Folien VII

Gliederung
1. Einleitung (Antje Swart)
2. Begriffsdefinitionen (Antje Swart)
2.1 Optionsgeschäft
2.1.1 Vier Grundpositionen von Optionsgeschäften
2.1.1.1
Kauf einer Kaufoption (Long Call)
2.1.1.2
Verkauf einer Kaufoption (Short Call)
2.1.1.3
Kauf einer Verkaufsoption (Long Put)
2.1.1.4
Verkauf einer Verkaufsoption (Short Put)
2.1.2 Rechte und Pflichten von Käufern und Verkäufern von
Optionen
2.1.3 Innerer Wert einer Option
2.2 Prämiengeschäfte
3. Put-Call-Parität bei Stoll (1968) (Antje Swart)
3.1 Annahmen
3.2 Duplikation
3.3 Arbitrage
3.3.1 Beispiel zur Ausnutzung von Optionspreisdifferenzen
3.3.2 Perfect Hedge
3.4 Put-Call-Parität
4. Allgemeine Deckungsgeschäfte, Bronzin (1908) (Anja Hochstein)
4.1 Zwei zentrale Konzepte
4.2 Begriffsverwendung
4.3 Die Deckung bei normalen Geschäften
4.3.1 Ausgangslage
4.3.2 Definition Deckung
4.3.3 Ermittlung allgemeiner Deckungsgesetze
4.4 Äquivalenz von normalen Geschäften
4.4.1 Konstruktion äquivalenter Geschäfte
4.5 Beurteilung von Bronzins Theorie
5. Umwandlung von Prämiengeschäften, Sommerfeld (1926)
(Anja Hochstein)
5.1 Beispiel 1: Kombination eines Prämiengeschäfts mit einem
festen Geschäft
5.2 Mathematische Herleitung des Vorprämienkurses
5.3 Beurteilung von Sommerfelds Theorie?
5.4 Verhältnis von Vorprämie zur Rückprämie
1/25
2. Begriffsdefinitionen
2.1 Optionsgeschäft
„Optionen sind standardisierte, börsenmäßig gehandelte
Vereinbarungen, die dem Käufer das Recht, aber nicht die
Verpflichtung geben,
• eine bestimmte Menge eines bestimmten Basiswerts
• innerhalb eines festgelegten Zeitraums (Optionsfrist)
oder zu
• zu
einem festgesetzten Zeitpunkt (Optionstermin)
einem
Vertragsabschluss
festgelegten
Preis
(Basispreis)
• zu kaufen (Call)
• zu verkaufen (Put).“1
Grill, Perczynski, Wirtschaftslehre des Krediwesens, 33., überarb. Auflage, Bad Homburg
vor der Höhe 1999, S. 302.
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1
2.1.1 Vier Grundpositionen von Optionsgeschäften
2.1.1.1 Kauf einer Kaufoption (Long Call)
- Erwartung steigender Kurse des Basiswertes während
der Laufzeit
- Verlustrisiko ist auf bezahlten Optionspreis begrenzt
Basispreis
Break-Even-Point
Gewinn
Kurs des Basiswertes
Verlust
Verlustzone
Gewinnzone
Quelle: Grill, Perczynski, S. 303
2.1.1.2 Verkauf einer Kaufoption (Short Call)
- Erwartung gleich bleibender oder leicht fallende Kurse
des Basiswertes während der Laufzeit
- Risiko den Basiswert liefern zu müssen
Gewinn
Gewinnzone
Verlustzone
Kurs des Basiswertes
Verlust
Basispreis
Break-Even-Point
Quelle: Grill, Perczynski, S. 304
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2.1.1.3 Kauf einer Verkaufsoption (Long Put)
- Erwartung fallender Kurse des Basiswertes während
der Laufzeit
- Verlustrisiko ist auf bezahlten Optionspreis begrenzt
Gewinn
BreakEven-Point
Basispreis
Kurs des Basiswertes
Verlust
Gewinnzone
Verlustzone
Quelle: Grill, Perczynski, S. 303
2.1.1.4 Verkauf einer Verkaufsoption (Short Put)
- Erwartung gleich bleibender oder leicht steigende
Kurse des Basiswertes während der Laufzeit
- Risiko den Basiswert liefern zu müssen
Verlustzone
Gewinnzone
Gewinn
Kurs des Basiswertes
Verlust
BreakEven-Point
Basispreis
Quelle: Grill, Perczynski, S. 304
Verkäufer von Optionen = Stillhalter
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2.1.2 Rechte und Pflichten von Käufern und Verkäufern
von Optionen
Kontraktposition
Käufer
Verkäufer
Optionsart
Kaufoption
Käufer einer Kaufoption:
Verkäufer einer
- zahlt die Optionsprämie
Kaufoption:
- erhält das Recht auf den
- erhält die Optionsprämie
Bezug von Wertpapieren
- Stillhalter in Wertpapieren
mit der Pflicht, diese ggf.
