Mengen, Funktionen und Logik - WWZ

Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum
Universität Basel
Mathematik für Ökonomen 1
Dr. Thomas Zehrt
Mengen, Funktionen und Logik
Literatur
Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 1, 17. Auflage, Sankt Gallen, Verlag Wilhelm Surbir , Seiten 174-189
2
1
Mengen
Zunächst wollen wir einige grundlegende Begriffe einführen und erläutern. Nach G. Cantor (1845-1918) versteht man unter einer Menge M die Zusammenfassung verschiedener
Objekte zu einer Gesamtheit. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge dieser Objekte
an. Ist m ein Element einer Menge M so schreiben wir m ∈ M, sonst m 6∈ M.
1.1
Definition von Mengen
1. Aufzählen der Elemente
Beispiele
2. Zusammenfassungsprinzip: Ist E eine Eigenschaft und m ein Element der Menge
M, dann bedeutet die Bezeichnung E(m), dass auf m die Eigenschaft E zutrifft.
Die Menge der Elemente m ∈ M, die die Eigenschaft E(m) haben, wird dann
mit {m ∈ M | E(m)} bezeichnet. Die Menge M wird auch als Universalmenge
bezeichnet.
Beispiele
Eine spezielle Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Diese Menge die leere Menge
genannt und mit ∅ bezeichnet.
3
Kartesisches Produkt und Potenzmenge
1. Kartesisches Produkt Sind M1 und M2 Mengen, so ist das kartesische Produkt
dieser beiden Mengen die Menge aller geordneter Paare, die sich aus Elementen
dieser Mengen bilden lassen oder kurz:
M1 × M2 = { (m1 , m2 ) | m1 ∈ M1 und m2 ∈ M2 }
Der Begriff lässt sich unmittelbar auf endlich viele Mengen M1 , M2 , . . . , Mn folgendermassen übertragen:
M1 × M2 × . . . × Mn = { (m1 , m2 , . . . , mn ) : mj ∈ Mj für j = 1, 2, . . . , n }.
Im Falle M1 = M2 = . . . = Mn = M schreibt man auch M n für M × M × . . . × M.
Beispiele
(a) R2
(b) R3
(c) R × N
2. Potenzmenge Sei M eine beliebige Menge. Dann ist die Potenzmenge P(M) von
M als die Menge aller Teilmengen von M definiert, also
P(M) = { A | A ⊆ M }.
Dabei ist zu beachten, dass die leere Menge ebenfalls als Teilmenge von M aufgefasst
wird: ∅ ⊆ M.
Beispiele
(a) M = { 1, 2 } und somit P(M) =
(b) M = { 1, 2, 3 } und somit P(M) =
4
1.2
Mengenalgebra
Ist M eine Menge, so heisst eine Menge A Teilmenge von M, wenn aus a ∈ A stets a ∈ M
folgt. Wir bezeichnen das durch A ⊆ M. Nun wollen wir die folgenden Mengenoperationen
behandeln.
1. Komplement Ist A eine Teilmenge der Menge M, so bezeichnet
A = { m ∈ M | m 6∈ A }
das Komplement von A in M.
1111
0000
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000
1111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000
1111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000
1111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000
1111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000
1111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000
1111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
000000000000
111111111111
0000
1111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
000000000000
111111111111
0000
1111
000000000000
111111111111
0000
1111
000000000000
111111111111
0000
1111
000000000000
111111111111
0000
1111
000000000000
111111111111
A
0000
1111
000000000000
111111111111
0000
1111
000000000000
111111111111
0000
1111
000000000000
111111111111
0000
1111
000000000000
111111111111
0000
1111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000
111111111111
0000
1111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000
111111111111
0000
1111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000
111111111111
0000
1111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000
111111111111
0000
1111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000
111111111111
0000
1111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000
111111111111
0000
1111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000
111111111111
0000
1111
000000000000
111111111111
M
2. Durchschnitt Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet
A ∩ B = { m ∈ M | m ∈ A und m ∈ B }
den Durchschnitt von A und B.
A
1111111111
0000000000
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
M
B
5
3. Vereinigung Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet
A ∪ B = { m ∈ M | m ∈ A oder m ∈ B }
die Vereinigung von A und B.
