GYMNASIUM CHRISTIAN-ERNSTINUM BAYREUTH

Fragen und Aufgaben zum
Grundwissen Mathematik
JGST. 6
LÖSUNGEN
1. Gib mindestens drei Eigenschaften der natürlichen Zahlen an.
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger und jede natürliche Zahl außer 1 hat einen
Vorgänger. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Jede Addition und jede Multiplikation
natürlicher Zahlen liefert wieder eine natürliche Zahl.
2. Begründe, warum unser Zahlensystem Zehnersystem heißt.
Alle Zahlen lassen sich mit den 10 Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 schreiben. 10 ist die Stufenzahl.
3. Gib alle dreistelligen Quadratzahlen an, die kleiner als 250 sind.
100,121,144,169,196,225
4. Gib die Mengen N, N0, Z, T 24 und V 9 an.
𝑵 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … }
𝑵𝟎 = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … . } 𝒁 = {… , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … }
𝑻𝟐𝟒 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟐𝟒} 𝑽𝟗 = {𝟗, 𝟏𝟖, 𝟐𝟕, 𝟑𝟔, … . }
5. Welche Eigenschaften haben Primzahlen?
Begründe, warum es keine Primzahl gibt, die auch Element der Menge V 6 ist.
Eine Primzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar.
6 selbst ist durch 2 und 3 teilbar und somit keine Primzahl. Damit sind auch alle Vielfachen
von sechs durch 2 und 3 teilbar.
6. Gib die Primfaktorzerlegung der Zahlen 140 und 525 an.
𝟏𝟒𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟓 ∙ 𝟕
𝟓𝟐𝟓 = 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟕
7. Runde die Zahlen 710 999 und 479 jeweils auf Zehner, Hunderter und Tausender.
Auf Zehner
Auf Hunderter
Auf Tausender
710999
711000
711000
711000
479
480
500
0
8. Markiere auf einem Zahlenstrahl alle Zahlen,
a) deren Betrag kleiner als 3 ist.
b) die kleiner als die Gegenzahl der kleinsten Primzahl
sind.
9. Auf den folgenden Abschnitten von Zahlengeraden sind jeweils zwei ganze Zahlen sowie die Mitte
zwischen ihnen markiert. Ergänze jeweils die fehlenden Zahlen.
a)
b)
-5
a) 2
9
c)
- 149 21
b)
0
191
1
c) z.B. -3, 3
10. Gib die Fachbegriffe für die vier Grundrechenarten an.
Addition (1. Summand, 2.Summand, Summe)
Subtraktion (Minuend, Subtrahend, Differenz)
Multiplikation (1.Faktor, 2. Faktor, Produkt)
Division (Dividend, Divisor, Quotient)
11. Entscheide jeweils, ob die Rechnung richtig oder falsch ist:
 15    15   0
b)
 5     2   3
c)
17  17  324
d) 7  7  7  7  7 4
e)
 35  4   31
f)
  65  :  13   5
g) 10  10  10
h)
5!  6  6!
i)
5 3  15
k)
5  5 12  120
m)
 2 4  16
a)
7
j)
9
6  6  22  32
16
richtig: a), b), f), g), h), j)
falsch:
c) denn 17∙17=289
d) denn 𝟕 + 𝟕 + 𝟕 + 𝟕 = 𝟒 ∙ 𝟕 = 𝟐𝟖 , 𝟕𝟒 = 𝟕 ∙ 𝟕 ∙ 𝟕 ∙ 𝟕 = 𝟐𝟒𝟎𝟏
e) denn −𝟑𝟓 − 𝟒 = −𝟑𝟗
i) denn 𝟓𝟑 = 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 = 𝟏𝟐𝟓
k) denn 𝟓 + 𝟓 ∙ 𝟏𝟐 = 𝟓 + 𝟔𝟎 = 𝟔𝟓 (Punkt vor Strich!)
m) denn – 𝟐𝟒 = −𝟏𝟔
12. Der Wert des Produkts 4 13  7 11 ist 4 004 . Gib ohne weitere Rechnung den
Wert der Produkte  4  7  13 11 und 11  14  4 13 sowie  13 0   11 4 an.