zu liefern
Verkaufsoption Käufer einer Verkaufsoption:
Verkäufer einer
- zahlt die Optionsprämie
Verkaufsoption:
- erhält das Recht auf die
- erhält die Verkaufsoption
Andienung von Wertpapieren
- Stillhalter in Geld mit der
Pflicht, Wertpapiere ggf.
zu
kaufen
Quelle: Tutoriumsunterlagen Finanzmanagement 05/06
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2.1.3 Innerer Wert einer Option
• abhängig vom Verhältnis zwischen Basispreis und
aktuellem Kurs des Basiswertes
1. „in the money“
Basispreis des Call liegt unter dem Kassakurs
Basispreis des Put liegt über dem Kassakurs
2. „at the money“
Basispreis und Kassakurs liegen dicht beieinander
3. „out of the money“
Basispreis des Call liegt über dem Kassakurs
Basispreis des Put liegt unter dem Kassakurs
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2.2 Prämiengeschäft
• traditionelle Ergänzung des Fixgeschäfts
• Erfüllung am gleichen Tag wie Fixgeschäfte
• Vorprämien und Rückprämien
Kontraktposition
Verkäufer
Käufer
Optionsart
Vorprämie
Verkäufer der Vorprämie:
- Pflicht zur Lieferung der
Effekten
- kein Rücktrittsrecht
- Recht auf erhalt des
Reugeldes (Prämie), bei
Rücktrittserklärung des
Käufers.
Käufer der Vorprämie:
- Pflicht zur Zahlung des
Reugeldes (Prämie)
beim Rücktritt vom
Vertrag
- Rücktrittsrecht unter
Bezahlung eines
Reugeldes (Prämie)
- erwirbt das Recht
Wertpapiere zu einem
vereinbarten Preis zu
erwerben
Rückprämie
Verkäufer der Rückprämie:
Käufer der Rückprämie:
(Stillhalter
ohne
Wahlrecht)
- Recht zum Erhalt der
Prämie bei
Nichtlieferung der
Effekten
- Pflicht zur Abnahme
der Effekten
- erhält das Recht per
Ultimo Effekten zu
einem vereinbarten
Kurs liefern zu können
- Pflicht zur Zahlung
einer Prämie bei
Nichtlieferung der Effekten
Quelle: eigene Ausarbeitung
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3. Put-Call-Parität bei Stoll (1968)
Definition: Die Put-Call-Parität stellt bei europäischen
Optionen eine Beziehung zwischen einem Put und einem Call
auf den gleichen Basiswert bei gleichem Basispreis und
gleicher Laufzeit her.
3.1 Annahmen:
- Ausübung der Option am Verfalltag (europäische
Option),
- gleicher Basispreis X bei Put und Call,
- gleicher Verfalltag,
- die Aktie wirft während der Optionsfrist keine
Dividende ab,
- keine Transaktionskosten und Transaktionssteuern,
- offener Markt,
- rationale Marktteilnehmer,
- das Individuum hat per Annahme kein Anfangskapital.