11111111111111111
00000000000000000
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
1111111111
000000000
111111111
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
1111111111
000000000
111111111
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
1111111111
000000000
111111111
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
1111111111
000000000
111111111
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
1111111111
000000000
111111111
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
1111111111
000000000
111111111
A
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
1111111111
000000000
111111111
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
1111111111
000000000
111111111
B
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
1111111111
000000000
111111111
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
1111111111
000000000
111111111
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
1111111111
000000000
111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
M
4. Differenz Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet
B − A = B/A = { m ∈ M | m ∈ B und m 6∈ A }
die Differenz.
A
11111111111111111
00000000000000000
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
B
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
M
Satz 1 Für das Rechnen mit Mengen A, B, C ⊆ M gelten die folgenden Regeln:
A∪B
A∩B
A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (B ∩ C)
A ∩ (B ∪ C)
A ∪ (B ∩ C)
A∪B
A∩B
=
=
=
=
=
=
=
=
B∪A
B∩A
(A ∪ B) ∪ C
(A ∩ B) ∩ C
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A∩B
A ∪ B.
6
1.3
Relationen
Sei M eine beliebige Menge. Eine Relation R auf M ist eine Teilmenge des kartesischen
Produktes M × M, d.h. R ⊂ M × M.
Schreibweise: aRb oder a R b falls (a, b) ∈ R gilt.
Aufgabe 1.1 Sei M die Menge der Geldbeträge 1000.−, 500.− und 100.−, also M =
{1000, 500, 100}. Geben Sie eine Relation an, die Ihrer Präferenz bezüglich dieser Menge
entspricht.
Aufgabe 1.2 Sei M die Menge der folgenden Notenpaare (6, 6), (3.6, 4.4) und (3.4, 6)
wobei die erste Zahl die Klausurnote im Fach Mathematik 1 und die zweite Zahl die
Klausurnote im Fach Mathematik 2 ist. Geben Sie eine Relation an, die Ihrer Präferenz
bezüglich dieser Menge entspricht.
7
Relationen können eine Vielzahl von Eigenschaften haben. Wir wollen hier nur drei besonders wichtige genauer betrachten. Eine Relation R auf der Menge M heisst
1. reflexiv, falls für alle a ∈ M auch a R a gilt.
2. transitiv, falls für a, b, c ∈ M mit a R b und b R c auch a R c gilt.
3. zusammenhängend, falls für a, b ∈ M mit a 6= b stets a R b oder b R a gilt.
Aufgabe 1.3 Überprüfen Sie, ob die beiden obigen Relationen die drei Eigenschaften
haben.
8
1.4
Wichtige Teilmengen von R
Intervalle
(a, b)
(a, b]
[a, b)
[a, b]
=
=
=
=
{x∈R|a<x<b}
{x∈R|a<x≤b}
{x∈R|a≤x<b}
{x∈R|a≤x≤b}
ǫ-Umgebungen von Punkten
Sei a eine reelle Zahl und ǫ > 0. Dann ist die ǫ-Umgebung von a die Menge
Uǫ (a) = { x ∈ R | Abstand von x zu a ist kleiner als ǫ } = { x ∈ R | |x − a| < ǫ }
Beispiele
1. a = 0 und ǫ = 1
2. a = 1 und ǫ = 3
3. a = −2 und ǫ = 2
1.5
Wichtige Teilmengen von R2
Produkte von Intervallen
(a, b) × (c, d) = { (x, y) ∈ R2 | a < x < b und c < y < d }
Beispiele
1. (1, 2) × (3, 4)
2. [−1, 2) × (0, 3]
9
ǫ-Umgebungen von Punkten
Sei P ein Punkt und ǫ > 0. Dann ist die ǫ-Umgebung von P die Menge
Uǫ (P ) = { Q ∈ R2 | Abstand von P zu Q ist kleiner als ǫ }
= { Q ∈ R2 | ||P − Q|| < ǫ }
Beispiele
1. P = (0, 0) und ǫ = 1
2. P = (1, 2) und ǫ = 3
10
Verbindungsstrecken Seien P1 = (x1 , y1) und P2 = (x2 , y2 ) zwei Punkte in R2 . Dann
ist die Verbindungsstrecke P1 P2 dieser beiden Punkte die Menge
P1 P2 = { P = t · P1 + (1 − t) · P2 | t ∈ [0, 1] }
Beispiele
1. P1 = (1, 2) und P2 = (3, 4)
P1 P2 =
2. P1 = (−3, 2) und P2 = (4, 0)
P1 P2 =
11
Kurven im R2 Kurven lassen sich im R2 meist als Nullstellengebilde einer Funktion
φ(x, y) in den zwei Veränderlichen x und y schreiben. Wir suchen also alle Punkte (x, y)
die von der Funktion φ auf Null abgebildet werden. Die Kurve K schreibt sich dann als
K = { (x, y) ∈ R2 | φ(x, y) = 0 }
Beispiele
1. K = { (x, y) ∈ R2 | φ(x, y) = x − y = 0 }
2. K = { (x, y) ∈ R2 | φ(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0 }
3. K = { (x, y) ∈ R2 | φ(x, y) = x2 − y − 1 = 0 }
4. K = { (x, y) ∈ R2 | φ(x, y) = x2 − y + 1 = 0 }
12
Konvexe Mengen Eine Teilmenge M ⊂ R2 heisst konvex, falls für alle Punkte P1 =
(x1 , y1 ) ∈ M und P2 = (x2 , y2 ) ∈ M auch die gesamte Verbindungsstrecke P1 P2 in M
liegt.
