STATISTIK

Statistische Formeln
7.Klasse AHS
STATISTIK
MITTELWERTE:
a) Gegeben sei eine Urliste x1, x2,...,xn. Man nennt
x=
1 n
x + x2 + ... + x n
xi = 1
∑
n i =1
n
das arithmetische Mittel oder den Mittelwert der Urliste(n ist die Anzahl der Elemente der
Urliste).
Andere Angabenformen:
a1 a2 ... ak
H1 H2 ... Hk
ai...Variablenwerte; Hi...absolute Häufigkeiten
1 k
a H + a2 H 2 + ... + ak H k
ai ⋅ H i = 1 1
∑
n i =1
n
(k...Anzahl der verschiedenen Variablenwerte in der Urliste)
x=
a2 ... ak
h2 ... hk
a1
h1
ai...Variablenwerte; hi...relative Häufigkeiten: hi =
Hi
n
k
x = ∑ ai hi = a1 h1 + ... + ak hk
i =1
k
∑H
Kontrollen:
i =1
i
=n
k
∑h
i =1
i
=1
Beispiel: Die drei Parallelklassen 7A, 7B, 7C eines Gymnasiums vergleichen nach der ersten
Mathematikschularbeit die Noten:
7A: 3, 1, 3, 2, 5, 1, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 2, 1, 5, 3, 2, 1, 3
7B: 2, 2, 3, 2, 5, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 1, 5, 4, 2, 5, 3, 2, 4, 2, 3
7C: 5, 2, 1, 2, 2, 4, 5, 5, 1, 3, 1, 5, 2, 5, 1, 2, 5
Wir stellen die Notenverteilungen in einer Tabelle dar:
7A
7B
7C
1
4
2
4
2
5
10
5
7A: x =
3
7
6
1
4
1
3
1
49
≈ 2,6
19
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5
2
3
6
7B: x =
67
51
≈ 2,8 7C: x =
=3
24
17
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b) Modalwert: Es sei x1, x2,...,xn eine Messreihe eines beliebigen Merkmals. Dann heißen
diejenigen Merkmalausprägungen, die am häufigsten vorkommen, Modalwert(MODUS). Falls mehrere Werte mit dieser höchsten Häufigkeit auftreten, so existiert
kein Modus.
Beispiel: (siehe Tabelle oben) 7A: 3; 7B: 2 7C: 5
c)Median: 0rdnet man eine Liste von Variablenwerte der Größe nach, so heißt bei einer
ungeraden Anzahl von Werten der in der Mitte stehende Wert MEDIAN oder Zentralwert
der Liste. Bei einer geraden Anzahl von Werten bezeichnet man das arithmetische Mittel
der beiden in der Mitte stehenden Werte als Median.
Beispiel:
7A: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5 (ungerade Anzahl)
7B: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5 (gerade Anzahl)
7C: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5 (ungerade Anzahl)
d) Geometrisches Mittel:
Beispiel: Der Umsatz eines Betriebes ist in vier aufeinanderfolgenden Jahren jeweils um den
Faktor 1,45; 2,10; 1,30; 1,40(d.h. um 45%, 110%, 30%, 40%)gestiegen. Wie groß war die
durchschnittliche Steigerung, d.h. um welchen konstanten Faktor hätte der Umsatz jährlich
steigen müssen, um insgesamt um denselben Faktor zu steigen? Stelle eine Formel auf, mit
deren Hilfe man aus Wachstumsfaktoren x1,...xn diesen „mittleren“ Wachstumsfaktor
berechnen kann!
Das entsprechende Zentralmaß heißt geometrisches Mittel:
Sind x1,...xn positive reelle Zahlen, so heißt
x1,...xn.
n
x1 ⋅ x 2 ⋅ ... x n das geometrische Mittel von
x1=1,45; x2=2,10; x3=1,30; x4=1,40
4
1,45 ⋅ 2,10 ⋅ 1, 30 ⋅ 1,40 ≈ 1,53( 53%)
e) Harmonisches Mittel:
Bei einem Autorennen sind fünf Runden zu fahren. Die mittleren Geschwindigkeiten in den
einzelnen Runden betragen für einen Fahrer: 183; 210, 201; 180; 182(km/h). Wie groß ist die
mittlere Geschw. für alle fünf Runden?
Gib eine Formel an, mit der diese mittlere Geschwindigkeit aus den einzelnen mittleren
Geschwindigkeiten berechnet werden kann.
n
Sind x1,...xn positive reelle Zahlen, so heißt 1
1
1 das harmonische Mittel von
+
+ ... +
x1 x 2
xn
x1,...xn.
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5
5
= 190,5km / h
=
1
1
1
1
1 0,026
+
+
+
+
183 210 201 180 185
STREUUNGSMAßE:
Es sei x1,...xn eine Liste von Variablenwerten mit dem Mittelwert x . Dann nennt man
( x1 − x ) 2 + ( x 2 − x ) 2 + ... + ( x n − x ) 2
1 n
( xi − x ) 2
=
∑
n
n i =1
die (empirische)Standardabweichung der Liste(gebräuchlichstes Steuungsmaß). Die Zahl s²
heißt (empirische)Varianz oder mittlere quadratische Abweichung.
s=
Beispiel: Bei einem Wettbewerb waren 8 Aufgaben zu lösen. Die Anzahl der richtig
gelösten Aufgaben verteilte sich wie folgt:
Anz. ai
hi in %
•
•
0
18
1
23
2
17
3
12
4
10
5
8
6
8
7
3
8
1
Wie groß ist die durchschnittliche Zahl gelöster Aufgaben?
Berechne die empirische Standardabweichung!
k
x = ∑ a i hi = a1 h1 + ... + a k hk = 0 ⋅ 0,18 + 1 ⋅ 0, 23 + ... + 8 ⋅ 0,01 = 2,5
i =1
s = h1 ⋅ ( a1 − x ) 2 + h2 ⋅ ( a 2 − x ) 2 + ... + hk ⋅ ( a k − x ) 2 =
k
∑ (a
i =1
i
− x ) 2 ⋅ hi
s = 0,18 ⋅ (0 − 2,5 ) 2 + 0, 23 ⋅ (1 − 2,5) 2 + ... + 0,01 ⋅ (8 − 2,5 ) 2 = 2,08
Beispiel: Die Körpergrößen von 700 sechsmonatigen Säuglingen verteilen sich wie folgt:
cm
Häuf.
62
25
63
35
64
52
65
84
66
120
67
135
68
100
69
61
70
41
71
33
x = 66,76
s=
1
⋅ [ H 1 ⋅ ( a1 − x ) 2 + H 2 ⋅ ( a 2 − x ) 2 + ... + H k ⋅ ( a k − x ) 2 ]
n
s=
1
⋅ [ 25 ⋅ ( 62 − 66,76 ) 2 + 35 ⋅ (63 − 66,76) 2 + ... + 14 ⋅ (72 − 66,76 ) 2 ] = 2, 29
700
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72
14