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3.2 Duplikation
Definition: Bei der Duplikation wird ein Portfolio aus
Handelsprodukten konstruiert, dass die Zahlungen des zu
bewertenden Produktes genau nachbildet.
I.
Long Position
+ Short Position
= Keine Position
II. Long Call
+ Short Put
= Long Position
III. Long Position
+ Long Put
= Long Call
IV. Short Position
+ Long Call
= Long Put
Dieser beschriebene Mechanismus ist von neuem Kapital
abhängig und beschreibt keinen Arbitragemechanismus, von
der die Put-Call-Parität abhängig ist.
3.3 Arbitrage
„Im Arbitragegleichgewicht erzielt man nicht mehr als die
Rendite auf eine entsprechende risikofreie Anlage, woraus
folgt, dass die Preise von Put und Call nicht unabhängig
voneinander sind.“1
1
Hartmut Schmidt: Wertpapierbörse, Aufl. 1, München 1988, S. 77.
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3.3.1 Beispiel zur Ausnutzung von Optionspreisdifferenzen
Basispreis = 50 Euro
C = 6 Euro
P = 3 Euro
Ein Händler kauft eine zweimonatige Verkaufsoption über 100
Stück und kauft 100 Stück X-Aktien im fortlaufenden Handel
zu 50 €, gleichzeitig verkauft er eine entsprechende
Kaufoption über 100 Stück.
- Kurse unter 50 €
Verluste aus dem Kassakauf und
die Gewinne aus dem Kauf der Verkaufsoption bis auf
einen Restverlust von 3 € heben sich auf.
- Kurse über 50 €
Gewinn von 6 €, den der Verlust
des Optionspreises der Verkaufsoption auf 3 € kürzt.
Fazit:
- Bezogen auf seinen Einsatz sind das 6,38 %, bei einer
einfachen Verzinsung umgerechnet auf das Jahr
38,30%
- In
diesem
Fall
lohnt
sich
die
arbitrageartige
Transformation auch dann, wenn man die entgangenen
Zinsen berücksichtigt.
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3.3.2 Perfect Hedge
C>P
Short Call + Long Position
+ Long Put = Keine Position
P>C
Short Put
+ Short Position
+ Long Call = Keine Position
3.4 Put-Call-Parität
Für die mathematische Herleitung der Put-Call-Parität führt
Stoll folgende Variablen ein:
V – Aktienkurs im Zeitpunkt t
P – Der Preis einer Put Option
C – Der Preis einer Call Option
i – Zinssatz einer risikofreien Anleihe
p, c – P/V, C/V relative Put und Call Preise
1.
2.
Gewinngleichungen aufstellen
•
C−
V ∗i
−P=M
1+ i
•
P+
V ∗i
−C = N
1+ i
M = N = 0, wenn ein Marktgleichgewicht besteht und
keine Arbitragemöglichkeit gegeben ist
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3.
Aus der Annahme 2 folgt, dass die Differenz zwischen
Put- und Call-Preisen gleichzusetzten ist mit dem
Barwert der Zinskosten für eine risikolose Finanzierung.
•
C−P=
•
c− p =
V ∗i
1+ i
i
≈i
1+ i
absoluter Wert
relativer Wert
- Stoll geht davon aus, dass der Unterschied zwischen
relativen Put- und Call-Preisen ungefähr i beträgt.
Annahmen:
- Put- und Call-Preise sind in einer wettbewerbsfähigen
Welt ohne Reibungsverluste mit i verbunden.
- Jede Abweichung der Call-Preise erfolgt sofort und
kann durch eine gleiche Veränderung der Put-Preise
ausgeglichen werden.
- Die Call-Preise übersteigen die Put-Preise immer um
die Zinskosten, wenn die Zinskosten konstant sind.