konvex
nicht konvex
Beispiele
1. Die Menge { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1 } ist konvex.
2. Die Menge ((−1, 1) × (−1, 1)) ∪ ((3, 4) × (3, 4)) ist nicht konvex.
3. Die Menge { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 > 1 } ist nicht konvex.
13
1.6
Randpunkte und innere Punkte
Wir betrachten eine beliebige Teilmenge M von R oder R2 . Ein Punkt x heisst Randpunkt
von M, falls jede ǫ-Umgebung von x sowohl Punkte aus M als auch aus dem Komplement
M von M enthält. Ein Punkt von M der kein Randpunkt ist, heisst innerer Punkt von
M.
Aufgabe 1.4 Sei M = [1, 3) ⊂ R. Sind die Punkte x = 3 bzw. x = 2 Randpunkte von
M?
Aufgabe 1.5 Sei M = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1 } ⊂ R. Sind die Punkte (0, 1) bzw.
(0, 0) Randpunkte von M?
14
2
2.1
Funktionen
Definitionen und Beispiele
Wird jedem Element x einer Menge X (Definitionsbereich) genau ein Element y einer
Menge Y (meist ist Y = R die Menge der reellen Zahlen) zugeordnet, so heisst die
Zuordnung Funktion.
X
Y
x1
f(x1) = f(x2)
x2
f(x3)
x3
f(x4)
x4
Die Menge
W = {y ∈ Y | f (x) = y für ein x ∈ X}
heisst Wertebereich oder Bildbereich.
Schreibweise:
f : X −→ Y
x 7−→ f (x)
oder f : x 7−→ f (x)
Wichtig!
Wir wollen uns angewöhnen, zwischen der Funktion f und f (x) stets zu unterscheiden:
f
die Funktion, d.h. eine Vorschrift,
die jedem Element einer Menge
genau ein Element einer anderen
Menge zuordnet.
f (x)
Wert der Funktion f an der Stelle x,
d.h. f (x) ist ein Element der Menge Y .
15
Beispiele:
1. X = {1, 2, 3, 4} und Y = {1, 2, 3}
f :X
1
2
3
4
−→
7−→
7−→
7−→
7−→
Y
1 = f (1)
1 = f (2)
2 = f (3)
2 = f (4)
Bildmenge von f : f (X) = {1, 2}
1
1
2
2
3
3
4
X
Y
2. X = N und Y = R
f : N −→ R
i 7−→ 2 · i
Bildmenge von f : f (X) = 2 · N (Menge aller geraden Zahlen)
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
X
Y
16
3. X = R × R
Y =R
f : R × R −→ R
(x1 , x2 ) 7−→ x1 · x2
−1
0
1
Y
X
1
−1
1
4. Sei X die Menge aller Teilnehmer der Vorlesung Mathematik 1 für Ökonomen, d.h.
X = {T. Zehrt, . . .} und Y die Menge aller Haarfarben, also
Y = { blond, braun, schwarz, rot, grau }.
Die Funktion f bilde jeden Teilnehmer der Vorlesung auf seine Haarfarbe ab, d.h.
f : X −→ Y
x 7−→ Haarfarbe von x
Ist die Funktion f injektiv, surjektiv und/oder bijektiv?
17
Stückweise Definition von (reellen) Funktionen Funktionen können auch stückweise
definiert werden.