(– 𝟒) ∙ 𝟕 ∙ (−𝟏𝟑) ∙ (−𝟏𝟏) = −𝟒𝟎𝟎𝟒
(−𝟏𝟏) ∙ (−𝟏𝟒) ∙ (−𝟒) ∙ (−𝟏𝟑) = 𝟖𝟎𝟎𝟖
(−𝟏𝟑) ∙ 𝟎 ∙ (−𝟏𝟏) ∙ 𝟒 = 𝟎 (Ist ein Faktor 0, so ist der Wert des Produkts 0)
13. Gib bei den folgenden Aussagen an, ob sie wahr oder falsch sind.
Belege deine Antwort jeweils durch ein Zahlenbeispiel.
(I) Der Wert eines Produkts verdoppelt sich immer, wenn man beide Faktoren verdoppelt.
(II) Bei Potenzen können Basis und Exponent immer vertauscht werden, ohne dass sich der Wert
der Potenz ändert.
(III) Der Wert eines Quotienten halbiert sich immer, wenn man den Divisor verdoppelt.
(IV) Der Wert der Summe aus zwei dreistelligen ganzen Zahlen kann auch einstellig sein.
(V) Der Wert der Differenz zweier negativer ganzer Zahlen ist stets kleiner als der Minuend.
(I) falsch z.B. 𝟑 ∙ 𝟓 = 𝟏𝟓 , 𝟔 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟔𝟎 ≠ 𝟐 ∙ 𝟏𝟓
(II) falsch z.B. 𝟐𝟑 = 𝟖, 𝟑𝟐 = 𝟗
(III) richtig z.B. 102:17=6, 102:34=3
(IV) richtig z.B. 𝟏𝟎𝟏 + (−𝟏𝟎𝟎) = 𝟏
(V) falsch z.B. (– 𝟓) − (−𝟕) = 𝟐
14. Setzte in den folgenden Rechnungen für den # eine Zahl so ein, dass jeweils eine wahre Aussage
entsteht:
a) # : 7   3
a) -21
b)  18   #   324
b)
18
15. Berechne jeweils schrittweise den Wert des Terms
a)
c)
 145 
  56  23   29    78  683 
#:0 1
c)
c) Division durch 0 ist nicht möglich

 
b) 10  10 2  10 : 10  10 6 : 10 5
 288  4   5  2 402  1756  : 14 ; gib auch einen Rechenbaum an.
4
Zu a) – 𝟏𝟒𝟓 − [(𝟓𝟔 + 𝟐𝟑) − 𝟐𝟗] + (𝟕𝟖 − 𝟔𝟖𝟑) = −𝟏𝟒𝟓 − 𝟓𝟎 − 𝟔𝟎𝟓 = −𝟖𝟎𝟎
Zu b) 𝟏𝟎 ∙ [(𝟏𝟎𝟐 − 𝟏𝟎): 𝟏𝟎] + 𝟏𝟎𝟔 : 𝟏𝟎𝟓 = 𝟏𝟎 ∙ [𝟗𝟎: 𝟏𝟎] + 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟗 + 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟎
Zu c) (𝟐𝟖𝟖 − 𝟒𝟒 ) ∙ 𝟓 − (𝟐𝟒𝟎𝟐 + 𝟏𝟕𝟓𝟔): 𝟏𝟒 = (𝟐𝟖𝟖 − 𝟐𝟓𝟔) ∙ 𝟓 − 𝟒𝟏𝟓𝟖: 𝟏𝟒 =
𝟑𝟐 ∙ 𝟓 − 𝟐𝟗𝟕 = 𝟏𝟔𝟎 − 𝟐𝟗𝟕 = −𝟏𝟑𝟕
2
16. Gib zu folgendem Befehlssatz den zugehörigen Gesamtterm an und berechne seinen Wert:
Bilde das Produkt, dessen erster Faktor die Summe aus der Zahl 97 und dem Quotienten mit dem
Dividenden 64 und dem Divisor 16 ist; der zweite Faktor ist die Differenz mit dem Subtrahenden
598 und dem Minuenden 1073.