- Es besteht eine größere Wahrscheinlichkeit, dass eine
Veränderung der Put- und Call-Preise zu einem
Marktgleichgewicht führt, als eine Abweichung des
risikolosen Zinssatzes i.
Größe des Optionsmarktes
Daraus schließt Stoll, dass i den relativen Unterschied
zwischen Put- und Call-Preisen determiniert.
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ST = Wertpapierkurs zum Zeitpunkt t
K = Basispreis
T = Ausübungszeitpunkt
P = Preis für eine europäische Put-Option
C = Preis für eine europäische Call-Option
Auszahlung in t0
Verkaufe den Call
+C
Kaufe den Put
-P
Kaufe das Wertpapier
-S0
-T
-T
+(1+r) K
Leihe (1+r) K
-T
Wert: C-P-S0-+(1+r) K
Auszahlung in t = T
ST < K
ST > K
0
-(ST – K)
K – ST
0
ST
ST
-K
-K
0
0
Quelle: modifiziert nach Klaus Sandmann,
Einführung
in
die
Statistik
der
Finanzmärkte, Berlin 2001, S. 39.
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4. Allgemeine Deckungsgeschäfte, Bronzin (1908)
4.1 Zwei zentrale Konzepte
• Deckung
• Äquivalenz
4.2 Begriffsverwendung
Wahlkauf
Kauf mit Vorprämie
Zwangsverkauf
Verkauf mit Vorprämie
Wahlverkauf
Verkauf mit Rückprämie
Zwangskauf
Kauf mit Rückprämie
Einfache Prämiengeschäfte:
Der Kurs, zu dem ein Prämiengeschäft abgeschlossen wird,
entspricht dem Tageskurs für feste Geschäfte.
14/25
4.3 Die Deckung bei normalen Geschäften
4.3.1 Ausgangslage
• Situation des Anlegers, der ein Wahlgeschäft eingeht:
- Gewinn kann unbegrenzt wachsen
- Verlust ist auf gezahlte Prämie begrenzt
• Situation des Anlegers, der ein Zwangsgeschäft eingeht:
- Gewinn ist auf erhaltene Prämie begrenzt
- Verlust kann unbegrenzt wachsen
Folge: Anleger wird versuchen seine Geschäfte zu decken!
4.3.2 Definition Deckung
„Wir werden einen Komplex von Geschäften dann als gedeckt
betrachten, wenn bei jeder nur denkbaren Marktlage weder
Gewinn zu erwarten noch Verlust zu befürchten ist.“1
Kombination von Prämien- und Optionsgeschäft
Frühe Formulierung des perfekten Hedge!
1
Vinzenz Bronzin, Theorie der Prämiengeschäfte, Leipzig 1908, S. 7.
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4.3.3 Ermittlung allgemeiner Deckungsgesetze
B = Terminkurs = Kassakurs
ε = Kurssteigerung
ŋ = Kursrückgang
x = Anzahl der Wahlkäufe
y = Anzahl der Wahlverkäufe
P1 = Prämien für Wahlkäufe
P2 = Prämien für Wahlverkäufe
ST = Kurs der Aktie zum Zeitpunkt T
T = Ausübungszeitpunkt
z = Anzahl fester Käufe desselben Objekts
G = Gewinn
Auszahlung in t0
x Wahlkäufe
– x * P1
y Wahlverkäufe
z feste Käufe
– y * P2
– x * P1 – y * P2
Auszahlung in t = T
ST = B + ε > B
ST = B- ŋ ≤ B
0
x*ε
0
z*ε
y*ŋ
–z*ŋ
x*ε+z*ε
y*ŋ–z*ŋ
Quelle: eigene Ausarbeitung
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1.
Gewinngleichungen aufstellen
• bei einem Kursanstieg B + ε
G1 = (x + z) * ε – x * P1 – y * P2
• bei einem Kursrückgang B – ŋ
G2 = (y – z) * ŋ – x * P1 – y * P2
2.