Beispiele: Skizzieren Sie die auf ganz R definierten Funktionen.

 5
f (x) =
x2 + 5

0.5x + 8
g(x) =
x2
42
für x < 0
für x ∈ [0, 2]
für x > 2
für x 6= 0
für x = 0
18
2.2
Eigenschaften von Funktionen
Injektive Funktionen Eine Funktion heisst eineindeutig oder injektiv, wenn verschiedene x1 , x2 ∈ X stets auf verschiedene Werte im Bildbereich abgebildet werden oder kurz
ausgedrückt:
• Für alle x1 , x2 ∈ X mit x1 6= x2 muss f (x1 ) 6= f (x2 ) gelten; oder
• für alle x1 , x2 ∈ X mit f (x1 ) = f (x2 ) muss x1 = x2 gelten.
X
X
Y
Y
Injektiv: auf jedes Element in Y zeigt höchstens ein Pfeil!!
Beispiele:
•
f : R −→ R
x 7−→ x2
ist nicht injektiv, denn z.B. gilt −2 6= 2 aber f (−2) = 4 = f (2).
•
f : R −→ R
x 7−→ 2x + 3
ist injektiv, denn für alle x1 , x2 ∈ R gilt
f (x1 )
=
f (x2 )
⇔ 2x1 + 3 =
2x2 + 3
⇔ x1
x2
=
19
Surjektive Funktionen Eine Funktion heisst surjektiv, falls für jedes Element y ∈ Y
(mindestens) ein Element x ∈ X existiert, so dass f (x) = y gilt.
X
Y
X
Y
Surjektiv: auf jedes Element in Y zeigt mindestens ein Pfeil!!
Bijektive Funktionen Eine Funktion heisst bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist.
X
Y
Bijektiv: auf jedes Element in Y zeigt genau ein Pfeil!!
20
2.3
Der Graph einer Funktion
Betrachten wir eine Funktionen f : X −→ Y , so wird die Menge
{ (x, f (x)) | x ∈ X }
⊂X ×Y
als der Graph von f bezeichnet.
3
2
1
y 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
-2
-3
Beispiele: Skizzieren Sie die Graphen der folgenden beiden Funktionen.
1. X = {1, 2, 3, 4} und Y = {1, 2, 3}
f :X
1
2
3
4
−→
7−→
7−→
7−→
7−→
Y
1 = f (1)
1 = f (2)
2 = f (3)
2 = f (4)
2. X = N und Y = R
f : N −→ R
i 7−→ 2 · i
21
2.4
Die Umkehrfunktion
Wir betrachten eine injektive Funktion f , d.h. insbesondere, dass zu jedem y des Wertebereichs von f genau ein x des Definitionsbereiches von f mit der Eigenschaft y = f (x)
existiert.
Somit können wir die Umkehrfunktion f −1 von f definieren, die jedem Element y des
Wertebereichs von f dieses eindeutig bestimmte Element x zuordnet.
Bezeichnung: x = f −1 (y) bzw. nach Vertauschung der Variablen y = f −1 (x).
Beispiel:
f : R − {−2} −→ R
3x + 4
x 7−→
x+2
oder kurz:
3x + 4
x+2
y = f (x) =
Konstruktion von f −1 (Auflösen nach x)
=
3x + 4
x+2
=
3x + 4
⇔ xy − 3x =
4 − 2y
⇔ x
4 − 2y
y−3
y
⇔ xy + 2y
=
Also:
f −1 : R − {3} −→ R
4 − 2y
y 7−→
y−3
Wendet man auf ein x zunächst eine umkehrbare Funktion f an und danach die Umkehrfunktion f −1 (auf f (x)), so erhält man wieder x zurück.
f −1 (f (x)) = x
f (f −1 (y)) = y
22
Beispiel:
y = f (x) =
3x + 4
x+2
x = f −1 (y) =
4 − 2y
y−3
Es gilt:
3x + 4
4−2
4
−
2f
(x)
x + 2 = x.
f −1 (f (x)) =
=
3x + 4
f (x) − 3
−3
x+2
2.5
Zusammengesetzte Funktionen
Seien
g : X −→ U
x 7−→ g(x)
f : U −→ Y
u 7−→ f (u)
zwei Funktionen, so dass der Wertebereich von g im Definitionsbereich von f enhalten
ist. Dann kann man aus beiden Funktionen die so genannte zusammengesetzte Funktion
oder Komposition von f und g bilden:
F = f ◦ g : X −→ Y
x 7−→ f (g(x))
Natürlich ist F auf dem Definitionsbereich von g definiert
Es gilt ausserdem: Sind f und g umkehrbar, so ist auch die Komposition f ◦ g umkehrbar
und es gilt
(f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1
23
X
U
Y
F
y=f(g(x))
x
f
u=g(x)
g
g
X
f
U
Y
g −1
f −1
An der Skizze lässt sich leicht erkennen, warum sich die Reihenfolge der Abbildungen
beim Umkehren ändert.