(𝟗𝟕 + 𝟔𝟒: 𝟏𝟔) ∙ (𝟏𝟎𝟕𝟑 − 𝟓𝟗𝟖) = (𝟗𝟕 + 𝟒) ∙ 𝟒𝟕𝟓 = 𝟏𝟎𝟏 ∙ 𝟒𝟕𝟓 = 𝟒𝟕𝟗𝟕𝟓
17. Gib einen Term an, der ein Quotient mit dem Wert 100 ist. Der Divisor soll eine Summe mit dem
Wert 25 sein.
𝟐𝟓𝟎𝟎: (𝟐𝟑 + 𝟐) = 𝟏𝟎𝟎
18. Auf der Speisekarte eines Restaurants kann man aus 3 Vorspeisen, 5 Hauptgerichten und 3
Nachspeisen wählen. Finde heraus, wie viele Menüs zusammengestellt werden können.
Aus wie vielen Getränken müsste man zusätzlichen wählen können, damit die Anzahl der
Möglichkeiten größer als 500 werden würde?
Es gibt 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟑 = 𝟒𝟓 Möglichkeiten. Es müssen mindestens 12 Getränke zur Auswahl stehen.
(Lösung durch geschicktes Probieren. Man kann mit 𝟒𝟓 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟒𝟓𝟎 < 𝟓𝟎𝟎 beginnen)
19. Gib jeweils einen Grundkörper an, der genau durch jede der beiden Öffnungen passt:
Quader
Pyramide
Kegel
20. Gib jeweils Art und Größe des Winkels an, die der Minutenzeiger einer Uhr während dieser Zeit
überstreicht:
a) 30 min
b) 20 min
c) 45 min
d) 12 min
e) 15 min
a) 180° gestreckter Winkel
b) 120° stumpfer Winkel
c) 270 überstumpfer Winkel
d) 72° spitzer Winkel
e) 90° rechter Winkel
(Der Minutenzeiger überstreicht in einer vollen Stunde d.h. 60Min. einen Winkel von 360°)
21. Zeichne drei Punkte A, B und C, die nicht alle auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
a) Trage nun ein: A B ,  A C , B C , das Lot von C auf AB, die Parallelen von AB im Abstand 3 cm,
eine zu AB senkrechte Gerade g durch B.
b) Entnimm der Zeichnung: A C , d  C, AB  sowie d  C, g
3
22. Für zwei Punkte P und Q gilt P Q  10 cm . Begründe ohne eine Zeichnung, ob sich der Kreis k 1 um
P mit dem Radius r1  3 cm und k2 um Q mit dem Durchmesser d 2  10 cm schneiden. Folgere
eine allgemeine Regel die angibt, wann sich zwei Kreise schneiden.
Die beiden Kreise schneiden sich nicht, da die Summe ihrer Radien (3cm+5cm=8cm) kleiner
ist als der Abstand ihrer Mittelpunkte (10cm).
23. Zeichne in ein Koordinatensystem die Punkte A (3|2) , B (5|-1), C (7|5), P (2|0 ) und Q (2|3) ein.
Spiegele nun das Dreieck ABC an der Geraden PQ und gib die Koordinaten des Punkte C´
(Spiegelpunkt von C) an.
Gib es einen Punkt, der mit seinem Spiegelpunkt zusammenfällt?
Punkt Q liegt auf der Achse und fällt somit mit seinem Spiegelbild zusammen.
24. Wandle in die jeweils in eckigen Klammern stehende Einheit um:
a) 35 ct [ € ]
a) 0,35€
b) 1,05 m [ cm ]
b) 105cm
c) 503kg
c) 0,503 t [ kg ]
d) 165 min [ h ]
d) 2,75h (Achtung: 1 h = 60 min)
e) 26 ha [ m2 ]
e) 260000𝒎𝟐
25. a) Ein Rechteck hat die Breite b = 5 m und den Umfang U = 24 m. Berechne Länge und
Flächeninhalt des Rechtecks. Wie breit ist die Seite des Rechtecks in einer Zeichnung mit dem
Maßstab 1 : 250 ?
b) Berechne den Umfang eines Quadrats mit dem Flächeninhalt 169 dm2.
