Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2 Blatt 1 SS 10 PD. Dr. J. Schürmann Abgabe: Freitag, 23.04.2010, 13:00 Uhr Aufgabe 1 (mündlich): Für eine Laplace-Verteilung (Ω, p) gelten die folgenden Eigenschaften: (i) Für alle Teilmengen E ⊂ Ω gilt 0 ≤ p(E) ≤ 1. (ii) Es gilt p(∅) = 0 und p(Ω) = 1. (iii) Für zwei Teilmengen E1 , E2 ⊂ Ω mit E1 ∩ E2 = ∅ gilt p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 ) + p(E2 ). Zeigen Sie mit diesen Eigenschaften die folgenden Rechenregeln: a) Für alle Teilmengen E ⊂ Ω gilt p(Ω\E) = 1 − p(E). b) Für zwei Teilmengen E1 , E2 ⊂ Ω mit E1 ⊂ E2 gilt p(E1 ) ≤ p(E2 ). c) Für zwei Teilmengen E1 , E2 ⊂ Ω gilt p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 ) + p(E2 ) − p(E1 ∩ E2 ). d) Für alle Teilmengen E1 , E2 , . . . , Em ⊂ Ω gilt p(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ Em ) ≤ p(E1 ) + p(E2 ) + · · · + p(Em ) . Lösung: Wir benutzen im folgenden von (i) nur die Nichtnegativität 0 ≤ p(E) und von (ii) nur die Normierung p(Ω) = 1, sowie die Additivität (iii). a) Es ist E ∪ E c = Ω und E ∩ E c = ∅, wobei E c := Ω\E das Komplement von E bezeichne. Somit ergibt sich (ii) (iii) 1 = p(Ω) = p(E) + p(E c ) ⇒ p(E c ) = 1 − p(E) . Insbesondere ist p(∅) = p(Ωc ) = 1 − p(Ω) = 0. b) Aus E1 ⊂ E2 ⊂ Ω folgt die disjunkte Zerlegung E2 = E1 ] (E2 \E1 ) ⇒ (iii) (i) p(E2 ) = p(E1 ) + p(E2 \E1 ) ≥ p(E1 ) . Insbesondere folgt aus E ⊂ Ω: p(E) ≤ P (Ω) = 1. c) Man hat die disjunkten Zerlegungen E1 = (E1 \(E1 ∩ E2 )) ] (E1 ∩ E2 ) und E2 = (E2 \(E1 ∩ E2 )) ] (E1 ∩ E2 ) . Aus (iii) folgt somit p(E1 ) = p(E1 \(E1 ∩ E2 )) + p(E1 ∩ E2 ) und p(E2 ) = p(E2 \(E1 ∩ E2 )) + p(E1 ∩ E2 ) . Dann ergibt sich aus der disjunkten Zerlegung E1 ∪ E2 = (E1 \(E1 ∩ E2 )) ] (E2 \(E1 ∩ E2 )) ] (E1 ∩ E2 ) wiederum mit (iii): p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 \E1 ∩ E2 ) + p(E2 \E1 ∩ E2 ) + p(E1 ∩ E2 ) = (p(E1 ) − p(E1 ∩ E2 )) + (p(E2 ) − p(E1 ∩ E2 )) + p(E1 ∩ E2 ) = p(E1 ) + p(E2 ) − p(E1 ∩ E2 ) . d) Aus der disjunkten Zerlegung E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ Em = E1 ] (E2 \E1 ) ] (E3 \(E1 ∪ E2 )) ] · · · ] (Em \(E1 ∪ · · · ∪ Em−1 )) ergibt sich: (iii) p(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ Em ) = p(E1 ) + p(E2 \E1 ) + · · · + p(Em \(E1 ∪ · · · ∪ Em−1 )) b) ≤ p(E1 ) + p(E2 ) + · · · + p(Em ) . Aufgabe 2: Beim Roulette wird eine Kugel geworfen, welche die Werte 0, 1, 2, . . . , 36 annehmen kann, wobei die Werte 1, 2, . . . , 36 in gleich viele rote und schwarze Zahlen aufgeteilt sind. Die Zahl 0 spielt eine Sonderrolle und hat deswegen eine andere Farbe. Jeder dieser Werte ist gleichwahrscheinlich. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) Es wird eine rote Zahl geworfen. b) Es wird keine 0 geworfen. c) Es wird eine Zahl zwischen 1, . . . , 12 oder 25, . . . , 36 geworfen. Lösung: Die Grundmenge ist Ω = {0, 1, . . . , 36} mit |Ω| = 37. Da alle Zahlen gleichwahrschein1 für alle i = 0, 1, . . . , 36. lich sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment mit p(i) = 37 a) Das gesuchte Ereignis ist E = {rote Zahl} mit |E| = 18. Somit ist p(E) = 18 37 . b) Das gesuchte Ereignis E = {keine 0} ist das Gegenteil von E c = {0} mit |E c | = 1. Somit 1 36 ist p(E) = 1 − p(E c ) = 1 − 37 = 37 . c) Das gesuchte Ereignis E = E1 ] E2 ist die disjunkte Vereinigung der Ereignisse E1 = {1, . . . , 12} und E2 = {25, . . . , 36} mit |E1 | = |E2 | = 12. Somit ist p(E) = p(E1 ) + p(E2 ) = 12 12 24 37 + 37 = 37 . Aufgabe 3: Sie würfeln mit zwei verschiedenen Würfeln in einem Würfelbecher. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) Bei einem Wurf genau die Augensumme 3 oder 4 zu erzielen. b) Bei drei Würfen jeweils nur einen Viererpasch zu würfeln. c) Bei 10 Würfen mindestens einen Sechserpasch zu erhalten. Lösung: Die Grundmenge für einmal würfeln mit zwei verschiedenen Würfeln in einem Würfelbecher ist Ω0 = {1, . . . , 6}2 = {(1, 1), . . . , (6, 6)} mit |Ω0 | = 62 = 36. Die Grundmenge für n-maliges würfeln mit zwei verschiedenen Würfeln in einem Würfelbecher (n ∈ N) ist dann Ω = Ωn0 = {((ω1 , ω2 )1 , . . . , (ω1 , ω2 )n )| (ω1 , ω2 )i ∈ Ω0 für i = 1, . . . , n } , mit |Ω| = |Ω0 |n = 36n = 62n . Es handelt sich wieder um ein Laplace-Experiment. a) Das gesuchte Ereignis ist E = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)} mit |E| = 5. Somit ist 5 p(E) = 36 . b) Hier ist n = 3 mit E = {((4, 4), (4, 4), (4, 4))} und |E| = 1, also p(E) = 1 363 = 1 . 66 c) Hier ist n = 10 und das Gegenteil von E ist E c = {kein Sechserpasch}, mit |E c | = 35 10 3510 (36 − 1)10 = 3510 . Somit ist p(E) = 1 − p(E c ) = 1 − 36 . 10 = 1 − ( 36 ) 2