Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2

Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung
Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2
Blatt 1
SS 11
PD. Dr. J. Schürmann
Abgabe: Freitag, 15.04.2011, 13:00 Uhr
Aufgabe 1 (mündlich): Für eine Laplace-Verteilung (Ω, p) gelten die folgenden Eigenschaften:
(i) Für alle Teilmengen E ⊂ Ω gilt 0 ≤ p(E) ≤ 1.
(ii) Es gilt p(∅) = 0 und p(Ω) = 1.
(iii) Für zwei Teilmengen E1 , E2 ⊂ Ω mit E1 ∩ E2 = ∅ gilt p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 ) + p(E2 ).
Zeigen Sie mit diesen Eigenschaften die folgenden Rechenregeln:
a) Für alle Teilmengen E ⊂ Ω gilt p(Ω\E) = 1 − p(E).
b) Für zwei Teilmengen E1 , E2 ⊂ Ω mit E1 ⊂ E2 gilt p(E1 ) ≤ p(E2 ).
c) Für zwei Teilmengen E1 , E2 ⊂ Ω gilt p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 ) + p(E2 ) − p(E1 ∩ E2 ).
d) Für alle Teilmengen E1 , E2 , . . . , Em ⊂ Ω gilt
p(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ Em ) ≤ p(E1 ) + p(E2 ) + · · · + p(Em ) .
Lösung: Wir benutzen im folgenden von (i) nur die Nichtnegativität 0 ≤ p(E) und von (ii) nur
die Normierung p(Ω) = 1, sowie die Additivität (iii).
a) Es ist E ∪ E c = Ω und E ∩ E c = ∅, wobei E c := Ω\E das Komplement von E bezeichne.
Somit ergibt sich
(ii)
(iii)
1 = p(Ω) = p(E) + p(E c )
⇒
p(E c ) = 1 − p(E) .
Insbesondere ist p(∅) = p(Ωc ) = 1 − p(Ω) = 0.
b) Aus E1 ⊂ E2 ⊂ Ω folgt die disjunkte Zerlegung
E2 = E1 ] (E2 \E1 )
⇒
(iii)
(i)
p(E2 ) = p(E1 ) + p(E2 \E1 ) ≥ p(E1 ) .
Insbesondere folgt aus E ⊂ Ω: p(E) ≤ P (Ω) = 1.
c) Man hat die disjunkten Zerlegungen
E1 = (E1 \(E1 ∩ E2 )) ] (E1 ∩ E2 )
und E2 = (E2 \(E1 ∩ E2 )) ] (E1 ∩ E2 ) .
Aus (iii) folgt somit
p(E1 ) = p(E1 \(E1 ∩ E2 )) + p(E1 ∩ E2 )
und p(E2 ) = p(E2 \(E1 ∩ E2 )) + p(E1 ∩ E2 ) .
Dann ergibt sich aus der disjunkten Zerlegung
E1 ∪ E2 = (E1 \(E1 ∩ E2 )) ] (E2 \(E1 ∩ E2 )) ] (E1 ∩ E2 )
wiederum mit (iii):
p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 \E1 ∩ E2 ) + p(E2 \E1 ∩ E2 ) + p(E1 ∩ E2 )
= (p(E1 ) − p(E1 ∩ E2 )) + (p(E2 ) − p(E1 ∩ E2 )) + p(E1 ∩ E2 )
= p(E1 ) + p(E2 ) − p(E1 ∩ E2 ) .
d) Aus der disjunkten Zerlegung
E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ Em = E1 ] (E2 \E1 ) ] (E3 \(E1 ∪ E2 )) ] · · · ] (Em \(E1 ∪ · · · ∪ Em−1 ))
ergibt sich:
(iii)
p(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ Em ) = p(E1 ) + p(E2 \E1 ) + · · · + p(Em \(E1 ∪ · · · ∪ Em−1 ))
b)
≤ p(E1 ) + p(E2 ) + · · · + p(Em ) .
Aufgabe 2: Beim Roulette wird eine Kugel geworfen, welche die Werte 0, 1, 2, . . . , 36 annehmen kann, wobei die Werte 1, 2, . . . , 36 in gleich viele rote und schwarze Zahlen aufgeteilt sind.
Die Zahl 0 spielt eine Sonderrolle und hat deswegen eine andere Farbe. Jeder dieser Werte ist
gleichwahrscheinlich. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
a) Es wird eine rote Zahl geworfen.
b) Es wird keine 0 geworfen.
c) Es wird eine Zahl zwischen 1, . . . , 12 oder 25, . . . , 36 geworfen.
Lösung: Die Grundmenge ist Ω = {0, 1, . . . , 36} mit |Ω| = 37. Da alle Zahlen gleichwahrschein1
für alle i = 0, 1, . . . , 36.
lich sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment mit p(i) = 37
a) Das gesuchte Ereignis ist E = {rote Zahl} mit |E| = 18. Somit ist p(E) =
18
37 .
b) Das gesuchte Ereignis E = {keine 0} ist das Gegenteil von E c = {0} mit |E c | = 1. Somit
1
36
ist p(E) = 1 − p(E c ) = 1 − 37
= 37
.
c) Das gesuchte Ereignis E = E1 ] E2 ist die disjunkte Vereinigung der Ereignisse E1 =
{1, . . . , 12} und E2 = {25, . . . , 36} mit |E1 | = |E2 | = 12. Somit ist p(E) = p(E1 ) + p(E2 ) =
12
12
24
37 + 37 = 37 .
Aufgabe 3: Sie würfeln mit zwei verschiedenen Würfeln in einem Würfelbecher. Bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
a) Bei einem Wurf genau die Augensumme 3 oder 4 zu erzielen.
b) Bei drei Würfen jeweils nur einen Viererpasch zu würfeln.
c) Bei 10 Würfen mindestens einen Sechserpasch zu erhalten.
Lösung: Die Grundmenge für einmal würfeln mit zwei verschiedenen Würfeln in einem Würfelbecher ist Ω0 = {1, . . . , 6}2 = {(1, 1), . . . , (6, 6)} mit |Ω0 | = 62 = 36. Die Grundmenge für
n-maliges würfeln mit zwei verschiedenen Würfeln in einem Würfelbecher (n ∈ N) ist dann
Ω = Ωn0 = {((ω1 , ω2 )1 , . . . , (ω1 , ω2 )n )| (ω1 , ω2 )i ∈ Ω0 für i = 1, . . . , n } ,
mit |Ω| = |Ω0 |n = 36n = 62n . Es handelt sich wieder um ein Laplace-Experiment.
a) Das gesuchte Ereignis ist E = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)} mit |E| = 5. Somit ist
5
p(E) = 36
.
b) Hier ist n = 3 mit E = {((4, 4), (4, 4), (4, 4))} und |E| = 1, also p(E) =
1
363
=
1
.
66
c) Hier ist n = 10 und das Gegenteil von E ist E c = {kein Sechserpasch}, mit |E c | =
35 10
3510
(36 − 1)10 = 3510 . Somit ist p(E) = 1 − p(E c ) = 1 − 36
.
10 = 1 − ( 36 )
2