a) Seitenlänge 𝒍 = (𝟐𝟒𝒎 − 𝟐 ∙ 𝟓𝒎): 𝟐 = 𝟕𝒎
Flächeninhalt 𝑨 = 𝒍 ∙ 𝒃 = 𝟕𝒎 ∙ 𝟓𝒎 = 𝟑𝟓𝒎𝟐
Im Maßstab 1:250 :
𝒍′ = 𝟕𝒎: 𝟐𝟓𝟎 = 𝟕𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎: 𝟐𝟓𝟎 = 𝟐𝟖𝒎𝒎
𝒃′ = 𝟓𝒎: 𝟐𝟓𝟎 = 𝟓𝟎𝟎𝒄𝒎: 𝟐𝟓𝟎 = 𝟐𝒄𝒎
b) 𝒔 = 𝟏𝟑𝒅𝒎, denn 13∙13=169
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𝑼 = 𝟒𝒔 = 𝟒 ∙ 𝟏𝟑𝒅𝒎 = 𝟓𝟐𝒅𝒎
26. Ein Quader hat die Länge 12 cm, die Breite 7 cm und die Höhe 5 cm.
Berechne den Oberflächeninhalt des Quaders und zeichne sein Netz.
𝑶 = 𝟐 ∙ (𝟏𝟐𝒄𝒎 ∙ 𝟕𝒄𝒎 + 𝟏𝟐𝒄𝒎 ∙ 𝟓𝒄𝒎 + 𝟕𝒄𝒎 ∙ 𝟓𝒄𝒎) = 𝟑𝟓𝟖𝒄𝒎𝟐
27. Berechne
die
Länge
der
unbekannten Seite x. Der
Gesamtumfang der Figur hat die
Länge
26 cm (alle Längenangaben in
cm).
5
1
5
4
x
x
𝟓𝒄𝒎 + 𝟏𝒄𝒎 + 𝟓𝒄𝒎 + 𝟓𝒄𝒎 + 𝟔𝒄𝒎 + 𝒙 + 𝒙 = 𝟐𝟔𝒄𝒎
𝟐𝟐𝒄𝒎 + 𝟐𝒙 = 𝟐𝟔𝒄𝒎
𝟐𝒙 = 𝟒𝒄𝒎
𝒙 = 𝟐𝒄𝒎
28. Onkel Gustav will eine Wand streichen die 5,8 m lang und 2,20 m hoch ist. In der Wand befinden
sich zwei Fenster, die jeweils 1 m breit und 80 cm hoch sind. Die für die Wand benötigte Farbe
kostet 8,50 € pro Dose und eine Dose reicht für 5 m 2. Berechne, ob die 25 € genügen, um
ausreichend Farbe zu kaufen.
Zu streichende Fläche:
𝑨 = 𝟓𝟖𝟎𝒄𝒎 ∙ 𝟐𝟐𝟎𝒄𝒎 − 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝒄𝒎 ∙ 𝟖𝟎𝒄𝒎 = 𝟏𝟐𝟕𝟔𝟎𝟎𝒄𝒎𝟐 − 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝒎𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟔𝟎𝟎𝒄𝒎𝟐
Dafür werden 3 Farbdosen benötigt, da eine Farbdose für 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝒄𝒎𝟐 reicht.
Kosten für 3 Farbdosen: 𝟑 ∙ 𝟖, 𝟓𝟎€ = 𝟐𝟓, 𝟓𝟎€
25€ reichen also nicht aus.
29. Ein Bauunternehmer besitzt mehrere LKW mit einem zulässigen Gesamtgewicht 7,5 Tonnen. Von
einem Lager sollen 132 Kisten mit einem Gewicht von je 200 kg zu einer Baustelle befördert werden.
Finde heraus, wie viele Lastwagen muss der Bauunternehmer für diese Fahrt bereitstellen, wenn
ein nicht beladener Lkw bereits 3,1 Tonnen wiegt und kein Lkw zweimal fahren soll.
Ladegewicht eines LKW: 𝟕𝟓𝟎𝟎𝒌𝒈 − 𝟑𝟏𝟎𝟎𝒌𝒈 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝒌𝒈
Zu transportierendes Gesamtgewicht: 𝟏𝟑𝟐 ∙ 𝟐𝟎𝟎𝒌𝒈 = 𝟐𝟔𝟒𝟎𝟎𝒌𝒈
Anzahl der benötigten Fahrten: 𝟐𝟔𝟒𝟎𝟎𝒌𝒈: 𝟒𝟒𝟎𝟎𝒌𝒈 = 𝟔
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