G1 = G2 = 0, da Arbitragemöglichkeit ausgeschlossen
wird
(x + z) * ε – x * P1 – y * P2 = 0
(y – z) * ŋ – x * P1 – y * P2 = 0
3.
Notwendige Bedingungen
x+z=0
y–z=0
x+z=0
4.
Vereinfachung der Gleichungen unter 2.
x * P1 + y * P2 = 0
aufgrund der dritten Bedingung ergibt sich:
x * (P1 – P2 ) = 0
5.
x ungleich 0
P1 = P2 = 0
P1 = P2
17/25
6.
Fazit
1. Wahlgeschäfte
müssen
in
gleicher
Anzahl
wie
Zwangsgeschäfte vorkommen; (x + y = 0, x + z = 0,
y + (– z) = 0)
2. Anzahl der festen Verkäufe eines Objekts muss den
Wahlkäufen entsprechen; (z = – x)
3. Anzahl der festen Käufe eines Objekts muss den
Wahlverkäufen entsprechen; (z = y)
4. Prämien
für
Wahlkäufe
gleich
Prämien
für
Wahlverkäufe; (P1 = P2)
4.4 Äquivalenz von normalen Geschäften
Definition Äquivalenz:
„Zwei Systeme von Geschäften nennen wir nämlich dann
einander äquivalent, wenn sich das eine aus dem anderen
ableiten lässt, in anderen Worten, wenn dieselben bei jeder
denkbaren Lage des Marktes einen ganz gleichen Gewinn
resp. Verlust ergeben.“1
entspricht in der heutigen Optionstheorie der
Duplikation von Positionen
Der Zusammenhang zum Konzept der Deckung:
1
Bronzin, S. 10.
18/25
„(...)daß wir sofort zwei Systeme äquivalenter
Geschäfte erhalten, wenn wir nur in einem Komplexe
gedeckter
Geschäfte
einige
derselben
mit
entgegengesetzten Vorzeichen betrachten(...)“1
4.4.1 Konstruktion äquivalenter Geschäfte
• Komplex gedeckter Geschäfte ( Deckungsgleichungen)
• Herausnahme des gegebenen Geschäfts
• anschließend
Geschäft
mit
entgegengesetztem
Vorzeichen substituieren
• erste Gleichung nach unbekannten Größen auflösen
erhaltene System ist äquivalent zu dem gegebenem System
Beispiel: y = 200
x + 200 = 0
x+z=0
Ergebnis: 1. x = – 200, d.h. 200 Zwangsverkäufe
2. z = 200, d.h. 200 feste Käufe
3. y = 200, d.h. 200 Wahlverkäufe
gedecktes System
1
Bronzin, S. 10.
19/25
Frage: Wie lassen sich die 200 festen Käufe durch normale
Prämiengeschäfte ableiten (duplizieren)?
x+y=0
x – 200 = 0
x = 200, y = – 200
äquivalentes System
Es gilt:
Wahlverkauf + Zwangskauf
= fester Kauf
Wahlkauf
= Wahlverkauf
+ fester Verkauf
Wahlverkauf + fester Kauf
= Wahlkauf
4.5 Beurteilung von Bronzins Theorie
• Keine explizite Einführung des Konzepts der Arbitrage
• Kassakurs = Terminkurs
- Möglichkeit zur Arbitrage wäre gegeben
- Arbitrageur wird Leerverkauf eingehen
- gleichzeitiger Kauf des Vermögenswerts am
Terminmarkt zum gleichen Preis
- verzinsliche
Anlage
des
Verkaufserlös,
Zinsen
entsprechen dem Gewinn
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• Keine Angabe über die Herkunft des notwendigen
Kapitals.
- Bei Eigenkapital würden Opportunitätskosten anfallen
- Bei Fremdkapital würden Fremdkapitalkosten anfallen
5. Umwandlung von Prämiengeschäften, Sommerfeld
(1926)
Sommerfeld hat herausgefunden,
1.
