
· ak ;
'i für '1 ^ · · · ^ 'n ; und
Wn
i=1
'i für '1 _ · · · _ 'n .
33
Logik / Aussagenlogik
Exkurs: Operatoren (Verallgemeinerung, 2/3)
Definition 2.28 (Neutrales Element)
Sei : M ⇥ M ! M ein binärer Operator auf M .
Ein Element e 2 M heißt neutral bezüglich ,
falls e x = x und x = x e für alle x 2 M gilt.
Beispiel 2.29
0 2 R ist das neutrale Element bezüglich der Addition + : R ⇥ R ! R;
1 2 R ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation · : R ⇥ R ! R.
Frage
Was ist das neutrale Element bezüglich der Mengenvereinigung [?
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34
Logik / Aussagenlogik
Exkurs: Operatoren (Verallgemeinerung, 3/3)
Assoziative und kommutative binäre Operatoren können kanonisch auf endlich viele
Operanden, die durch Mengen indiziert sind, verallgemeinert werden:
Definition 2.30
Sei I = {i1 , . . . , ik } eine endliche Menge von k paarweise verschiedenen Indizes,
M eine Menge mit neutralem Element e,
xi 2 M für jedes i 2 I und
: M ⇥ M ! M ein binärer Operator auf M .
Dann ist
xi1
i2I xi
definiert als
· · · xik , falls I , ;, und
e, falls I = ;.
Aufgabe
Seien M1 = {1, 2}, M2 = {3, 4} und M3 = {8, 9, 12}. Bestimme
S
i2{2,4}
S
Mi 1 ;
i2{1,2,3}\{5,6}
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Mi .
35
Logik / Aussagenlogik
Folgerung (1/3)
Formeln können Wissen repräsentieren in Form von
Fakten: etwa A oder ¬B und
Regeln: etwa A!B oder C$¬D.
Beispiel 2.31
Wir nutzen folgende Aussagenvariablen mit angegebener Interpretation:
U (laub)
Ich habe Urlaub.
R(egen)
Es regnet.
S(onne)
Die Sonne scheint.
M (eer)
Ich bin am Meer.
G(lück)
Ich bin glücklich.
Modellierung expliziten Wissens:
U
Ich habe Urlaub.
¬R
Es regnet nicht.
S$¬R
Die Sonne scheint genau dann, wenn es nicht regnet.
(U ^ S)!M
Wenn ich Urlaub habe und die Sonne scheint, dann bin ich am Meer.
M!G
Wenn ich am Meer bin, dann bin ich glücklich.
Implizit enthaltenes Wissen:
Die Sonne scheint.
Ich bin am Meer.
Ich bin glücklich.
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36
Logik / Aussagenlogik
Folgerung (2/3)
Der formale Hintergrund des implizit enthaltenen Wissens spiegelt sich wider in
Definition 2.32 (Semantische Implikation)
Sei {'1 , . . . , 'n } ✓ AL eine Formelmenge und
2 AL eine Formel.
Die Formelmenge {'1 , . . . , 'n } impliziert , falls jede Interpretation,
die zu '1 , . . . , 'n und
passt und
die für jede Formel '1 , . . . , 'n erfüllend ist,
auch die Formel
erfüllt.
Wir schreiben dann {'1 , . . . , 'n } |=
.
Bemerkung: Diese Definition lässt sich auch auf unendliche Formelmengen erweitern.
Beispiel 2.33
Sei
1
2
= U,
¬R,
S$¬R,
(U ^ S)!M,
M!G und
= G, dann gilt
|= .
Sei ↵ eine beliebige Interpretation mit {G, M, R, S, U} ✓ D(↵), die jede Formel aus
3
Wegen [[¬R]]↵ = 1 gilt ferner ↵(R) = 0.
4
Aus ↵(R) = 0 und [[S$¬R]]↵ = 1 folgt weiter ↵(S) = 1.
5
Aus ↵(U) = 1 und ↵(S) = 1 und [[(U ^ S)!M]]↵ = 1 folgt außerdem ↵(M) = 1.
6
erfüllt.
Wegen [[U]]↵ = 1 gilt dann ↵(U) = 1.
Schließlich folgt aus ↵(M) = 1 und [[M!G]]↵ = 1 auch ↵(G) = 1.
Insbesondere erfüllt ↵ also die Formel = G.
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Logik / Aussagenlogik
Folgerung (3/3)
Aufgabe
Zeige die Gültigkeit folgender semantischer Implikationen:
n
o
A_B_C, (A^B)!¬C, (A^C)!¬B, (B^C)!¬A
|=
A^(¬B_¬C) _B_C
n
o
2 A _ B, B!¬A, ¬A$(C _ D), B!¬D, (A ^ ¬B)!(C ^ E)
|= C
1
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38
Logik / Aussagenlogik
Folgerung, Äquivalenz und Erfüllbarkeit
⌘ ist nicht dasselbe wie $ und
{'1 , . . . , 'n } |= ist nicht dasselbe wie ('1 ^ . . . ^ 'n )! .
Dies lässt schon der „Typ“ der Konstrukte erkennen:
⌘
und
|=
sind Aussagen über Formeln,
$ und ('1 ^ · · · ^ 'n )! sind Formeln.
Dennoch besteht ein enger Zusammenhang
zwischen semantischer Äquivalenz und syntaktischer Äquivalenz;
zwischen semantischer Implikation und syntaktischer Implikation.
Satz 2.34
Sei {'1 , . . . , 'n } ✓ AL eine Menge von Formeln und ,
Es gilt
⌘
2 AL Formeln.
genau dann, wenn $ allgemeingültig ist.
Es gilt {'1 , . . . , 'n } |=
genau dann, wenn ('1 ^ · · · ^ 'n ) ! allgemeingültig ist.
Lemma 2.35
Eine Formel ' 2 AL ist genau dann allgemeingültig, wenn ¬' unerfüllbar ist.
Folgerung 2.36
Sei {'1 , . . . , 'n } ✓ AL und
Es gilt {'1 , . . . , 'n } |=
FM2 (WS 2014/15, Geck)
2 AL.
genau dann, wenn '1 ^ · · · ^ 'n ^ ¬ unerfüllbar ist.
39