Beispiel:
Die Funktion
f (x) =
3
x2 + 4
kann als Komposition der folgenden Funktionen betrachtet werden:
• u = f1 (x) = x2 , das Element x wird quadriert.
• v = f2 (u) = u + 4, zum Ergebnis wird 4 addiert.
• w = f3 (v) = 1/v, der Kehrwert wird gebildet.
• y = f4 (w) = 3 · w, das Ergebnis wird mit 3 multipliziert.
f (x) = f4 ( f3 ( f2 ( f1 (x) ) ) ) .
| {z }
| {zu }
|
{zv
}
w
|
{z
}
y
24
3
Logik: Häufig gemachte Fehler
Auf die Entwicklung des mathematischen Apparates der formalen Logik werden wir hier
verzichten und nur auf die häufigsten Fehler eingehen, denen ich (nicht nur in der Mathematik) regelmässig begegne.
3.1
Unzulässiges Verallgemeinern
Nachdem man einige wenige (oder sogar sehr viele) Einzelfälle geprüft hat, behauptet
man, dass die dort gefundene Eigenschaft stets gilt.
Beispiel 1: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Zahlenfolge an ist streng
monoton fallend, falls für alle n > 0 die Relation an > an+1 gilt.
Um zu beweisen, dass die Zahlenfolge an = n3 − 100n streng monoton fallend ist, werden
einige Folgenglieder ausgerechnet:
a1 = 13 − 100 = −99
a2 = 23 − 200 = −192
a3 = 33 − 300 = −273
Die Folge ist also streng monoton fallend!?????
Ist die Folge streng monoton fallend?
Beispiel 2: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Funktion f heisst auf
dem Intervall [a, b] streng monoton wachsend, falls für alle Paare x1 , x2 ∈ [a, b] mit x1 < x2
auch f (x1 ) < f (x2 ) gilt.
Um zu beweisen, dass die Funktion f (x) = x3 −x2 auf dem Intervall [−2, 2] streng monoton
wachsend ist, berechnen wir die beiden Werte
f (−2) = −12
f (2) = 4
und da f (−2) = −12 < f (2) = 4 ist, muss die Funktion streng monoton wachsend
sein!?????
Ist die Funktion streng monoton wachsend?
25
3.2
Falsche Negation von All-Aussagen
Beispiel: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Funktion f heisst auf dem
Intervall [a, b] streng monoton wachsend, falls für alle Paare x1 , x2 ∈ [a, b] mit x1 < x2
auch f (x1 ) < f (x2 ) gilt.
Wann ist eine Funktion nicht streng monoton wachsend? Da das Gegenteil von ,,für alle,,
doch sicher ,,für kein,, ist, sollte doch eine Funktion nicht streng monoton wachsend sein,
wenn für kein Paar x1 , x2 ∈ [a, b] mit x1 < x2 auch f (x1 ) < f (x2 ) gilt!??
Stimmt das?
3.3
Falsche Negation von Mindestens-Aussagen
Was ist das Gegenteil der folgenden Aussage?
Es gibt mindestens 3 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind.
Mögliche Antworten:
1. Es gibt höchstens 3 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind.
2. Es gibt höchstens 2 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind.
3. Es gibt entweder genau keine, eine oder zwei reelle Zahlen, die grösser als 5 sind.
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen
2
1.1
Definition von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Mengenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Wichtige Teilmengen von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5
Wichtige Teilmengen von R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.6
Randpunkte und innere Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Funktionen
14
2.1
Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2
Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3
Der Graph einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4
Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5
Zusammengesetzte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Logik: Häufig gemachte Fehler
24
3.1
Unzulässiges Verallgemeinern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2
Falsche Negation von All-Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3
Falsche Negation von Mindestens-Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25