„daß die Kombination eines Prämiengeschäfts mit einem
festen Geschäft ein Prämiengeschäft ergibt, während die
Kombination
zweier
Prämiengeschäfte
(ein
Stillhaltergeschäft + ein Geschäft mit Wahlrecht) ein
festes Geschäft ergibt.“1
Duplikation
2.
dass bei der Kombination eines Prämiengeschäfts mit
einem Festgeschäft, die Basis des entstehenden
Engagements gleich bleibt und die neue Prämie dem
Ekart entspricht.
1
Sommerfeld, H.: Börsenverkehr und Börsengeschäfte, in: Die Handelshochschule- Lehrbuch
der Wissenschaften, Bd. 1, Kapitel 7, Hrsg. F. Schmidt, Berlin 1926, S.1701.
21/25
5.1 Beispiel 1: Kombination eines Prämiengeschäfts mit
einem festen Geschäft
• Abschluss eines Verkaufs mit Rückprämie zu 152/2
• Entgegen der Erwartung steigen die Kurse
• Abschluss eines festen Kaufs des entsprechenden
Basiswerts zu 155
• Kurs am Fälligkeitsdatum ist 158
• Vorgehensweise:
1. Zahlung der vereinbarten Prämie von 2%
2. Verkauf der zu 155 gekauften Wertpapiere zum Preis
von 158
3. Restgewinn = 1%
• Entstehende Engagement entspricht einem Kauf mit
Vorprämie zu 157/3
-
3% Prämie ergeben sich daraus, dass Anleger bei
fallendem Kurs das Rückprämiengeschäft zu
152% erfüllen würde
-
Verkauf der zu 155% fix gekauften Wertpapiere
• Verlust auf 3% begrenzt
• Gewinnmöglichkeit bei steigenden Kursen unbegrenzt
• Schreibweise Sommerfeld:
Vk Rp 152/2 + Kf fest 155 = Kf Vp 157/3
22/25
5.2 Mathematische Herleitung des Vorprämienkurses
B = Prämienbasis aus dem Rückprämiengeschäft = 154
Q = Rückprämie = 2
R = Rückprämienkurs = 152
F = Fixkurs, zu dem der feste Kauf abgeschlossen wurde =
155
P = Vorprämie des entstehenden Engagements (= Ekart) = 3
V = Vorprämienkurs des entstehenden Engagements
V=B+P
B=R+Q
P=F–R
V=R+Q+F–R
V = Q + F = 2 + 155 = 157
Auszahlung in t0
Verkauf mit Rückprämie
Fester Kauf
Kauf mit Vorprämie
Auszahlung in t = T
St > B
St ≤ B
0
0
0
Q=2
F = 155
V = 157
V=Q+F
Q+F–V=0
R = 152
F = 155
P=3
P=F–R
F–R–P=0
Quelle: eigene Ausarbeitung
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5.3 Beurteilung von Sommerfelds Theorie?
• Theorie wird konsequent auf das Termingeschäft
angewandt
• Prämienzahlung erfolgt erst bei Fälligkeit und nicht bei
Abschluss des Geschäfts
• keine
Arbitragemöglichkeit
zwischen
Kassa-
und
Terminmarkt!
• Anleger muss nur Vor- und Rückprämien von Geschäften
mit gleicher Basis vergleichen und das günstigere
abschließen
• es wurde keine Beziehung zwischen Vorprämie und
Rückprämie hergeleitet
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Verhältnis von Vorprämie zur Rückprämie
V = Q + F und V = B + P
P=V–B
P=Q+F–B
Die Vorprämie entspricht der Rückprämie zzgl. dem Kurs für
Festgeschäfte abzgl. der Prämienbasis.
Annahme: B ≈ Kurs der Aktie in t01
F = B * (1 + i)
P = Q + B * (1 + i) – B
aufgezinster Basispreis
P=Q+B*i
Annahme: i = 0
P=Q
Ergebnis, zu dem auch Bronzin gekommen ist!
1
Sommerfeld, S. 1689.
25/25